Tìm GTNN của biểu thức : P=x... Lấy M bất kì thuộc DF,kẻ MN//BC N thuộc DE.Lấy I trên đường thẳng DE sao cho góc MAI = góc BAC.Chứng minh rằng:... ∆MAN là tam giác cân.b.AMNI là tứ giác
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC - GTLN-GTNN Bài 1:
a.Cho a>c ; b>c ; c>0 Chứng minh : c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab
b Cho x ≥ y , y ≥ 1 Chứng minh :
xy y
2 1
1 1
1
2
HD: a -Chia 2 vế BĐT cho ab Rồi Áp dụng BĐT Cô – si
- hoặc SD BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski
b Xét hiệu
xy y
xy x
xy y
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1
2 2
2 2
Bài 2:
a Với x,y không âm Tìm GTNN của biểu thức: P= x−2 xy+3y−2 x+2007,5
b.Tìm GTLN của ( ) 1 2 2
2 x x
x x
HD: a Đưa về dạng P = A 2 + B 2 + m
2
2 1 1 ) 2 1 (
1
2
x
−
Bài 3: Chứng minh rằng:
2
2
b
a + ≥ +
với mọi a.b
Bài 4:
a Cho xy = 1 ; x > y Chứng minh : 2 2
2 2
≥
−
+
y x
y x
HD: Biến đổi ( )
y x y x y x
y x
− +
−
=
−
2
Rồi sử dụng BĐT Cô – si
b.Cho a ,b , c là 3 cạnh của tam giác thỏa mãn : a +b + c = 2
Chứng minh : a2 +b2 +c2 +2abc<2
Bài 5: Cho 2 số thực x , y thỏa x2 + 4y2 = 1 Chứng minh
2
5
≤
x
HD: Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski với ( ) [ 2 ( )2]
2
2
1 1 2
2
1
+
≤
− +
Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: P= +xy + +yz +1+xz
1 1
1 1
1
Trong đó x , y , z là 3 số dương và
3
2
2
2+y +z ≤
x
HD: Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski với n = 3 sau đó Chứng minh
zx yz xy z y
x2 + 2 + 2 ≥ + +
Bài 7: Cho x ≥ 0 , y ≥ 0 ; x + y ≥ 6 Tìm GTNN của biểu thức :
y x y x
P=3 +2 +6+8.
HD:
y x y x
P=3 +2 +6+ 8= ( ) + +
+ + +
y
y x
x y
2
2 2
3 2
3
Nhớ rằng tích 2 số không đôỉ thì tổng
nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau
Trang 2Bài 8: Cho 3 ≥ x ≥ 0 Tìm GTNN của biểu thức : P=x 5−x+(3−x) 2+x.
HD: Chứng minh P≥x 2+(3−x) 2 suy ra GTNN
Bài 9: Cho a + b + c = 1 Chứng minh : a + b + b + c + c + a ≤ 6
HD:Sử dụng BĐT Cô si cho và(a+b) và(a+c) và(b+c)
3
2
; 3
2
; 3
2
vì sao lại
3
2
?
Bài 10: Tìm GTNN của biểu thức:
2 2
1 1
+ +
+
=
u
v v
u
A Với u + v = 1 và u > 0; v > 0
HD: Viết
2 2
1 1
+ +
+
=
u
v v
u
+ +
=
v u v
u Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski
Chứng minh (u2+v2)
2
1
4
1
≤
uv Từ đó tính được MinA = 12,5 khi u = v = 1/2
Bài 11: Cho a và b là 2 số dương ; a + b = 5 Tìm GTNN của biểu thức :
b a
P=1+1
HD: Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski với và(a b)
b
+1 1
Bài 12: Cho a và b là 2 số dương ; a + b = 2007
Tìm GTNN & GTLN của biểu thức : P=a(a2 +b) (+b b2+a)
HD: Viết P=a(a2+b) (+b b2 +a)
= 20073−6019xy Tổng 2 số không đổi , lẻ thì tích lớn nhất khi hiệu 2 số bằng 1 tích nhỏ nhất khi 1 trong 2 số bằng 1
Bài 13: Tìm GTLN của biểu thức P = 2 - 5x2 - y2 – 4xy + 2x
Bài 14: Tìm GTNN của biểu thức ( )2 ( )2
2008
+
2006
2007 2007
2006 + > +
Trang 3Bài 16: Tìm GTLN & GTNN của : 2 2
2 2
y bxy x
y axy x
A
+ +
+
−
=
HD: Chia cả tử và mẫu cho xy Nhớ rằng :
<
−
<
+
≥
≥ +
0
; 2
0
; 2
y x x
y y x
y x x
y y x
* Lập luận : A đạt Max khi
x
y y
x+ đạt Max
A đạt Min khi
x
y y
x
+ đạt Min.
