08 DE SVIP 08 LOI GIAI

Đồ thị hàm số x y=a và đồ thị hàm số y=loga x đối xứng nhau qua đường thẳng y x=A. HD : Đồ thị hàm số x y=a không có tiệm cận đứng là trục tung nên D sai.. Lấy hai điểm ,A B lần lượt nằm

Tham gia Luyện đề SVIP Toán để chinh phục điểm số cao trong kì thi THPTQG 2019

Câu 1:Số phức z thỏa mãn đẳng thức ( )1+i z= − +1 3i là

A. z= +1 2 i B. z= −1 2 i C. z= − +3 3 i D z= +3 3 i

HD : Ta có ( )1 1 3 1 3 1 2

1

i

i

− +

Câu 2:Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2

9

x y x

= + là

HD : Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=0 Chọn D

Câu 3:Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=cos 2x là

cos 2 d

2

x

cos 2 d

2

x

HD : Ta có cos 2 1sin 2

2

Câu 4:Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3; 1 ,− ) B(2; 1;1 − ) Gọi M là điểm thỏa mãn B là

trung điểm đoạn thẳng AM. Tọa độ điểm M là

A. M(3; 5;3 − ) B. M(−3;5;3 ) C 3;1;0

2

  D. M(5;1;1 )









Chọn A

Câu 5:Cho cấp số nhân ( )u n có số hạng đầu u1=3 và công bội q=2 Tổng năm số hạng đầu của cấp số nhân là

A.

5 93

5 11

5 96

5 48

HD : Ta có ( 5 ) ( 5 )

1 5

1 3 2 1

93

u q S

q

Câu 6:Cho hàm số f x( ) có đạo hàm ( ) ( ) ( 2 )3

f′ x = x+ x − ∀ ∈x ℝ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3 B 2 C. 1 D 5

HD : Ta có ( ) ( ) ( 2 )3 ( ) (3 )4

f x = x+ x − = x− x+  hàm số đạt cực trị tại x=1 Chọn C

Câu 7:Cho khối chóp S ABCD có SA⊥(ABC) và SA=2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB=1 Thể tích khối chóp S ABC bằng

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG 2019

Đề SVIP 08 – Thời gian làm bài : 90 phút

Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95

A. 2

1

1

HD : Ta có 2

.

Câu 8:Tập xác định của hàm số ( 2 )35 ( ) 2

y= x − +x + −x − là

HD : Điều kiện:

1 3

3

x

x x

x

 >

≠

Chọn B.

Câu 9: Cho hàm y= f x( ) có f ( )2 =2, f ( )3 =5; hàm số y= f′( )x liên tục trên [ ]2;3 Khi đó ( )

3

2

'

 bằng

HD : Ta có 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( )

2 2

f x dx= f x = f − f =

Câu 10:Bất phương trình log 32( x− >2) log 6 52( − x) có tập nghiệm là ( )a b; Tổng a b+ bằng

A. 8

28

26

11

5

HD : Điều kiện: 2 6

3< <x 5 Ta có log 32( x−2)>log 6 52( − x)⇔3x− > −2 6 5x⇔ >x 1

Do đó tập nghiệm là 1;6 1, 6 11

 

 

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu ( )S có tâm I(3; 3;1− ) và đi qua điểm (5; 2;1)

A − có phương trình là

A. ( ) (2 ) (2 )2

x− + +y + −z =

C. ( ) (2 ) (2 )2

x− + +y + −z =

HD : Ta có ( ) ( ) (2 ) (2 )2

Câu 12: Đặt 1

3

1

 =

 

  khi đó log 427 bằng

A. 3

2

2 3

a

2

a

3

1

 = ⇔ =

 

  Ta có log 427 2log 23 2

a

Câu 13:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;1) và vuông góc với mặt phẳng ( )P :x−2y+ − =z 1 0 có dạng

A. 1 2 1

:

:

:

:

HD : Đường thẳng d có vecto chỉ phương là u=n P = −(1; 2;1 ) Ta có : 2 2

Câu 14:Cho hàm số x

y=a với 0< ≠a 1 Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số x

y=a và đồ thị hàm số y=loga x đối xứng nhau qua đường thẳng y x=

B. Hàm số y=a xcó tập xác định là ℝ và tập giá trị là (0;+ ∞)

C. Hàm số x

y=a đồng biến trên tập xác định của nó khi a>1

D. Đồ thị hàm số x

y=a có tiệm cận đứng là trục tung

HD : Đồ thị hàm số x

y=a không có tiệm cận đứng là trục tung nên D sai Chọn D.

Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn (z+ −1 3i) (z+ +1 3i)=25. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

một đường tròn có tâm I a b( ); và bán kính c Tổng a b c+ + bằng

HD : Giả sử z= +x yi Ta có ( ) ( ) 2

Do đó tập hợp là I(−1;3 ,) bán kính R=5 Do đó a= −1,b=3,c=5a+ + =b c 7 Chọn A.

Câu 16:Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng ngang Xác suất để 2 học sinh

nữ không đứng cạnh nhau bằng

A 4

5

9

3 4

HD: Số phần tử của không gian mẫu là: Ω =8!

Gọi A là biến cố: “2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau”

Xếp 6 học sinh nam có: 6! cách sắp xếp

Khi đó có 7 vị trí (gồm 5 vị trị giữa và 2 vị trí đầu và cuối) để sắp xếp 2 học sinh nữ

Suy ra có: 2

7

A cách sắp xếp 2 bạn học sinh nữ

7

3

4

A

Câu 17: Cho hình trụ có bán kính r=a và chiều cao h=a 3 Lấy hai

điểm ,A B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường

thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 (tham khảo hình vẽ bên) Tính

khoảng cách d giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

2

a

d = B 7

4

a

C 13

4

a

d = D 2

2

a

d=

HD: Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (O R; )

Khi đó AA'/ /OO'(AB OO; ')=(AB AA; ')=BAA' 30= 0

Ta có: A B' =AA' tan 300 =a 3 tan 300 =a

Dựng OH ⊥A B' OH ⊥(AA B' )

( ; ') ( ';( ') ) ( ;( ' ) )

Ta có:

2

A

A'

O'

O B H

Câu 18: Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần ,A B lần lượt bằng 11 và 2

Giá trị của 0 ( )

1

3 1 d

−

=  + bằng

A 3

B 13

3

C 9

D 13

HD: Ta có: 1 ( ) 0 ( ) 1 ( )

9

Đặt t =3x+1dt=3 dx Đổi cận suy ra 0 ( ) 1 ( ) 1 ( )

1

3 3

dt

Câu 19: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f '( )x =(x2−1)(x2− −x 2) Hỏi hàm số g x( )= f x( −x2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

A (1;+∞) B (−∞ −; 1 ) C ( )0;2 D (−1;1 )

HD: Ta có: ( ) ( )( ) (2 )

Suy ra ( ) ( ) ( 2) ( ) ( 2 )( 2 ) (2 2 )

g x = − x f x−x = − x x− −x x− +x x− − <x

2

Do đó hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng 1;

2

+∞

Câu 20:Một đồ vật được thiết kế bởi một nửa khối cầu và một khối

nón úp vào nhau sao cho đáy của khối nón và thiết diện của nửa mặt

cầu chồng khít lên nhau như hình vẽ bên Biết khối nón có đường cao

gấp đôi bán kính đáy, thể tích của toàn bộ khối đồ vật bằng 3

36 cm π

Diện tích bề mặt của toàn bộ đồ vật đó bằng

A 9π ( 5 2 cm + ) 2 B 9π ( 5 3 cm + ) 2

C π ( 5 2 cm + ) 2 D π ( 5 3 cm + ) 2 R O

h=2R S

HD: Thể tích toàn bộ khối đồ là 1 2 2 3 4 3

Diện tích bề mặt của bộ đồ là S =πRl+2πR2 =π.3.3 5 2 3+ π 2 =9π( 5 2 cm + ) 2 Chọn A

Câu 21: Cho dãy số ( )u n biết: 1

1

99

2 1,

n n

u

=





 n≥1 Hỏi số 861− là số hạng thứ mấy?

HD: Ta có

2 1

1

2.1 1 2.2 1

n n











Cộng vế với vế các đẳng thức ta được: u n = −u1 2 1 2  + + + −(n 1) (− −n 1)

2

−

= − n n − −n =100−n2

Với u n = −861 −861 100= −n2 ⇔n2 =961⇔ =n 31. Chọn B.

