ÔN TOÁN THPT

Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019 Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 1m và cạnh 2 BCx m để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2017) Cho mặt cầu tâm O bán kính R Xét mặt phẳng  P thay đổi cắt mặt

cầu theo giao tuyến là đường tròn  C Hình nón  N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn  C và có chiều cao h h R Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi  N

Câu 2 (Đề chính thức 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S :x2y2  z 22 3 Có

tất cả bao nhiêu điểm A a b c ( , , ; ;  a b c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có 

ít nhất hai tiếp tuyến của  S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Lời giải Chọn A

a b  Lúc này các tiếp tuyến của  S thuộc tiếp diện của

 S tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau

Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của a b;  là 0; 0 ; 1; 1

* Xét trường hợp A ở ngoài  S Khi đó, các tiếp tuyến của  S đi qua A thuộc mặt nón đỉnh

A Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A

Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng90

Giả sử A N A M ;  là các tiếp tuyến của  S thỏa mãn AN AM (N M; là các tiếp điểm)

Dễ thấy A NIM là hình vuông có cạnh IN R 3 và IA  3 2  6

Điều kiện phải tìm là

Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu

Câu 3 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 2 - 2019) Người ta xây một sân khấu với sân có

dạng của hai hình tròn giao nhau Bán kính của hai hình tròn là 20 m và 15 m Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 m Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

A 218 triệu đồng B 202 triệu đồng

C 200 triệu đồng D 218 triệu đồng

Lời giải Chọn A

Gọi O , 1 O lần lượt là tâm của hai đường tròn bán kính 2 20 m và 15 m A , B là hai giao điểm

của hai đường tròn

Suy ra diện tích hình quạt tròn O AB là 1 1  

 Chi phí làm sân khấu phần giao nhau 60.300 000 18 000 000 (nghìn đồng)

Tổng diện tích của hai hình tròn là 2 2  2

Câu 4 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần 1 - 2019) Cho hình phẳng  D giới hạn bởi các

đường y   x ,ysinx và x 0 Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do  D quay quanh trục hoành và V  p4, p   Giá trị của 24 p bằng

Lời giải Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x  và ysinx là

 

x  x x x

Với x 2 thì xsinx 2  1  nên phương trình  * vô nghiệm

Hàm số y f x xsinx có y  1 cosx0    2 ; 2 và f   nên phương trình  * có nghiệm duy nhất là x trên 2 ; 2 

Suy ra trục Ox chia  D thành 2 hình phẳng  D1 và D2 như hình vẽ và khối tròn xoay sinh

ra khi  D quay quanh Ox là hợp của hai khối tròn xoay sinh ra khi  D1 và D2 lần lượt

 D quay quanh trục Ox cũng chính là khối tròn xoay sinh ra khi D2 quay quanh trục Ox

và khối này là một khối nón có chiều cao  và bán kính đáy 

V       , suy ra 24p  8

Câu 5 (Chuyên Sơn La - Lần 1 - 2019) Cho hai mặt cầu  S và 1  S2 đồng tâm O, có bán kình lần

lượt là R 1 2 và R 2 10 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A B, nằm trên  S và hai đỉnh 1

,

C D nằm trên  S2 Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD bằng

Lời giải Chọn D

Dựng mặt phẳng  P chứa AB và song song với CD, cắt O R theo giao tuyến là đường ; 1

J

I

O A'

C'

A B

D B

J

I

O A

C

x y

Câu 6 (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019)Cho mặt cầu  S có bán kính bằng 2 và có một đường tròn

lớn là  C Khối nón  N có đường tròn đáy là  C và thiết diện qua trục là tam giác đều Biết rằng phần khối nón  N chứa trong mặt cầu  S có thể tích bằng a b 3 , với a b, là các số

Gọi thể tích khối nón có bán kính đáy OC và đường cao OA là: V1

Thể tích khối nón có bán kính đáy IM và đường cao IA là: V2

Do ABC là tam giác đều nên M là trung điểm của AC và OA2 3,IM1

Câu 7 (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019) Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích

bằng 1m và cạnh 2 BCx m để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành hai hình chữ nhật ADNM và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM ;

phần hình chữ nhật BCNM được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox còn thừa được bỏ đi) Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể)

A 1, 37 m B 1, 02 m C 0, 97 m D 1m

Lời giải Chọn B

4R (tham khảo hình vẽ bên dưới)

Thể tích của khối bê tông (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) bằng

A 2,815m 3 B 2,814m 3 C 3, 403m 3 D 3,109m 3

Câu 9 (Chuyên Nguyễn Du - ĐakLak - Lần 2 - 2019) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi K là

trung điểm AB , gọi M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên , AD AC Tính theo , a

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN

KC DH  AN  AC HK

Chọn hệ trục Oxyz sao cho 0; 0; 0 , 0; ; 0 ,1 3; 0; 0 , 3; 0; 6

Câu 10 (Kim Liên - Hà Nội - Lần 3 - 2019)Một khối đồ chơi có dạng khối nón Chiều cao bằng 20 cm

, trong đó có chứa một lượng nước Nếu đặt khối đồ chơi theo hình H1 thì chiều cao của lượng nước bằng 2

3 chiều cao của khối nón Hỏi nếu đặt khối đồ chơi theo hình H2 thì chiều cao h của

lượng nước trong khối đó gần với giá trị nào sau đây?

