ÔN TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

ÔN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂNI.. NGUYÊN HÀM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.. Các tính chất nguyên hàm: Cho các hàm số fx và gx có nguyên hàm... BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

ÔN TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

I NGUYÊN HÀM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa:

Hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là của f trên K nếu '( ) F x f x( ), x K

2 Định lý:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì CR, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) Ta ký hiệu: f x dx F x( )  ( )C và gọi là họ nguyên hàm của f trên K.

3 Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của

những hàm số sơ cấp

thường gặp

Nguyên hàm của những

hàm số hợp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản

C x

dx 

 1

1

1















1

1















1





















C b

ax a dx b ax

 0



dx x x C x du u lnu C u0 1ln    0



ax dx b a ax b C x

C e

dx

e x x









a dx

e ax b ax b





0 1



a dx a a C a

x



a dx a a C a

u u

(0 1)

ln

mx n

mx n a

m a

+

ò

C x xdx 

cos sin cosudu sinuC

  ax b C

a dx b

C x xdx  

sin cos sinudu  cosuC

a dx b

C x dx

cos12 tan cos2ax1 bdxa1tanaxbC C

x dx

sin12 cot sin2ax1 bdx a1cotaxbC

tanxdx ln cosx c



cotxdxln sinx c



3

Các tính chất nguyên hàm:

Cho các hàm số f(x) và g(x) có nguyên hàm Khi đó:

 k f x dx  ( ) k f x dx ( ) ( k là hằng số)

 [ ( )f x g x dx( )] f x dx( ) g x dx( )

4

Các phương pháp tìm nguyên hàm:

a) Nguyên hàm từng phần

udv uv= - vdu

b) Phương pháp đổi biến

[ ( )] '( ) ( )

f u x u x dx= f u du

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

1 f x( )x3 2x23x 2 2 f x( ) x x 23x3 3 ( ) sinf x  x2cos(x1) 3

4 ( ) 22 1

3

x

f x

x x





  5 f x( ) (2 x1)3 x2 x 5 6 f x( ) sin cos 5x x

7 ( )f x x.sinx 8 f x( )x.sin2x 9 f x( )x.cos2x

10 ( ) (2f x  x1).cos(3x 2) 11 ( )f x e x.cosx 12 f x( ) ln 2x

II TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa

b

a f x dx F b  F a

 trong đó, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K chứa [a; b]

2 Tính chất

Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K Khi đó ta có:

1) a ( ) 0

a f x dx =

b f x dx=- b f x dx

3) a b f x dx( ) b c f x dx( ) a c f x dx ( ) 4) b[ ( ) ( )] b ( ) b ( )

a f x ±g x dx= a f x dx± a g x dx

a k f x dx k= a f x dx

3 Các phương pháp tính tích phân

a Phương pháp đổi biến:  

( )

( )

( ) '( ) ( )

u b b

a

u a

f u x u x dx f u du

b Phương pháp tích phân từng phần: ( ) '( )  ( ) ( ) | ( ) '( )

b a

u x v x dx u x v x  v x u x dx

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1.

1

3 0

( 1)

2

1

(2 - 3)( - 3 1)

1

3 0

(3 -1)

e x e x dx ;

4 13(3x4)dx 5. -22x x( -1)dx 6. 01(x2- 2 )e dx x

7.

2

2

2 1

3 

2 3 1

4



1 3

 x e dx x

Bài 2: Tính các tích phân sau:

1

- (2sin - cos )

2 0

1

cos





3 4

0 cos (1 2 tan )



4

3 4

2 6

1- sin

sin

 x x dx



0

cos 2 sin cos

 x x x dx



6. 4 2

0 cos 2

 x dx



7 4 2

0 tan



8 4

6 cos sin

 dx x x



0

sin cos



0 (1 sin ) cos



11. 4

2 6

1

sin





3 2 2 6

cos sin

 x x dx



Bài 3 Tính các tích phân sau

1.

3

2 0

1



2

3 0

2



 

x x x dx

4. 4 22





3

1

x

dx

2

3 1

0 2

x dx

2 2 1

2 -1

- 6

x x x dx

Bài 4 Tính các tích phân sau

1

0 sin

x xdx 2. 0xcosxdx 3. 1e xlnxdx

4 2

1

0 ( 1)sin 3



0 sin

x xdx

4 sin

 xdx x



2

0 cos

 xdx x



10 2 2 2

x xdx



11 2 2 2

x xdx



12. 2

1ln

e xdx

Bài 5: Tính các tích phân sau:

a)

1

1

x dx

3 2 0

4

x - dx

2

2

x x dx

ò d)

3

2 0

x - x+ dx

0

1 sin2xdx

p

ln

e

e

x dx

ò Bài 6: Tính các tích phân:

a)

1

2 1

1 x dx

1

1 2

x x dx

2

1 4

x dx x

-ò

1

2 0

1

2

13

x dx x

0 2 1

1

x x

ò Bài 7: Tính các tích phân sau:

a)

2

x

x

=

0

1 2sin

1 sin2

x

x

p

-=

+

ò

c)

1

1 3ln ln

e

x x

x

+

4

2 0

1

x x

p

=

+

ò

0

1 3cos

x x

x

p

+

=

+

2 3

2

dx I

x x

=

+

ò

0

tan cos2

x

x

p

0

4

x

=

ò i)

1

2 0

(x- 2)e dx x

3 2 2 ln(x - x dx)

ò k) I =

2

3 1

ln x dx

x

0 (e x cos )cosx xdx

p

-ò m) I =

2

2 1

(x 1)e dx x

x

0

sin

x

x x

p

=

+

ò