Bài 17: Tìm GTLN & GTNN của : 2 2
2 2
y bxy x
y axy x
A
+
−
+ +
=
* Lập luận : A đạt Max khi
x
y y
x+ đạt Min
A đạt Min khi
x
y y
x + đạt Max.
Bài 18: Tìm GTLN & GTNN của :
2 2
2
2
2
+
−
+
=
x x
x A
Bài 19: Tìm GTLN & GTNN của :
2 2
2
2
2
+ +
+
=
x x
x A
PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:
a Giải phương trình : x3 +2x2 +2 2x+2 2 =0
b Giải phương trình : 4 1 0
5 4
+
x
c Giải phương trình : x + xy + y = 9 với x , y ∈Z
d Giải phương trình :
3
1
2
3 − x − x =
x
HD:
a x3+2x2 +2 2x+2 2 =0 ⇔(x+ 2) [x2 +(2− 2)x+2]=0
b Đặt x2 − 4 x + 5 = t
c x + xy + y = 9 ⇔ ( x + 1 )( y + 1 ) = 10
d
3
1
2
3 − x − x =
1
1
3 6
x x x
x
−
−
−
HD: Đặt : x − 1 − x = t. 3 2 2
1
3 6
x x x
x
−
−
0 2 3
2 − t + =
t
Trang 4Bài 4: Giải phương trình: x + 1 + x − 1 = 5 x
Bài 5: Giải phương trình: 3 x +3 x + 1 +3 x + 2 +3 x + 3 = 0
HD: Chọn 1 nghiệm rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Bài 6: Giải phương trình : 2 y2x + x + y + 1 = x2 + 2 y2+ xy với x , y ∈Z
HD: 2 y2x + x + y + 1 = x2 + 2 y2+ xy ⇔
1
1
− +
−
−
x x y y
Bài 9: Giải phương trình : ( x2 + 3 x + 2 )( x2 + 7 x + 12 ) = 24
HD: ( x2 + 3 x + 2 )( x2 + 7 x + 12 ) = 24 ⇔ ( x2 + 5 x + 4 )( x2+ 5 x + 6 ) = 24
Bài 10: Giải phương trình : x2 + 5 y2 + 2 y − 3 xy − 3 = 0
HD: x2 + 5 y2 + 2 y − 3 xy − 3 = 0 ⇔ x2 − 4 xy + ( 5 y2 + 2 y − 3 ) = 0
Bài 11: Giải phương trình : x2 + x + 2008 = 2008
HD: Đặt x + 2008 = t ≥ 0 Ta có:
=
−
= +
2008
2008 2
2
x t
t x
Bài 12: Giải phương trình : x3 − 3 2 x2 + 3 x + 2 = 0
HD: x3 − 3 2 x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 2 )( x2− 2 2 x − 1 ) = 0
Bài 13: Giải phương trình : x2 + 9 x + 20 = 2 3 x + 10
HD: x2 + 9 x + 20 = 2 3 x + 10 ⇔ ( 3 x + 10 − 1 )2 + ( x + 3 )2 = 0
Bài 14: Giải phương trình : x2 + 3 x + 1 = ( x + 3 ) x2 + 1
HD: x2 + 3 x + 1 = ( x + 3 ) x2 + 1 ⇔ ( x2 + 1 − 3 )( x2+ 1 − x ) = 0
Rút gọn biểu thức
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
2 2
2 2 2
2 2
1 2007
1 1
5
1 4
1 1 4
1 3
1 1 3
1 2
1
1+ + + + + + + + + + + +
=
C
HD: Với a + b + c = 0 thì:
c b a c b a
1 1 1 1 1 1
2 2
2 + + = + +
Bài 2: Rút gọn biểu thức: P= 6+2 2 3− 2+ 12+ 18− 128
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
2011 2007
1
13 9
1 9
5
1 5
1
1
+ +
+ +
+ +
+ +
=
Q
Hệ phương trình:
1 Giải hệ phương trình sau:
=
− +
− + +
−
=
−
− + +
0 2 5
1 3
0 5 3 1 2 2
2
y x xy x x y
x y x xy
Đáp án:(1;2)
2 Giải hệ phương trình sau: Đáp án:(1;4); (3;4)
Trang 5
=
− +
− +
−
=
− +
−
0 4 13
0 13
2 4
3 2 2
2 2
y y y
xy y x
y xy x
3 Cho hệ phương trình sau:
= +
−
− + +
= +
) 2 (
; 0 4 4 3
) 1 (
; 81 697
2 2
2 4
y x xy y x
y x
a.Nếu có (x,y) thoả (2),chứng minh rằng :
3
7
1≤ y≤
b.Giải hệ phương trình đã cho
Đáp án: b.Vô nghiệm
4 Giải hệ phương trình sau:
= + + + +
+ +
=
8 1
1 1
1
1
t z
y x
xyzt
Đáp án: x = y = z = t = 1
5 Giải hệ phương trình sau:
=
−
=
−
=
−
