Đạo hàm và bái toán tiếp tuyến ôn thi tốt nghiệp

Ta cần tìm đợc hệ số góc và tiếp điểm trong tr-ờng hợp này nếu muốn viết phơng trình tiếp tuyến với đtr-ờng cong nào đó.. Các bài tập hay gặp trong phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

Phương trỡnh tiếp tuyến ụn thi tốt nghiệp

*Đạo hàm của hàm hợp.

Ta xét hàm số y = f(u(x)) Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo x nh sau

y'x f x' f u u' 'x

Bảng đạo hàm của hàm số hợp

cos u u’

'u u

sin u

 u’

'

' u u

'

a u u

Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của hàm số theo biến u rồi nhân với

đạo hàm của hàm số u theo biến x.

* Các phép toán đạo hàm.

Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x) Khi đó

*) (u + v)’ = u’ + v’

*) (u - v)’ = u’ – v’

*) (uv)’ = u’v + v’u

*) (ku)’ = k.u’ ( k là hằng số)

*)

'

2

u u v v u





Các dạng toán cơ bản.

1 Dạng 1 Tính đạo hàm của hàm số.

Phơng pháp Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp Nếu yêu cầu tính đạo

hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đợc kết quả

Ví dụ 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

a) y  x3  2 x2  3 x  4 b) ysinx cosxtanx

Giải

a) Ta có

b) Ta có

'

2

1 sin cos tan cos sin

cos

x

c) Ta có

 '

x

d) Ta có

'

2

1

sin

x

Ví dụ 2 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng.

a) y x3 3x2  4x1 tại x0 = -1

b) ysin 2xcosx tại 0

4

x   c) y  x  2 x tại x0 = 2

Giải

a) Ta có

y   x  x  x  x  x suy ra y '( 1)3 6 413

b) Ta có

' sin 2 cos 2cos 2 sin

Đạo hàm và ứng dụng tập 1.

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

y          

c) Ta có

2

x

Ví dụ 3 Tính đạo hàm các hàm số sau

2

x y

x





1

y

x





c) y  x4  3 x2  2 d) y  sin(2 x  1)  cos(1  x ) e) y  3 x  2

Giải

a) Ta có

' '

y



b) Ta có

'

'

y

c) Ta có

d) Ta có

' sin(2 1) cos(1 ) 2cos(2 1) sin(1 )

e) Ta có

 '

x

 f) Ta có

g) Ta có

' 2

'

2 2

1 2

x

x x x





2 Dạng 2 Giải phơng trình y’ = 0.

Phơng pháp Ta tính y’ sau đó giải phơng trình y’ = 0

Ví dụ 1 Giải phơng trình y’ = 0 biết.

a)

2

1

x y

x





b) y  x3  3 x2 c) y4x3  12x2 9x 1

d)

1

y

x



1

y

x



4

3

x

g) y  x4  2 x2  3 h)

1

y

x

 



2 2 1

y x







Giải

a) Ta có

'

'

2

2

y

   

suy ra

2

2

0 2

2 1

x

x x







Vây phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2

b) Ta có

2

x

x







Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2 Vây phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2

c) Ta có

3 2

1 2

x

x







 



Vây phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 3 1

,

d) Ta có

'

'

2

y

suy ra

2

2

0 2

2 1

x

x x







Vậy phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2

e) Ta có

'

'

2

y

suy ra

2

2

0 2

2 1

x

x x







Vậy phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2

f) Ta có

' 4

x

3

x

x







 Vậy phơng trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt x0,x 3

g) Ta có

Suy ra y' 0 4x3  4x 0 x0

Vậy phơng trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0

h) Ta có

'

'

2

y

Suy ra

2

2

1

2 3

3 1

x

x x





 

Vậy phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3

i) Ta có

 

'

'

2

y

Suy ra

 

2

2

2

x

x

x











 Vậy phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 2

,

3 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.

Phơng pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lợng giác.

Ví dụ 1 Chứng minh rằng

Đạo hàm và ứng dụng tập 1.

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2 a) y’ – y2 -1 = 0 với y = tanx

b) y’ + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x

c) y’2 + 4y2 = 4 với y = sin2x

Giải

a) Ta có ' 12

cos

y

x



Khi đó

' 2

0

Vậy ta có điều cần chứng minh

b) Ta có ' 22

sin 2

y

x



Khi đó

2

2 2 sin 2 cos 2

2 2cos 2

x

Vậy ta có điều cần chứng minh

c) Ta có

y’ = 2cos2x

Khi đó  y' 2 4y2 4 cos 22 x4sin 22 x4

Vậy ta có điều cần chứng minh

III Bài tập tự luyện.

Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

a)

1

y

x





b)

1

y

x





c)

2 3 1

y x





 d) yx4  x2 1 e) y2x3 3x2  1f) y 2x3 3x2  1

Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau

1

x y

x





2 1

x y x





2

x y

x



2

2 1

y

x



Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng

a)

1

y

x





tại điểm x0 = -1 b) y  x4  5 x2  4 tại điểm x0 = 2

3

y  x  x  x  tại điểm

Bài 4 Giải phơng trình y’ = 0 trong các trờng hợp sau

a)

2

3 3 1

y

x



2

1

x y

x





y  x  x  d) y  x4 5 x2  4 e) y2x4  x2 4 f) y  x3 3 x  2

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

I Kiến thức cơ bản.

1 Tiếp tuyến tại một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 là một điểm thuộc vào TXĐ của hàm số trên và tồn tại đạo hàm tại đó Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) tại điểm

(x0; f(x0)) có phơng trình là y = y/(x0)(x-x0) + f(x0)

Nhận xét: ở trên ta có y / (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến Ta cần tìm đợc hệ số góc và tiếp điểm trong tr-ờng hợp này nếu muốn viết phơng trình tiếp tuyến với đtr-ờng cong nào đó Các bài tập hay gặp trong phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay tại giao điểm của đồ thị hàm số với đờng thẳng nào đó.

2 Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.

Cho hai hàm số y = f(x) (C1), y = g(x) (C2)

Khi đó (C1) tiếp xúc với (C2) khi và chỉ khi hệ phơng trình '( ) ( )'











có nghiệm

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

Chú ý:

+ Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) là hai đờng cong thì chúng tiếp xúc với nhau tại hai điểm khi hệ trên

có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu một trong hai đờng là đờng thẳng thì để có hai tiếp tuyến ta cần hệ trên có hai nghiệm phân biệt

II Dạng toán cơ bản.

1 Dạng 1 Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm.

Phơng pháp: Ta cần tìm đợc toạ độ tiếp điểm dựa vào các dữ kiện bài toán đã cho.

Nhận xét: Trong dạng này ta thờng gặp các trờng hợp sau

+ Cho biết tọa độ của tiếp điểm

+ Cho biết hoành độ của tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc hoành độ tiếp điểm

+ Biết tung độ tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc tung độ tiếp điểm

+ Tiếp điểm là giao điểm của đồ thị với một đồ thị khác Khi đó ta cần giải hệ phơng trình để tìm toạ độ của tiếp điểm

2 Dạng 2 Tiếp tuyến đi qua một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi

qua điểm M(xM; yM)

Phơng pháp:

Cách 1: Tìm tiếp điểm

Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0) Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0)

Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(xM; yM) suy ra yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải phơng trình này ta tìm đợc hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1

Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc

Giả sử đờng thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k khi đó nó có phơng trình

y = k(x-xM) + yM

Ta có đờng thẳng y = k(x-xM) + yM là tiếp tuyến của đờng cong (C) /( ) ( )

( )



 





giải hệ

này ta tìm đợc hoành độ của tiếp điểm sau đó viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

Nhận xét: ở trên có bao nhiêu nghiệm x ta có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M.

3 Dạng 3 Tiếp tuyến cho trớc hệ số góc:

Phơng pháp.

Cách 1 Tìm tiếp điểm

Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M0(x0; y0) Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng trình y = f/ (x0)(x-x0) + f(x0)

Khi đó theo giải thiết ta có f/(x0) = k Giải phơng trình này ta tìm đợc hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y0 = f(x0) rồi viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1

Nhận xét: Trong dạng này ta có thể gặp các bài tập nh sau:

*) Tiếp tuyến có hệ số góc k khi đó ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k sau đó viết

ph-ơng trình tiếp tuyến tph-ơng ứng

*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k = 1

a

 sau tìm tiếp điểm

M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax+ b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm tiếp điểm M0(x0;

y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc  khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan sau đó tìm tiếp

điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = ax +b một góc  khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn

tan

1





 hoặc chúng ta dùng tích vô hớng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó tìm tiếp

điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phơng trình f/(x0) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng

III Ví dụ.