Câu 22: Cho số phức z= +a bi a b( , ∈ℝ) thỏa mãn z+ + −7 i z (2+ =i) 0 và z <3 Tính giá trị

P= +a b

A 5

2

2

HD: Ta có: z+ + −7 i z(2+ = ⇔ =i) 0 z (2 z − +7) ( z −1)i( )*

2

z

z

=





=



Do z <3 nên nhận 5

2

z = thay vào (*) ta có 2 3 1

Câu 23:Cho hàm số y= f x( ) thoả mãn ( )2 4

19

f = − và f′( )x =x f3 2( )x ∀ ∈x ℝ Giá trị của f ( )1 bằng

A 2

3

2

4

−

HD: Ta có ( ) 3 2( ) ( ) ( ) 3

2

'

Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [ ]1;2 ta được

( )

2

3 2

Câu 24: Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M( )1;1 và có hệ số góc âm Giả sử d cắt các trục

,

Ox Oy lần lượt tại , A B Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể tích là

V Giá trị nhỏ nhất của V bằng

A 3 π B. 9

4

2 π

HD: Do d có hệ số góc âm, đi qua điểm M( )1;1 và cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại A a( ) ( );0 ,B 0;b nên , 1

a b>

Khi đó ta có 1 1 1

a+ =b Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác OAB quanh trục Oy bằng 1 2

3

V = πa b

3 2

a

a b

a

− Đặt ( ) a31

f a

a

=

− ta có ( ) ( 3 )22 ( )

0 ( )

1

2

a a

=



=

Lập BBT suy ra giá trị lớn nhất của ( ) a31

f a

a

=

− bằng

27

4 khi

3 2

Khi đó thể tích lớn nhất bằng 9

4

Cách 2: Theo bất đẳng thức Côsi ta có 3 2

2

2a 2a b 4a b a b 4

Suy ra 1 2 9

V = πa b≥ π , dấu bằng xảy ra khi 1 1 3

3

a

b

⇔

 + =  =



Chọn B.

Câu 25:Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình

vẽ Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

( ) 2 1

0 8

x m

f π − − = có hai nghiệm phân biệt là

A 6 B 4

C 7 D 5

HD: Đặt x 0

t=π > nên phương trình trở thành: ( ) m28 1

( )∗ Với mỗi nghiệm t>0 thì sẽ ứng với một nghiệm x

Yêu cầu bài toán ⇔ ∗( ) có hai nghiệm phân biệt t>0

Dựa vào hình vẽ, yêu cầu bài toán 2 1 2 ( )

8

m

−

⇔ − < < ⇔ < ⇔ ∈ −

Kết hợp với m∈ℤ, ta được m= − −{ 2; 1; 0; 1; 2} là giá trị cần tìm Chọn D

Câu 26: Một đa giác có n cạnh và có chu vi bằng 158 cm Biết số đo các cạnh của đa giác lập thành một

cấp số cộng với công sai d =3 cm và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm Đa giác có số cạnh n bằng

A n=7 B n=5 C n=6 D n=4

HD: Theo bài ra, ta có

1

1

158

n

n

d

=

2 1

1

4

n

Câu 27: Cho bất phương trình 8x 3.22 1x 9.2x 5 0 1 ( )

m

+

− + + − > Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

dương của tham số m để bất phương trình ( )1 nghiệm đúng với mọi x∈[ ]1; 2 ?

Bất phương trình ⇔ 2 −3x 6.22x +9.2x − > −5

m

Đặt =2x  ∈[ ]2, 4

t t Bpt ⇔ −t3 6.t2 +9.t− > −5 m

Để 2 −3x 6.22x +9.2x − > −5

m nghiệm đúng với mọi x∈[ ]1, 2 thì t3 −6.t2 +9.t− > −5 m nghiệm đúng với mọi t∈[ ]2, 4

2,4

t

∈

Vậy có vô số giá trị nguyên dương của m thỏa Chọn A.

Câu 28: Cho mặt phẳng ( ) α :x+2y+2z+ =9 0 và ba điểm (1; 2;0), (2;0; 1), (3;1;1).A B − C Tìm tọa độ điểm M∈( ) α sao cho 2MA2+3MB2−4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

A M(1; 2; 3)− − B M( 3;1; 4)− − C M( 3; 2; 5)− − D M(1; 3; 2)− −

HD: Gọi I là điểm thỏa mãn đẳng thức: 2IA+3IB−4IC=0I(−4;0; 7− )

2MA +3MB −4MC =2MA +3MB −4MC =2 MI+IA +3 MI+IB −4 MI+IC

MI + MI IA+ IB− IC + IA + IB − IC =MI + IA + IB − IC nhỏ nhất ⇔MImin

Khi đó M là hình chiếu của I trên ( ) : 24 ( 4 ; 2 ; 7 2 )

7 2

= − +







α

Giải M∈ α( )− + + + − + = ⇔ =4 t 4t 4 14 9 0t t 1M(−3; 2; 5 − ) Chọn C.