1 1 1
x z
z y
y x
Đáp án
x = y = z =
2
5
1+
6 Giải hệ phương trình sau:
=
− +
−
=
− +
−
y x
y y x
xy x
y y
x
2 1
1
1 1
Đáp án: x = y = 2
7 Giải hệ phương trình sau:
−
= +
−
= +
−
= +
1 4
1 4
1 4
y x z
x z
y
z y x
Đáp án
x = y = z =
2 1
8 Giải hệ phương trình sau:
+
= + + +
= + +
3 3 1 1
1 1
3
xyz z
y x
z y x
Đáp án
x = y = z = 1
Bất đẳng thức- Cực trị:
1 Chứng minh với mọi số nguyên dương n
a
1
3 2 2 3
1 2
1
1
2
1
<
+ + +
+
+
+
+ +
n n n n
1
+ +
1 1
+
−
=
n n
Trang 61
3 4
1 2 3
1 1
2
1
<
+ +
+
+ +
n n
+
−
<
+
−
+ +
=
+
−
+ +
=
+
−
= +
= +
1
1 1
2
1
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1
1
1
n n
n n n
n
n n n
n n
n n
n n
n
n n
n b
2 Chứng minh với mọi số nguyên dương n
>1
n n
3
1 2
1 1
1
<
+ + + +
1
2 2
1
1
2
1 1 1
−
−
=
− +
<
+
=
>
>
>
n n n
n n n n
n
3 Chứng minh
2
1
4 3 2
n n
4 Chứng minh bất dẳng thức sau với các số
dương a,b,c
(a c)
b d c b
5 Chứng minh bất dẳng thức sau với các số
dương a,b,c (a+b)(c+d) ≥ ac bd
6 Tìm giá trị nhỏ nhất :
a.A= x− x−2008
b.B= x+y biết x,y là các số dương và
1
=
+
y
b
x
a
c
y x
y x
C
−
+
= 2 2 với x>y>0 và xy =1
Đề bài:
Bài 1: Cho biểu thức :
a a
a
a A
−
− +
−
−
+
=
1
1 1
1 1
4 2 3 2
a Rút gọn A
b Tìm GTLN của A
Bài 2: Tìm GTLN của P = sinx.cosx và giá trị x tương úng với 0≤ x≤900
Bài 3: Giả sữ (x;y;z) là nghiệm của hệ phương trình :
= + +
= + +
= + +
1 1 1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Tính giá trị của biểu thức : S =x7 + y6 +z2008
Bài 4: Chứng minh rằng : với a ,b ,c là các số nguyên lẻ thì phương trình ax2 +bx+c=0 không có nghiệm hữu tỉ
Bài 5: Cho ∆ABC có 3 góc đều nhọn,các đường cao AD,BE và CF Lấy M bất kì thuộc DF,kẻ
MN//BC (N thuộc DE).Lấy I trên đường thẳng DE sao cho góc MAI = góc BAC.Chứng minh rằng:
Trang 7a ∆MAN là tam giác cân.
b.AMNI là tứ giác nội tiếp
c.MA là tia phân giác của góc FMI
Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O.H và I theo thứ tự là hình chiếu của B trên
AC và DC Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AD và HI.Chứng minh rằng:
a BA.BI = BD.BH
b Góc MNB = 900
Bài 1: Cho a100 +b100 = a101 +b101 = a102 +b102 Tính P = a2008 + b2008
Bài 2: Chứng minh rằng : Nếu abc là số nguyên tố thì phương trình ax2 +bx+c=0vô nghiệm Bài 3:Giải các hệ phương trình sau:
= + + + +
+ +
=
8 1
1 1
1
1
t z
y x
xyzt
b
=
− +
−
=
− +
−
y x
y y x
xy x
y y
x
2 1
1
1 1
Bài 1: E là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của cạnh AB P là điểm∈ cạnh BC , Q là điểm ∈ cạnh CD sao cho MP // AQ Tính số đo góc QEP
Q
E
A
P
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ phân giác AH Gọi I là Trung điểm của AB, đường thẳng
vuông góc với AB tại I cắt AH tại O Dựng M là điểm sao cho O là Trung điểm của AM
a.Chứng minh rằng tứ giác ABMC là hình thang vuông
b.Gọi K là Trung điểm của OM Chứng minh tam giác IKB cân
c.Chứng minh IK//AC