TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:1.. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1.
Trang 1III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 ∫5 − −+
3
1 2
dx x x
x
2 ∫b + +
a
dx b x a
( 1
3 ∫1 ++ +
0
3
1
1dx
x
x x
x
x x
∫1 +++ 0
2 3
1 1
5 ∫1 +
0
3
2
) 1 3
x
6 ∫1 + + 0
2
2 ( 3 ) )
2 (
1
dx x
x
7 ∫2 −+
1
2008
2008
) 1
(
1
dx x
x
x
8 ∫
+ +
−
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
9 ∫3 −
2
2 2
4
) 1 (x dx
x
10 ∫1 + − 0
2
3 2
) 1
x n n
11 ∫2 + − +
1
2 4
2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
12 ∫2 +
1
4) 1 (
1
dx x x
13 ∫2 +
0
2
4
1
dx
0 4
x
x x
∫2 − +
0
1
16 ∫1 + 0
3
2 ) 1
x
17 ∫4 − +
2
2
1
dx x x
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19 ∫2 +−
1
4
2
1
1
dx x
x
20 ∫101+ 3
1
dx x
21 ∫1 + ++ +
0
6
4 5 6
1
2dx
x
x x x
22 ∫1 +− 0
2
4
1
x x
23 ∫1 ++
0
6
4
1
1
dx x
2
+
∫
x
dx
25 1 2
+ +
dx
2
dx x
x
x
x
+
− 1
0
3 1
2 2
28 ∫
−
−
−
0
1
1 2 1 2
2
dx x
x
x
x
x
+
− 2
0
1 2
1 3
x
x x
∫1 ++ + 0
2
3
3 2
x
x x
∫
+ + 0
1
2
1 2 1
1
x
x x
∫ − +
+
− + 1
0
2
1 1
2 2
33 ∫1 + +
0
x
dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
Trang 21 2 x 4xdx
0
sin
∫
π
2 ∫2
0
3
sin
π
xdx x
3 ∫2 x x dx
0
5
sin
π
4 ∫2 +
0
3
(sin
π
dx x
0
4
(sin
2
cos
π
dx x x
0
2
sin 2 (
π
dx x x
x x
7 ∫2
3
sin
1
π
π
dx
0
4 4 10
(sin
π
dx x x x
x
9 ∫2 −
π
x
1
π
dx x
11 ∫2 +
0
2
3
cos
1
sin
π
dx x
6
4 cos sin
π
dx
0
2
sin
π
x x
x x
cos
π
dx x x
15 ∫2 −
cos
π
dx x
sin
π
dx x x
17 ∫2 +
0
3
cos
1
cos
π
dx x
1
π
dx x x
19 ∫2 −
3
2
) cos
1
(
cos
π
xdx
20 ∫
+
−
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
π
π
dx x x
x x
21 ∫4
0
3
π
xdx
6
3
cot π
π
23 ∫3
4
4
π
π
xdx
01 1
π
dx tgx
25 ∫
+
4
4 cos(
cos
π
π
x x
dx
26 ∫2 ++ ++
6 cos 7 sin
π
dx x x
x x
27 2∫π +
0
sin
π
x x
dx
Trang 329 ∫4 +
0
4
3
cos
1
sin
4
π
dx x
2 sin 2 cos 1
π
dx x x
x x
31 ∫2 +
3
sin
π
dx x
4
sin 2
sin
π
dx
33 ∫4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
π
dx x x
35 ∫π
0
sin
4
3
sin
sin sin
π
π
dx xtgx
x x
37 ∫2 + +
π
x x
π
x dx
39 ∫2
4
5
3 sin
cos
π
π
xdx
0
2
cos 1
4 sin π
x xdx
41 ∫2 +
π
x
6
sin
π
dx
43 ∫
+
3
6 sin(
sin
π
dx
4 ∫
+
3
4 cos(
sin
π
dx
45 ∫3
4
6
2
cos
sin
π
xdx
46 tgxtg x )dx
6 (
3
6
π
π
π
47 ∫3 +
0
3
) cos (sin
sin
4
π
x x
− +
0
2
2
) sin 2 (
2 sin
x
49 ∫2
0
3
sin
π
dx
0
2cos
π
xdx x
0
1 2
2
sin
π
dx e
x
x x
∫2 ++
sin 1 π
53 ∫4 +
6
2 cot
4 sin
3
sin
π
π
dx x g tgx
x x
0
sin
2 sin π
x x
xdx
55 ∫12cos(lnx)dx 56 ∫3
6
2
cos
) ln(sin π
π
dx x x
Trang 457 ∫2 x− x dx
0
2
cos ) 1 2 (
π
58 ∫π 0
2
cos
x
59 ∫4
0
2
π
xdx
61 ∫2
0
3 sin2 sin cos
π
xdx x
0
) 1
ln(
π
dx tgx
63 ∫4 +
0
2
) cos 2 (sin
π
x x
0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
