BAI TAP TICH PHAN

Do đó ππ − =+4 Tính thể tích khối nón tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: II... Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục

 Vi phân của hàm số y=sin3x là ( 3 ) 2

sin 3sin cos

II Nguyên hàm :

1) Định nghĩa : Cho hàm số ƒ(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của ƒ(x) trên K nếu F

′(x) = ƒ(x), ∀x∈K

2) Định lý : Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì:

⋅ Với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K

⋅ Ngược lại, nếu G(x) là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C

x dx x

x dx x

a) Định lý : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

a) e−x và –e−xlà nguyên hàm của nhau; b) ( 2 )

sin x /= 2sin cosx x = sin2x ;

− c) ƒ(x) =

1sin xcos x

d) ƒ(x) = sin 5 cos3x x e) ƒ(x) = tan x2 g) ƒ(x) = e 3 2x− h) ƒ(x) = 1

d) ∫(1−x d) (sin )x = (1−x) sinx+∫sinxdx = (1−x) sinx−cosx C+

II BÀI TẬP SGK NÂNG CAO:

1) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

3 2

3) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

Nguyên hàm của hàm số y = xsinx là:

4) Khẳng định sau đúng hay sai ? Nếu ƒ(x) = (1− x)/thì ∫ f x dx( ) = – x + C

 Hướng dẫn : Đúng vì – x là một nguyên hàm của ƒ.

5) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ƒ(x) =

2

3

91

x x

− b) ƒ(x) =

1

5x+4 c) ƒ(x) = x41−x2 d) ƒ(x) = ( )2

11

4

21

+7) Dùng phương pháp đổi biến số và từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ƒ(x) =

5 3

2

118

118

x

e − x− − +C

8) Dùng phương pháp đổi biến số và từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ƒ(x) =x2cos 2x b)ƒ(x) = xlnx c)ƒ(x) =sin4xcosx d)ƒ(x) = xcos( )x2

x C

x C

+

++ 2( 2)

12

ln415) ∫2 (x x2+1)3dx= ∫(x2+1) (3d x2+1) =

( 1)4

−

=+

=

x x

d x x x

x

xdx x

x

dx

1

ln2

1)()1

11(2

1)1()

1

2 2

2 2 2

2 2

§2 TÍCH PHÂN

I Khái niệm tích phân:

1) Định nghĩa : Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F(x) là một nguyên hàm

của ƒ(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ƒ(x) hay tích phân xác

định trên đoạn [a; b] của hàm số ƒ(x), ký hiệu ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

e

dx e

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

1) Phương pháp đổi biến số:

1 1

t x

t x

 VD3 : Tính I =

1

0

(1 )1

x x

dx xe

++

ln

e

e dt

t t

ln 1 ln 21

2

dx x

−

∫ Đặt x = sint ⇒ dx = costdt Đổi cận:

1

62

t x

π

 VD3 : Tính I =

1 2 0

1

cos

1 tan t = t+

0 0

1( 1)dx

2

1 3( 1)

x dx x

−+

3−f)

dx e

x x

dx xe

++

=

++

ln1

e x

e x

1 0

a)

2 0

(1 3 )+ x dx

1 3 2 2 0

11

x dx x

ln(1 x)

dx x

1

(1 3 ) (1 3 )

3∫ + x d + x =

1 5 2 0

2(1 3 )

15 + x = 64 2 62

15 15 15− =b)

tancos

x dx x

41

x dx

= 12

π

64) Dùng phương pháp tính tích phân từng phần tính các tích phân sau:

7) Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = sin x

x trên khoảng (0; +∞) Khi đó

3

1

sin 2x

dx x

∫ = F(6) – F(2)8) Chứng minh rằng

e = 1( 8 )

3 e −eb)

1

(ln ) (ln )x d x

3 3

1

1(ln )

3 x =

3

(ln 3)3c)

x

e d x

1 3

0

19

0

ln 1 sin x+ π = ln211) Tính các tích phân sau:

x dx x

sin 2 (cos )

π π

0 0

=+

=+

022

02

42

0

C B A A

C

C B

B A

Vậy : ( ) ( )

2 2

31

t x

00

1

4

t x

−

∫ Đặt t = x2−16 ⇒ 2

16

xdx dt

2 0

x dx x

x dx x

t x

t x

38) Tính 2

dx I

1 1

t t

t t

ππ

6 3

2

x dx x

00

t x

t x

cos 3 cos 3

π π

sin 3 sin 3

π π

t x

t x

t e

x e

t x

§3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I Diện tích hình phẳng:

1) Diện tích hình thang cong :

a) Định nghĩa : Hàm số y = ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b], hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = ƒ(x) và các đường y = 0 (trục hoành Ox), x = a, x = b được gọi là hình thang cong (H) có diện tích là:

y f x y H

 Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số ƒ(x) trên đoạn [a; b] Nếu vẽ

được đồ thị thì không lập bảng xét dấu.

 Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( )

b

a

f x dx

∫ Nếu vẽ đồ thị thì phần phía trên trục

hoành dương nên không đổi dấu, phần đồ thị dưới trục hoành âm nên đổi dấu.

1

( ) 3

 Hàm số y = ƒ(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b], diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = ƒ(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: ( ) ( )

y f x

y g x H

 Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số ƒ(x) trên [a; b] Nếu vẽ được 2 đồ thị thì không lập bảng xét dấu.

 Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( ) ( )

b

a

f x −g x dx

∫ Nếu vẽ 2 đồ thị thì ƒ(x) – g(x) dương khi ƒ(x) nằm trên g(x) và ngược lại.

c) Ví dụ:

 VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y= − +x4 2x2+3 và y=4x2

 Giải : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là

1) Trường hợp 1 : Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ) 0≥ ∀ ∈x [ ]a b; , 0

 VD1: Tính thể tích hình cầu do hình tròn ( ) :C x2+y2 =R2 quay quanh Ox

 Giải : Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 =R2 ⇔ = ±x R

a +b = quay quanh Oy

 Giải : Tung độ giao điểm của (E) và Oy là

42

 VD3: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= 2, y2 =x quay quanh Ox

 Giải : Hoành độ giao điểm 4 0 0

c) Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 3 và x = 6 Do đó

ππ

−

=+4) Tính thể tích khối nón tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

II BÀI TẬP SGK NÂNG CAO:

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sinx + 1, trục hoành, x = 0 và x = 7

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = cos x2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π

Trên khảng (0; 2), ta có x4– 2x2– 2x2< 0 nên 2( 2 4)

0

644

15

S=∫ x −x dx=3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số y = x2– 4, y = –x2 – 2x và hai đường thẳng x = –3, x = –2

b) Đồ thị hai hàm số y = 2

x – 4, y = – 2

x – 2xc) Đồ thị hàm số y = x3– 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4

Trên khoảng (–2; 1), ta có (x2– 4) – (–x2 – 2x) < 0 nên

x

−

6) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = x – 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình A quanh trục hoành

 Hướng dẫn : 4( )2

1

71

= , y = 1 và y = 4 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình A quanh trục tung

 Hướng dẫn :

4 2 1

8) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x= 5y2, x = 0 và y = –1 và y = 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

 Hướng dẫn :

1 4

x – 4 2

x + 4, y = 2

x , trục tung và đường thẳng x = 1c) Đồ thị các hàm số y = x2, y = 4x – 4 và y = –4x – 4

0

4

x x

1 2 0

(1 )

S =∫ −x dx =

1 2

0

1

x x

S =∫ xdx+ =

11) Tính thể tích của vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x = 0, x = π,

biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc

với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là 2 sin x

14) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 2

0

( 2)

x

V =π∫x e dx=π e−15) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x= 2sin 2y, x = 0 và y = 0 và y =

2

π

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung

III BÀI TẬP LÀM THÊM:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

1) Đồ thị hàm số y = x3– 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4

−+ , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 và x = 3.

∫ Theo bảng xét dấu:

4 215) Theo đề ta có

S =∫ − x dx=∫ + x dx+∫ − x dx x= x + x x− x = 1 e

e+ – 28) Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

1

x y

x

−

=+ và hai trục tọa độ Tính thể tích khối tròn xoay khi hình (H) quay quanh trục Ox

 Giải : Giao điểm của đồ thị hàm số 2

1

x y

x

−

=+ với trục hoành là x = 2 Do đó

2 2

0

21

BÀI TẬP ÔN HẾT CHƯƠNG:

e dx e

++

3 2

x C x

+ +

−3) Tính:

+

64

3 1

1 x dx x

27 e − ; d) 2 2 : 1 sin 2 sin cos 2 sin

(x 1)(x 2)(x 3)

dx x

II BÀI TẬP SGK NÂNG CAO:

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (từ bài 1 đến bài 3)

x x

++

b a− ∫ được gọi là giá trị trung bình của hàm số ƒ trên

[a; b] và được ký hiệu là m(ƒ) Chứng minh rằng tồn tại điểm c∈[a; b] sao cho m(ƒ) = ƒ(c)

 Hướng dẫn : Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất, lớn nhất ƒ trên [a; b] Ta có m ≤ ƒ(x) ≤ M

a) Parabol y = x2– 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung

b) Parabol y = –x2+ 4x – 3, tiếp tuyến của nó tại điểm A(0; –3) và B(3; 0)

b) Tiếp tuyến tại A(0; –3)∈(P ) và tại B(3; 0)∈(P ) có phương trình lần lượt là y = 4x – 3 và y = –2x + 6

Giao điểm hai tiếp tuyến là 3;3

3 2

14) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình x(y + 1) = 2 và các đường thẳng x = 0,

y = 0 và y = 3 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục tung

 Hướng dẫn :

3

2 0

4

3( 1)

15) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình x – y = 0 và các đường thẳng y = 2, x 2

= 0 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh

0

325

17) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình y = 2 x3 và các đường thẳng y = 0, x =

1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh

 Hướng dẫn : a)

1 3

47

V = −π π y dy= π

∫

x = 3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

 Hướng dẫn : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 1 3 2

t x

t x

Bài 6 (Đề thi TN.THPT năm 2007 Phân ban) Tính tích phân I =

2

2 1

21

x

=+ Đổi cận:

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hồnh

 Hướng dẫn : Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 ⇒ x = 0

0 0

31

x dx

x x

− −

− và hai trục tọa độ

 Hướng dẫn : Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong với trục Ox là 3 1

1

x x

− −

− = 0 ⇔ x = –

13Bảng xét dấu

Do đó S =

0 1 3

ππ

e dx

e +

∫

2 2

t x

t x

xdx

+

∫

 Hướng dẫn : Đặt 2

2

ln1

ln2

dx

x x

x dv

π

−+

x

+ Tìm a, b biết rằng 1

t x

Bài 28 (Đề dự trữ năm 2003 – Khối A – Đề 2) Tính I =

t x

t x

π π

Bài 31 (Đề dự trữ năm 2004 – Khối D – Đề 2) Tính I =

ln8 2

t x

t x

Bài 34 (Đề dự trữ năm 2004 – Khối B – Đề 2) Tính I = 2 cos 2 cos

t x

t x

Bài 36 (Đề dự trữ năm 2004 – Khối A – Đề 1) Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi phép quay quanh

trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y= xsinx (0 x≤ ≤π)

 Hướng dẫn : Hồnh độ giao điểm của đường y= xsinx với trục hồnh là xsinx 0 x 0

14

dx x

− ++

16 1

ln 2 17

dx x

++

π

++

2 1 3cos

xdx dt

x

−

=+ ⇒ sinxdx =

23

−tdt

21

x dx x

++

∫

x e

t x

Bài 52 (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối A) Tính I =

/2

0

sin 2cos 4sin

2sin cos

1 3sin

dx x

2lnln

( 1)4

Bài 57 (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e

Tính thể tích khối trịn xoay hình thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

 Hướng dẫn : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là xlnx = 0 ⇔ x = 1

2lnln

4y x= và y = x Tính thể tích vật thể tròn trong khi quay (H) quanh trục Ox trọn một vòng

 Hướng dẫn : Hoành độ giao điểm của hai đường 1 2 2 4 0 0

44

ln x

dx x

t x

2 ( 1)

2 ( 1)

d t t

Bài 64 (Đề dự trữ năm 2008 – Khối B) Tính

x dx x

+ và cos2x =

2 2

11

t t

−+ Đổi cận:

 Hướng dẫn : 2 2

2

sin 2 sin cos

3 4sin cos 2 (sin 1)

t x

t x

3 ln( 1)

x dx x

++

1( 1)

x dx x

−+

x dx x

−+

 Hướng dẫn : Đặt

2

1ln

32

3

e e

e

x dx

e

x dx

+ ++

+ ++

x dx

e

++

+

1 3