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x( )x3 2x2 x 4 ( )C Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết

a) Hoành độ tiếp điểm lần lợt là -1; 3; 2

b) Tung độ tiếp điểm lần lợt là -4

c) Tiếp điểm là giao của (C) với trục hoành

Giải

TXĐ: D 

Ta có y/ f/( )x 3x2 4x1

a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có y0 = f(x0) = f(-1) = - 4; f/( )x0 f /( 1) 0 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4

Với hoành độ tiếp điểm x0 = 3 ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44; f /(x0)f/(3)40 suy ra tiếp tuyến với (C) khi

đó có phơng trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x – 76

b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - 4 ta có x0 = -1 hoặc x0 = 0

Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có f /(x0)f/( 1) 0 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y =

f/(-1)(x+1) – 4 hay y = - 4

Với x0 = 0 ta có f /(x0)f/(0)1 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(0)(x+1) – 4 hay y =

x – 3

Đạo hàm và ứng dụng tập 1.

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2 c) Giao điểm của (C) với trục hoành có hoành độ là nghiệm của phơng trình

y   x  x x   x x  x   x

Khi đó f /(1)8 suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x – 8

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x( )x3  m x( 1) 1 (Cm) Viết phơng trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích bằng 8

Giải

TXĐ: D 

Ta có (Cm) giao với Oy tại điểm A(0; 1 -m)

/ /( ) 3 2

y f x  x  m Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m

Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm 1

( m ; 0) ( 0)

m



 suy ra

2

| | | | |1 | | | 8 16 | | 2 1

m

m







Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam giác OAB Vậy với

9 4 5

7 4 3

m

m



 



thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8

Ví dụ 3: Cho hàm số yf x( )x3  3x2 ( )C viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết

a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 9

b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 1

3

Giải

TXĐ: D  Ta có y/ f/( )x 3x3 6x

a) Gọi A(xA; yA) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm khi đó ta có

3

A

A

x

x





 Với x  ta có A 1 y  A 4 khi đó tiếp tuyến với (C) cần tìm là y = 9(x+1) – 4 hay

y=9x+5

Với xA = 3 ta có yA = 0 khi đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x – 27

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là k = 9 là

y=9x+5 và y= 9x – 27

b) Gọi M(xM ;yM) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm

Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đờng thẳng 1

3

y  x suy ra hệ số góc của nó là

k = -3 (Làm tơng tự nh phần a)

Ví dụ 4: Cho hàm số y  2 x3  3 x2  12 x  5 (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) trong các trờng hợp sau

a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x – 4

b) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng 1

5 2

y  x  một góc 450

Giải

TXĐ: D  Ta có y/ 6x2  6x 12

a) Vì tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x – 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6

Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm Khi đó ta có

0

0

1 13 2

1 13 2

x

x











2

2

y   khi đó tiếp tuyến cần tìm là

2

2

y   khi đó tiếp tuyến cần tìm là

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đờng thẳng 1

5 2

y x một góc 450 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k thoả mãn

0

2

2

k





  

sau đó làm tơng tự nh phần a (Tìm tiếp điểm)

Ví dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) : y 2x3 3x2 5 đi qua điểm 19; 4

12

A 

Giải

Giả sử đờng thẳng đi qua 19; 4

12

A 

  có hệ số góc k, khi đó nó có dạng

19 4

12

Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghịêm

2

19

12









Thay (2) vào (1) ta có

2

19

12 1

1 8

x

x











 Vậy có ba tiếp tuyến với (C) đi qua điểm 19

; 4 12

A 

  ( Tự viết phơng trình tiếp tuyến)

Ví dụ 6 Cho hàm số yx3 3x2 3x5 ( )C

a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng y = kx + m

Giải

a) Giả sử trên (C) có hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với nhau

Ta có y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x+1)2

Khi đó ta có

-1 = y'(x ).y'(x ) = 9.(x +1) (x + 1)  0   1  0 vô lý

Suy ra giả sử là sai hay ta có điều cần chứng minh

b)

Ví dụ 7 Cho hàm số y = 1

3x

3 - x2 có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(3; 0)

Giải

Đờng thẳng (∆) đi qua A(3; 0) và có hệ số góc k có dạng: y = k(x - 3)

+) (∆) là tếp tuyến với (C)

  





2

3 2

k = x 2 (1)

1

x ( 3) (2)

3

x

Thế (1) vào (2): 1 3  2 ( 2  2 )(  3)

Đạo hàm và ứng dụng tập 1.

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

 2x3 -12x2 + 18x = 0   

 



0 3

x x

+) Với x1 = 0  k1 = 0  PTT2: y = 0

+) Với x2 = 3  k2 = 3  PTT2: y = 3x - 9

Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán

y = 0 và y = 3x – 9

Ví dụ 8 Tìm a để đồ thị hàm số

1

y

x

 





(C) tiếp xúc với (P) : y = x2 + a

Giải

Điều kiện tiếp xúc của đồ thị (C) với (P)



 

 



2 2 2

2

2x = (1) ( 1)

1

(2) 1

x x

x

Hệ có nghiệm

Giải (1)  x = 0 Thế vào (2)  a = - 1

Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P).