π
dx x x
x x
65 2 sin 2 sin 7
2
π
π
∫
cos (sin cos ) 0
π
+
67 2 4 sin3
0 1 cos
π
∫
+
x dx x
68 ∫
−
2
2
3 cos 5 cos π
π
xdx
69 ∫
−
2
2
2 sin 7 sin π
π
xdx
0
cos 2 sin
π
xdx
x
71 ∫4
0
2
sin
π
xdx
V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
∫b
a
dx x f x
+) R(x,
x a
x a
+
− ) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0
∈ +) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
+
+ ) Đặt t = n
d cx
b ax
+ +
+) R(x, f(x)) = (ax+b) αx2 + βx+ γ
1
Với (αx2 + βx+ γ)’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = αx2 + βx+ γ, hoặc đặt t =
b
ax+
1
+) R(x, a2 +x2 ) Đặt x = a tgt , t ]
2
; 2
∈
+) R(x, x2 −a2 ) Đặt x =
x
a
2 {
\]
;0 [ π π
∈
+) R(n 1 n 2 n i )
x ; x ; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
Trang 51 2∫3 +
5 x x2 4
dx
2 ∫2 −
3
dx
3 ∫
2
1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
4 ∫2 +
1 x x3 1
dx
5 ∫2 +
1
2 2008dx
1 x2 2008
dx
1
0
2
2 1 x dx
1
0
3
2 ) 1
9 ∫3 ++
2
1
1
dx x
x
x
10 ∫2 −+
2
1
dx x x
11 ∫1 +
0 ( 1 x2)3
dx
12 ∫2 −
2
0 ( 1 x2)3
dx
13 ∫1 +
0
2
2
2
1 x
dx x
15 ∫2 +
cos π
x
0
2
cos cos
sin
π
dx x x
x
17 ∫2 +
cos π
x
sin 2 sin
π
dx x
x x
19 ∫7 +
3
1 x
dx x
0
2
3 10 x dx x
21 ∫1 +
xdx
22 ∫1 + +
3
1
x x
dx x
23 ∫7 + +
dx
24 ∫1 x + x dx
0
8
15 1 3
25
∫2 −
0
5
6 1 cos3 sin cos
π
xdx x
∫3 +
ln
0 e x 1
dx
27 ∫
1
1 1 x x2 1
dx
28 ln∫2 + 0
2
1
x
x e
dx e
4
5
4
12x x dx 30.∫e + dx
x
x x
1
ln ln 3 1
31 ∫3 ++
3 5
x x
32 ∫4 x − x +x dx
0
2
3 2
33 −∫0 + +
1
3
(e x dx
x x
34 lnln∫32 lnln2 +1dx
x x x
Trang 635
0
2 2
cos
3 2 cos
2 cos π
dx x
tgx x
x
36 ln∫2 +
0 ( x 1 )3
x e
dx e
37 ∫3 +
cos π
x
cos π
x xdx
x
x
∫7 ++
2
40 ∫a x +a dx
2
0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
−
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)] ( ) ( [ )
(
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn
[-2
3
; 2
3π π ] tháa m·n f(x) + f(-x) =
x
2 cos 2
2 − ,
TÝnh: ∫
−
2 3
2 3
) ( π
π
dx x f
+) TÝnh ∫
− +
+
1
1
2
4
1
sin
dx x
x x
−
a
a
dx x
f( ) = 0
VÝ dô: TÝnh: −∫1 + +
1
2) 1 ln(x x dx ∫
−
+ +
2
2
2) 1 ln(
cos π
π
dx x x
x
−
a
a
dx x
f( ) = 2∫a f x dx
0
) (
VÝ dô: TÝnh ∫
− − +
1
1
2
x
dx
2
4 sin 2
π π
+
∫
−
−
dx x
+
−
a a
a
x dx f x dx b
x f
0
) ( 1
) (
(1≠
b>0, ∀a)
VÝ dô: TÝnh: ∫
+ 3
3
2
2 1
1dx
x
2
2
1
5 cos 3 sin sin π
π
dx e
x x x
x
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;
2
π], th×
∫
0
2
0
) (cos )
(sin
π π
dx x f
x f
VÝ dô: TÝnh ∫2 +
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
π
dx x x
x
sin
π
dx x x
x
Trang 7Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: π∫ =ππ∫
0 0
) (sin 2
)
xf
Ví dụ: Tính ∫π +
0 1 sinx dx
x
∫ +
π
0 2 cos
sin
dx x
x x
a
b
a
dx x f dx x b a