Câu 29: Một người gửi 100 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6% /tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền, số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào dưới đây ? (biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lãi mỗi tháng tính theo số tiền có thực tế trong tài khoản của tháng đó)

A 104 triệu đồng B. 106 triệu đồng C 102 triệu đồng D. 108 triệu đồng

HD: Đặt a=0,6%

Sau tháng thứ 1 số tiền người đó còn lại: 100 1( + −a) 0,5 (triệu đồng)

Sau tháng thứ 2 số tiền người đó còn lại: (100 1( + −a) 0,5 1) ( + −a) 0,5 (triệu đồng)

Cứ tiếp tục như vậy sau 36 tháng người đó sẽ nhận được số tiền:

100 1+a −0,5 1+a −0,5 1+a − − 0,5 (triệu đồng)

( )36 1 1( ( ) )36

1 1

a a

a

 − + 

 − + 

(triệu đồng) Chọn A

Câu 30: Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số ( ( ) )3 ( ( ) )2

3

f x − f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( )1; 2 B (−∞;1) C ( )2;3 D ( )3; 4

HD: Ta có: ( ) ( ( ) )3 ( ( ) )2 ( ) 2( ) ( ) ( )

g x = f x − f x g x = f x − f x  f x

3f x f x 2 'f x

=  − 

Với x∈[ ]2; 4  f x( ) ( ).f x −2≤0, mặt khác f '( )x > ∀ ∈0( x ( )2;3 )

Do đó với ∀ ∈x ( )2;3 thì g'( )x <0 nên hàm số g x( ) nghịch biến trên khoảng ( )2;3 Chọn C.

Câu 31: Trong không gian Oxyz,cho điểm M(1; 4;9) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy,

Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA OB OC+ + đạt giá trị nhỏ nhất Tính khoảng cách d

từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P)

A 36

7

5

3

14

d=

HD: Do ( )P cắt các tia Ox Oy Oz, , lần lượt tại , ,A B C nên ta gọi A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c) với , , 0

a b c>

Khi đó ( )P :x y z 1,OA OB OC a b c

a+ + =b c + + = + +

Do ( )P đi qua điểm M(1; 4;9) nên 1 4 9 1

a+ + =b c

Mặt khác theo Bunhiacopsky ta có: ( 2 2 2)( 2 2 2) ( )2

a + +b c x +y +z ≥ ax by+ +cz

Ta có: ( ) 1 4 9 ( )2

1 2 3 36

a b c

+ +  + + ≥ + + =

Suy ra OA OB OC+ + = + + ≥a b c 36

1





 + + =



Suy ra ( ( ) )

7

18 6 12

Chọn A.

Câu 32:Thầy Hùng Đê Zét xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m và chiều dài 50 m Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, Thầy chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu

và không tô màu) như hình vẽ

- Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol có đỉnh I

- Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/m và phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo 2

với giá 90 nghìn đồng/m 2

Hỏi Thầy phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?

A 165 triệu đồng B 151 triệu đồng C 195 triệu đồng D 135 triệu đồng

HD: Gắn Parabol vào hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ dưới

Dựa vào đề bài ta tính được phương trình Parabol có dạng ( )P y: =ax2+10

Do Parabol đi qua điểm (15;0) 2

15

A a= − suy ra ( ) 2 2

45

Gọi S1 là diện tích 2 phần tô vàng, suy ra 15 2 ( )2

1 15

2

45

−



Gọi S2 là diện tích phần không tô màu, suy ra ( )2

2 50.30 1 1100

Suy ra số tiền cần là 0,13.400 0,09.1100 151+ = triệu đồng Chọn B.

