Nguyên hàmI .Lý thuyết 1.Đn: Cho hàm số fx liên tục trên khoảng I.. Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của fx trên I nếu F’x = fx với mọi x thuộc khoảng I.
Trang 1A Nguyên hàm
I Lý thuyết
1.Đn: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng I Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên I nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc khoảng I.
2.Phương pháp đổi biến số: Giả sử cho hàm u = u ( x ) là 1 hàm số có đạo hàm liên
tục trên I sao cho hàm hợp f[u( )x ] xác định trên I Khi đó ta có
( )
[u x ]u '( )x dx F[u( )x ] C
∫
ở đó F(u) là 1 nguyên hàm của hàm số f(u)
3 Phương pháp lấy nguyên hàm tưng phần
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì
dx ) x ( ' u ) x ( v ) x ( v ) x ( u dx
)
x
(
'
v
)
x
(
II Bài tập
1.Phần tìm nguyên hàm thuần túy
Bại 1 : tìm nguyên hàm của các hàm số sau
x
2 2
x
∫ +
b) ∫(x − 1)(x 4 + x)dx
c)∫sin 2 xdx
Bài 2: tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a) (x 3 x 2 4)dx
∫ + −
b)∫cos 2 xdx
Bài 3: Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau
2
x x 3
( 2
∫ +
b) (2 x 3 5 x 7)dx
∫ − +
Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a) ∫ ( x + 3 x)dx
x
x x x
2
∫ +
c) (4 sin 2 x)dx
∫
2
x 4 cos 1
∫ +
Bài 5: chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
Nguyên hàm của hàm sô y = x sin x là
2
x
sin
x 2 + b) − x cos x + C c) − x cos x + sin x + C
Bài 6: Khẳng định sau đây đúng hay sai:
x 1
)
x
( = − thì ∫ ( x ) dx = − x + C
2.Phần đổi biến
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
a) ∫( 2 x + 1 )4dx
Trang 2b)∫ (x 2 + 1)3 2 xdx
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số
a) ∫3 2 +
4 x
x 2 dx b)∫cos(7 x + 5)dx
c)∫cos xe sin x dx
d) xe 1 x2dx
Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) ( x ) = x 7 − x 2
b) ( x ) = cos( x + 4 )
c)
) 2 x ((
cos
1 )
x
+
=
d)
2
x cos 2
x sin )
x
3.Phần lấy nguyên hàm từng phần
Bài 1: Tìm nguyên hàm
a) ∫x cos xdx
b) ∫x sin xdx
Bài 2: Tìm nguyên hàm :
a) ∫ln xdx
b) e dx
3
x x
∫
Bài 3:tìm nguyên hàm :
a) = 18 −1
x x )
x
(
3 2
b)
3
x cos x
1 sin x
1 ) x
( = 2
c) ( x ) = x 3 e x
d) ( x ) = e x − 9
e) ( x ) = x 2 cos x
d) ( x ) = x ln x
4.Phần tổng hợp của nguyên hàm
1) ∫ ( x 3 + x 2 + x + 3)dx
2) ∫ ( + − + + )
− x a dx a
x
1 n n n
3) ∫ + dx
x
1 x
2
3 4) ∫ − − dx
x
1 x x
4
4 5
5) ∫
x
x
6) ∫ + dx
x
1
x
3 2
Trang 37) ∫ ++ dx
1
e
1
e
x
x
8) ∫ + − + dx
x
2 x
x
3
4
4
9) ∫
− x x dx
x
1
1
10) ∫tg 2 xdx
11)∫2 x 3 x 5 x dx
12) ∫ (1 + x )2 xdx
1
2
13) ∫ (x 2 − x + 1)10( x − 3)dx
14) ∫ dt
t
t
ln 4
15) ∫e 3 cos t sin tdt
16) ∫(tgx + cot gx)2 dx
17) ∫x x dx
18) ∫ − −− dx
x
1
x 1
2
2 2
19) ∫x cos x 2 dx
20) ∫ ax 2 + bx + c xdx
21) ∫sin( ax + b ) dx
22) ∫e 3 x 3 x dx
23) ∫ dx
x
ln
x
1
24) ∫(2 tgx + 3 cot gx)2 dx
25) ∫ sin x cos xdx
26) ∫cos(sin x ) cos xdx
27) ∫(ax + b)ndx
28) ∫sin(mx)dx
∫cos( mx ) dx
29) ∫tgxdx
∫cot gxdx
30) ∫ dx
x
sin
1
31) ∫ dx
x
cos
1
32) ∫ − dx
x
a
1
2 2
Trang 433) ∫ − dx
x
a
1
2
2
34) ∫ + dx
x
a
1
2
2
35) ∫ + dx
x
a
1
2
2
36) ∫ − dx
a
x
1
2 2
37) ∫ a 2 − x 2 dx
38) ∫ + + dx
5 x
x
x
2
4
39) ∫ + dx
x
2
1
2
40) ∫ − dx
x
2
1
2
41) ∫ − dx
e
1
e
x
x
II.Đề thi các năm (Gồm đại học và tốt nghiệp)
Trang 8B Tích phân
I Lý thuyết
) a ( F ) b ( F a
b ) x ( F
dx
)
x
(
f
b
a
−
=
=
∫
II Bài tập
Bài 1: dx
x
1
5
3
∫
x
1 x
4
2
∫
+