Tài liệu BDHSG Toán 9

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức.. Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số b

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức – sĩ số

- HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?

- HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ?

III Bài mới

A – Lí thuyết

1) Định nghĩa bất đẳng thức.

a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a – b < 0

a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a – b > 0

a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a  b, nếu a - b  0

a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a  b, nếu a - b  0

+ Tính chất 8: a > b > 0  n a  n b với mọi n *

 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

- A2 ≤ 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

2

a b

ab 2

dấu “=” xảy ra khi a = b

Chú ý: Để chứng minh BĐT: Với hai số không âm a , b ta có : ab ab

2

ta xuất phát từ BĐT ( a  b )2 0, luôn đúng với mọi a, b ≥ 0

*) Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè a, b, x, y ta cã

*) Bµi tËp 6:

Cho c¸c sè d¬ng a , b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = 1

Chøng minh r»ng : ( 1 + 1

a )( 1 + 1

b )  9 (1)Bµi lµm :

 



  



(B§T C«-si cho bèn sè kh«ng ©m)ThËt vËy:

H

íng dÉn :

XÐt hiÖu : H =

2 2

=

4

) 2

( ) (

2 a2 b2  a2  abb2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

A/Mục tiêu

 Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :

 Kiến thức

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản.

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức

- HS1: Viết các tính chất của bất đẳng thức ?

- HS2: Giải bài tập đã cho tiết trớc

III Bài mới

2 Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức

*) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện

dấu “=” xảy ra khi x = y

- Từ (1) và (2) x4+y4 2 dấu“=” xảy ra khi x = y = 1

1 1

2

2

b ab a b a

 3a2 - 6ab + 3b2 = 3(a2 - 2ab + b2)  0  3 a  b2  0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :

3 3

Dấu “=” xảy ra  a = b

*) Bài tập 9 :

Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 CMR a3 + b3 + ab 

2 1

2 1

 0

<=> a2 + b2 -

2

1

 0 Vì a + b = 1 <=> 2a2 + 2b2 - 1  0

<=> 2a2 + 2(1-a)2 - 1  0 ( vì b = a -1 )

<=> 4a2 - 4a + 1  0

<=> ( 2a - 1 )2

 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab 

2 1

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =

2 1

 ( a + b )2  4 ab  ( a – b )2  0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợcchứng minh Xảy ra dấu đẳng thức  a = b

IV Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài đã chữa

- Giải tiếp các bài tập sau:

*) Bài tập 12 : Chứng minh các bất đẳng thức sau:

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến

đổi tơng đơng và dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki hoặc bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

I Tổ chức

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Giải bài tập 12a,b đã cho ở buổi học trớc

- HS2: Giải bài tập 12c,d đã cho ở buổi học trớc

III Bài mới

4 Phơng pháp 4 : Dùng các bất đẳng thức quan trọng và quen thuộc

- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,

- Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2  2xy

Với a, b > 0 ,   2

a

b b a

b c b a

a c

b a

c b

Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :

a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số

b c b a

y x

*) Bài tập 3 :

Cho a, b, c  0 ; a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

2 1 1

1         

c b

1 1 1

) 1 1 1 (

c b

a   1 = (1 1 1)

c b

a   (a + b + c) =1     1     1

b

c a

c c

b a

b c

a b a

= 3  (  )  (  )  (  ) 

c

a a

c b

c c

b a

b b

a

3 + 2 + 2 + 2 = 9 => 111  9

c b a

Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =

3 1

(b + c)2

+ 4a  4 (b + c)a

Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh

*) Bài tập 8:

Cho a, b , c  0; Chứng minh rằng:

c b aHớng dẫn:

(theo cô - si)1

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc điều phải chứng minh

Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì khi đó

a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nên a + b + c = 0 (trái với giả thiết a, b, c > 0)

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của

tam giác trong tam giác ABC

- HS2:

III Bài mới

5 Phơng pháp 5: Dùng bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác

a , b, c là độ dài ba cạnh của tam giác  a < b + c (1)

Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0

áp dụng bài toán trên ta có:

c b p a p b

p

a

p

4 ) ( ) (

4 1

c b a c

p c p a

p        => điều phải chứng minh

Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

MA + MB > AB

MA + MC > AC

M

CB

A

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho

MD = MA Dễ dàng chứng minh đợc

Kéo dài BI cắt AC tại K

Xét AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam

Gọi A là giao điểm của MK với Oz

Vẽ AB Ox ( B thuộc Ox ) Nối B với

M Xét KOA vuông tại K và 

BOA vuông tại B có:

OA là cạnh chung

BOA KOA (Oz là tia phân giác)

Do đó KOA = BOA( cạnh huyền

đ-ờng xiên và đđ-ờng vuông góc)

Suy ra MH < MK (Điều phải chứng

minh)

*) Bài tập 7: Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của BAC (D BC)

M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD Chứng minh: MB – MC < AB – AC

Do đó AEM = ACM (c.g.c) Suy ra ME = MC (hai cạnh tơng ứng)

Xét MEB có MB – ME < EB (Bất đẳng thức tam giác)

Vì MC = ME, EB = AB - AC

Do đó MB – MC < AB – AC (điều phải chứng minh)

*) Bài tập 8: Cho tam giác ABC, gọi a, b, c lần lợt là độ dài ba cạnh của tam giác

Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

A

ME

CB

D

b 

; y =

2

b c

a 

; z =

2

c b

a 

Vì x, y, z > 0 =>

2

a c

b 

> 0 ;

2

b c

a 

> 0 ;

2

c b

a 

> 0 => a, b, c thoả mãn là độ dài 3 cạnh của một tam giác

 Kĩ năng

- Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết các bất đẳng thức về ba cạnh của

tam giác trong tam giác ABC

- HS2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, thoả mãn:

- Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những điều trái ngợc nhau, từ đó suy ra

đẳng thức cần chứng minh là đúng

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

1 )

Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc : 1 1 1  6

a

c c

b b a

 ( 1)  ( 1)  ( 1)  6

c

c b

b a

Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên => đpcm

*) Bài tập 3: Cho a3 + b3 = 2 Chứng minh rằng : a + b  2

b c

x 

=> a =

2

x z

y 

, b =

2

y x

z 

, c =

2

z y

x 

Khi đó :

VT =

a b

c a c

b c

1 ) ( 2

1 ) (

z z

x x

z y

x x

1 2

1

2 2

Chứng minh rằng : 111 9

z y x

Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 11 1)  9

z y

x  y  z  x  y  z Mà : 0 < x + y + z  1 nên suy ra 111 9

z y

Nếu a > b > 0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì a m m b m m a n n b n n

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k  n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n  n0

*) Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n  3 thì: 2n > 2n + 1 (*)

Giải :

+ Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 Vậy đẳng thức (*) đúngvới n = 3

Vậy (**) đúng với mọi k  3

+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n  3

1 2

k

k

1 ) 1 ( 3

1





k

1 2

k

k

1 3

1



k

) 1 ( 2

1 2





k k

Do đó chỉ cần chứng minh :

1 3

1



k 2 ( 1 )

1 2

- Xem lại các bài đã chữa

- GV giới thiệu thêm một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khác nh phơng pháp làm trội, tam thức bậc hai,… và những ứng dụng của bất đẳng thức để giải các dạng toán khác Đề nghị học sinh có thể tìm hiểu thêm ở sách tham khảo hoặc sau này sẽ bồi dỡng tiếp khi có điều kiện về thời gian.

D/Bổ sung

*******************************

*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - http://quanghieu030778.violet.vn