f( ) ( ) ⇒ ∫b f b−x dx =∫b f x dx
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính π∫ +
0
2
cos 1
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a∫+T =∫T
a
dx x f dx x f
0
) ( )
∫
T nT
dx x f n dx
x
f
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính 2008∫π −
0
2 cos
1 x dx
Các bài tập áp dụng:
1 ∫
− 1
1
2
2 1
1
dx
x
−
+
− +
−
4
4
4
3 5 7
cos
1 π
π
dx x
x x x x
3 ∫
1
1
2) 1 )(
1
dx
− −
+
2
2
2
sin 4 cos π
π
dx x
x x
5 ∫
−
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x
2
0
7 ∫
2
2
5
cos 1 sin π
π
dx x
x
cot
= +
+
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1 ∫
−
− 3
3
2
0
2 4x 3dx x
3.∫1 −
0
dx m x
−
2
2
sin π
π
dx x
5 ∫
−
− π
π
dx x
sin
6
2
π
π
dx x g x
tg
7 ∫4
3
4
2 sin
π
π
dx
0
cos
Trang 89 −∫5 + − −
2
) 2 2
(x x dx 10 ∫3 −
0
4
11 ∫
−
−
3
2
3
cos cos
cos
π
π
dx x x
4 2 1
x 3x 2dx
−
13
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
2 2 2 1
2
1
x
∫
15
3
x 0
2 −4dx
0
1 cos2xdx
π
+
17
2
0
1 sin xdx
π
+
∫ 18 ∫2 x − x dx
0
2
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG
Vớ dụ 1 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x
và phía dới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi
=
≤
≤
−
=
0 1
3
y
x o
x x y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
+
−
=
+
+ +
=
4 2 4
2 2
1
1
3 2
a
ax a y
a
a ax x y
Tìm a để diện tích lớn
nhất
Bài 6: Tớnh diện tớch của cỏc hỡnh phẳng sau:
Trang 91) (H1):
2
2
x
4 x y
4 2
=
2) (H2) :
2
y x 3
= +
3x 1 y
x 1
y 0
x 0
− −
=
=
4) (H4):
2 2
y x
=
y x
y 2 x
=
= −
2
x y 3 0
+ − =
+ − =
7) (H7):
ln x y
2 x
y 0
x e
x 1
=
=
=
=
8) (H8) :
2 2
= −
9) (H9):
y x
= + −
=
10) (H10):
2
x y 0
+ =
−
=
=
) (
2 : ) (
:) (
Ox
x y d
x y C
12)
=
∆
=
=
1 :) (
2 :) (
:) (
x
y d
e y
14)
=
+
−
−=
0 3
4
2
2
y
x
x
y
15)
=
=
− +
=
0
0 2
y
y x
x y
16
+
=
=
2
2
1
1
2
x
y
x
y
17 18)
=
=
=
=
e
x e x
y x y
, 1
0 , ln
19
=
=
=
=
3
;
6
cos
1
; sin
1
2 2
π
π x
x
x
y x
y
20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
21)
−
=
+
−
=
+
−
=
11
4
4 2
5 4
2
x
y
x
y
x x
y
22)
−
=
− +
−
=
− +
−
=
15 3
3 4
5 6
2 2
x y
x x y
x x y
23)
=
=
=
=
e x y x y
x y
0 1
Trang 10
24)
+
=
−
=
5 /
/
/1
/ 2
x
y
x
y
25)
=
=
x y
x y
2
3
26)
=
+
−
−=
0
2 / /
3 2
y
x x
y
27)
−
=
+
=
x
y
x
y
4
2
2
=
+ +
=
+
−
=
1
5 4
2 2
2 2
y
x x y
x x y
29)
+
−=
−
=
7
/1 /
2
2
x y
x
y
30)
=
−
=
=
=
1
;
2
0
3
x
x
y
x
y
31)
=
=
=
−
=
π
x x y
x x
y
;0 3
cos 2 sin
32)
=
+ +
= 0
2 3
y
x
x
y
33)
+
=
+
=
2
2
2
x
y
x x
y
34)
=
=
− +
=
−
=
4
;0
6 3
2 2
2 2
x x
x x y
x x y
35)
=
+
−
= 6
/6 5
/ 2
y
x x y
36)
=
−
−
=
=
2
1 2
2
2
2
y
x x
y
x
y
37)
=
+
−
= 2
/2 3
/ 2
y
x x
y
38)
+
=
+
−
=
1
/6 5
/ 2
x
y
x x
y
39)
−=
+
−
=
2
2 3 /2 /