Ví dụ 9 Cho đờng cong  





2

2 2 1

y

x

(C) Tìm các điểm trên Ox từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến này

vuông góc với nhau

Giải:

Gọi M(a; 0)  Ox; ∆ là đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a)

(∆) là tiếp tuyến của (C) 



 







2

1

(I) 1

1

k

x

x

Hệ có nghiệm





   





1 ( 1) 1 (1)

1 1 ( ) 1 (2)

1

x

x



(3)

x

Kết hợp (3) và (1) ta có:







 



1 (1 )

4

k

k

(4)  k2(1 - a)2 + 4k - 4 = 0

Từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)  Hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và k1.k2 = -1.

    





 

1

a 1

4

1 a = - 1, a = 3 (1 )

a

a

Vậy các điểm cần tìm là (-1; 0); (3; 0)

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2

Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tơng đơng mà chỉ có a và k Nhận thấy nếu tính đợc



1 1

x

theo a và

k thay vào phơng trình (1) thì đợc một hệ mới tơng đơng trong đó có một phơng trình chỉ chứa a và k từ đó ta

có phép biến đổi nh trên và cách giải này là ngắn gọn

Ví dụ 10 Cho đờng cong  





2

1

y

Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau

Giải:

(∆) là đờng thẳng đi qua M(a; b) và có hệ số góc k nên PT (∆): y = k(x - a) + b

(∆) là tiếp tuyến của (C) 



 







2

1

1 (1) ( 1)

1

1

k

x

x

Hệ có nghiệm





   





1 ( 1) 1 (3)

1 1 ( ) 1 (4)

1

x

x



2

(1 )





Kết hợp (5) và (1) ta có hệ











2

1 (1 )

2

k

k

( k  1 vì từ (1) nếu k = 1 thì  x, hệ vô nghiệm.)

  



1 (1 ) 2((1 ) 2) 4 0 (7)

k

Vì từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)  hệ trên có hai nghiệm phân biệt k1, k2 và k1.k2 = - 1



















2 2

1 4

1 (8) 1

(1 ) 2((1 ) 2) 4 0 (9)

a b a











   



2 2

1 (1 ) 4 (10) (I)

1 0 (11)

a

Thế (10) vào (9): 2[(1 - a)b + 2] 0  (1 - a)b + 2 0

Từ (10)  (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = 4 + 2(1 - a)b

 (1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b)

Vì 2+ (1 - a)b  0  1 - a + b  0.

Vậy ta có tập hợp các điểm M cần tìm là đờng tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ đi 4 điểm là giao các đờng thẳng x

= 1 và - x + y + 1 = 0 với đờng tròn đó là các điểm (1; 2); (1 2; 2 ); (1 2; 2 )

Ví dụ 11 Cho đờng cong:  





2

1

y

Đạo hàm và ứng dụng tập 1.

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2 Tìm tất cả các điểm trên đờng thẳng y = 7 mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với đờng cong (C) mà hai tiếp tuyến đó hợp với nhau góc  = 450

Giải:

Gọi M  đt: y = 7  M(a; 7)

Phơng trình đờng thẳng (∆) qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + 7

(∆) là tiếp tuyến của (C) 



 







2

2

2 (1) ( 1)

2

1

k

x

x

Hệ có nghiệm









2

1 2

1

x

x



4





Kết hợp (5) và (1) 











2

2

4

k

k

   

2 (1 ) 8 (2 ) 0 (6)

k

Từ M kẻ hai tiếp tuyến hợp với nhau góc  = 450

Không mất tính chất tổng quát

Ta giả sử: 1 450  2









2 1

2

1 tan

tan

1 tan





2 1

2

1 1

k k

k

 k1 - k1.k2 = 1 + k2 (7)

Vì (6) phải có hai nghiệm phân biệt mà c 0

có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác 0

y

x



2 1

O

Vậy từ (6) 













1 2

1 0 0

a k k

hoặc













1 2

1 0 0

a k k

(8)

Kết hợp (8) và (7) ta có:  







1 2

0 1

k











1 2

1 0

k k

Nếu k1 = 1, từ (6) :









1

3 a = 5 2 2 (1 ) 8(2 ) 0

a a

Nếu k2 = -1 , từ (8) :









1

3 a = - 3 2 6 (1 ) 8(2 ) 0

a a