Câu 33:Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Bất phương trình ( ) x2

f x <e +m đúng với mọi x∈ −( 1;1) khi và chỉ khi

A m≥ f(0) 1− B m> − −f( 1) e C m> f(0) 1− D m≥ − −f( 1) e HD: Giả thiết ⇔ ( ) 2 ( ) ( ) ( )

1;1

x

−

> − ∀ ∈ − ⇔ > với ( ) ( ) x2

Ta có ( ) ( ) 2

2 x

g x′ = f′ x − x e mà f′( )x =kx x.( 2 −4) (k >0)

Do đó ( ) ( 2 4) x2 ( 2 4) x2

g x′ =kx x − −x e =x k x − −e 

Lại có ( 2 4) 0; ( 1;1) ( 2 4) 0 x2 0

Suy ra

( 1;1) ( ) ( ) ( )

maxg x g 0 f 0 1

− = = − Vậy m> f ( )0 −1 là giá trị cần tìm Chọn C

Câu 34: Cho hàm số y= f x( ) liên tục và không âm trên ℝ thỏa mãn f x f( ) ( ) ' x =2x f2( )x +1 và ( )0 0

f = Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên [ ]1;3 Biết rằng giá trị của biểu thức P=2M −m có dạng a 11−b 3+c,(a b c, , ∈ℤ) Tính S = + +a b c

A S =6 B S =4 C S =7 D S =5

HD: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2

'

1

f x f x

f x

+ Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: ( ) ( )

( )

2 2

'

2 1

f x f x

f x

+

( ) ( ( ) )

1

f x d f x

+



Ta có: ( ) 4 34 4 2 ( [ ] ) ( ) ( )3 3 11

Suy ra a=6,b= −1,c=0a b c+ + =5 Chọn D.

Câu 35: Cho các số thực , , , , ,a b c d e f thỏa mãn

d e f



của biểu thức ( ) (2 ) (2 )2

a−d + −b e + −c f bằng

A 4 2 3.− B 7 4 3.− C 28 16 3.− D 1

a + + −b c a+ b+ c− = ⇔ a− + +b + +c =

Gọi M a b c( ; ; ) M thuộc mặt cầu ( )S tâm I(1; 2; 1 ,− − ) bán kính R=2 3

Gọi N d e f( ; ; ) N thuộc mặt phẳng ( )P : 2x− +y 2z− =14 0

; ;

Lại có d I ;( )P = >4 R nên mặt phẳng ( )P không cắt ( )S

2

MN =d I P − = −R  MN = − = − Chọn C

Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm thuộc cạnh SC sao cho SN =2CN P, là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP=3DP Mặt phẳng (MNP) cắt

SA tại Q Biết khối chóp S.MNPQ có thể tích bằng 1, khối đa diện ABCDQMNP có thể tích bằng

A. 4 B. 14

17

9

5

HD: Đặt SQ x, SM y, SN z, SP t

SA = SP = SC = SD = theo giả thiết ta

có: 1, 2, 3

y= z= t= Ta có: 1 1 1 1 6

11

x

x+ = +z y t  = Khi đó .

.

S MNPQ

S ABCD

=  + + + =

Suy ra 1 22 17

ABCDQMNP

C

A

B

D

S

M

N

P Q

Câu 37:Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y= f '( )x có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình ( )x 2x

f e <e +m nghiệm đúng với mọi x∈(ln 2;ln 4) khi và chỉ khi

C m> f(2) 4− D m> f(4) 16−

HD: Ta có ( )x 2x; (ln 2;ln 4)

m> f e −e ∀ ∈x

Đặt x

t =e mà x∈(ln 2;ln 4)t∈( )2;4 Do đó m> f t( )−t2;∀ ∈t ( )2;4

Đặt ( ) ( ) 2

g t = f t −t nên yêu cầu bài toán

( )2;4 ( ) min

⇔ >

Xét hàm số ( ) ( ) 2

g t = f t −t trên ( )2;4 , có g t′( )= f′( )t −2 ;t

Với t∈( )2;4 1< f′( )t <4 và − ∈ − −2t ( 8; 4)  g t′( )<0

Suy ra g t( ) là hàm số nghịch biến trên ( )2; 4

( )2;4 ( ) ( ) ( ) ming t g 4 f 4 16

Kiểm tra tại m= f ( )4 −16 thỏa mãn yêu cầu Vậy m≥ f(4) 16.− Chọn B

Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 4 1 5, 2: 2 3

Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng ∆ ∆1, 2, gọi ( )S là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất Bán kính của mặt cầu ( )S là

HD: Mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng ∆ ∆1, 2 mặt cầu có bán kính nhỏ nhất khi đường kính của nó

là đoạn vuông góc chung của ∆ ∆1, 2

1 2

;

2

d

Gọi ( )P là mặt phẳng chứa ∆1 và song song với ∆2 ta có: n( )P =u u1; 2=5 1; 1; 2( − )