x y
x x
y
40)
=
+
−
= 3
/3 4
/ 2
y
x x
y
41)
=
=
=
−
1
x
e
y
e
y
x
Ï
42)
=
=
−
= 1
;0
6 2 2
x x
x x
x y
43)
−
=
= π
/ /
/
sin/
x y
x y
44)
=
−
−
=
=
8
4 4
2
2
2
y
x x
y
x
y
45)
=
= + +
=
0
0 1 2 2
2
2
y
y x
x y
46)
0
) ( 2 2 2
2
a
x a x y
47)
=
+
=
y
x
x
y
π
sin
)1
48)
=
−
= 2
/1 /
2
x
x
y
49)
=
−
= 2
/1
/ 2
x
y
x
32)
=
=
+
=
0 sin
)1
x
x y y x
Trang 1134)
=
−
=
=
=
0
; 1
2
1
;
0
4 y x
x
y
x
x
35)
−
=
=
=
= −
x y x y
3
;0 0
5 2
3 6)
= +
= 16
6
2 2
2
y x
x
y
37)
=
=
=
x
y
x
y
x
y
27
27
2
2
38)
=
−
=
x y
x y
4
) 4(
2
3 2
39)
=
=
=
=
10 , 10 1 0
/ log /
x x
y
x y
40)
=
=
2
2
x
ay
y
ax
(a>0) 41)
≤
≤
+
=
= π
x
x x y
x y
0
sin2
42)
−
=
=
2 2
2
)1 (8 27
2
x y
x
y
43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp tuyến đi
qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
45)
=
− +
−
=
0
3 4
2 2 3
y
x x x
y
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRềN XOAY Cụng thức:
V b[f x ] dx
a
2
) (
∫
=π V b[ f y ] dy
a
2
) (
∫
=π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)= − 2 và y = 4
Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh:
a) Trục Ox b) Trục Oy
) ( :
) (C y= f x
b
a
x
y
O
b
a
x
y
0
=
x
O
) ( : ) (C x= f y
b
y=
a
y=
Trang 12Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y= −4 x y x2; = 2+2.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
21 ;
x
x
+
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2 2
1
x
e
x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln( 1 3 )
x
+ ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1)
=
−
=
4
)2
y
x
y
quay quanh trôc 0x;
2)
=
=
=
4
4
2
y
x y
x
y
quay quanh trôc 0x;
3)
=
=
=
1 ,0 ,0
1
1
2
x x
y
x
y
quay quanh trôc 0x;
4)
=
−
=
0
y
x
x
y
quay quanh trôc 0x;
5)
=
=
=
=
e
x
x
y
x
x
y
;1
0
ln
.
quay quanh trôc 0x;
6) (D)
=
+
−
=
>
=
1
10 3
)0 (
2
y
x y
x x
y
quay quanh trôc 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7)
=
=
x
y
x
quay quanh trôc a) 0x;
Trang 138) Miền trong hình tròn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trục 0x;
9) Miền trong (E): 1
4 9
2 2
= + y
x quay quanh trục 0x;
10)
≤
≤
=
=
=
1 0
;,
1
0
x x
y
xe
quay quanh trục 0x;
11)
=
=
=
+
=
π
π x
x
y
x x
y
;
2
0
sin cos4 4
quay quanh trục 0x;
12)
−
=
=
x y
x
y
3
10
2
quay quanh trục 0x;
13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 quay quanh trục 0x;
14)
=
=
−
=
2
;0
4
4
x
x
x
y quay quanh trục 0x;
15)
=
=
=
−
=
0
;0
2
1
y
x
y
x
y
quay quanh trục 0x;
Không có sách ,lịch sử im lặng,văn chơng câm điếc,khoa học tê liệt,t tởng và suy xét ứ đọng.Từ sách bạn có thể khám phá biết bao điều kỳ thú trên khắp thế giới.Thật phí “nửa cuộc đời ”cho những ai cha bao giờ biết đọc sách là gì !