A 2 , 21cm B 5, 09 cm C 6, 67 cm D 5, 93cm

Lời giải Chọn A

Ta xét hình H1

Gọi V , h , 1 r1 lần lượt là thể tích, chiều cao và bán kính đáy của khối nón

Ta gọi V , '' h , r' lần lượt là thể tích, chiều cao và bán kính đáy của khối nón do nước tạo ra

Ta có:

2

1 1

13

Ta xét hình H2, vì lượng nước không đổi nên thể tích của nước ở hai hình sẽ bằng nhau

Ta gọi V , "" h , " lần lượt là thể tích, chiều cao và bán kính đáy của khối nón nhỏ

Câu 11 (Chuyên Thái Bình - Lần 5- 2019)Cho mặt cầu  S có bán kính bằng 3 m , đường kính   AB

Qua A và B dựng các tia At Bt tiếp xúc với mặt cầu và vuông góc với nhau 1, 2 M và N là

hai điểm lần lượt di chuyển trên At Bt sao cho MN cũng tiếp xúc với 1, 2  S Biết rằng khối tứ diện ABMN có thể tích V m 3 không đổi V thuộc khoảng nào sau đây?

A 17; 21  B 15;17  C 25; 28  D 23; 25 

Lời giải Chọn A

Giả sử MN tiếp xúc  S tại H

Câu 12 (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - Lần 4 - 2019) Cho hình thang ABCD vuông tại A và

D có CD2AB2AD4 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng BC bằng

Lời giải Chọn A

Gọi V1 là thể tích khối nón được tạo thành do tam giác ABH quay xung quanh cạnh BH

Gọi V2 là thể tích khối nón cụt được tạo thành do hình thang AHBD quay xung quanh cạnh

BH

Gọi V3 là thể tích khối nón được tạo thành do tam giác DBC quay xung quanh cạnh BC

Vậy thể tích Vcủa khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng BC bằng V2V3V1

C

A

BD

E

CH

Câu 13 (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1)Cho tam giác OAB vuông cân tại O, có OA 4 Lấy

điểm M thuộc cạnh AB ( M không trùng với A , B ) và gọi H là hình chiếu của M trên OA Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác OMH quanh

Câu 14 Gia đình An làm bể hình trụ có thể tích 150 m3 Đáy bể làm bằng bê tông giá 100000 / m2 Phần

thân làm bằng tôn giá 90000 / m2, nắp bằng nhôm giá 120000m2 Hỏi khi chi phí làm bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?

Gọi chiều cao của bể là h, bán kính đáy là R, điều kiện: ,h R0

Câu 15 (SGD Nam Định) Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V nhất

định Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp ba lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích) Gọi chiều cao

Gọi x là giá vật liệu làm mặt xung quanh (cho mỗi đơn vị diện tích)

Thể tích của thùng V r h2 không đổi Suy ra h V2

Câu 16 Cho mặt cầu  S tâm O, bán kính R Xét mặt phẳng  P thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến

là đường tròn  C Hình trụ  T nội tiếp mặt cầu  S có một đáy là đường tròn  C và có chiều cao là h h  0 Tính h để thể tích khối trụ  T có giá trị lớn nhất

Gọi r là bán kính của đường tròn  C , 0 r R

Do tính đối xứng nên đường cao hình trụ  T đi qua tâm O của mặt cầu  S và O là trung

điểm của PQ với , P Q là tâm các đường tròn đáy của hình trụ  T

Ta có V đạt giá trị lớn nhất trên 0; R khi hàm số f t  đạt giá trị lớn nhất trên 0; R2

Từ bảng biến thiên ta có f t  đạt giá trị lớn nhất trên  2

Câu 17 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ 2019)Một khối đồ chơi bằng gỗ có các hình chiếu

đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng như hình bên (các kích thước cho như trong hình)

r R

O P

Q

4R627 +

t y'

-Tính thể tích của khối đồ chơi đó (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)

Lời giải Chọn B

Từ các hình chiếu ta có khối đồ chơi như hình vẽ

Thể tích khối đồ chơi:

228.54.36 16.20.12 30.16.36 11 14 27990,14

Câu 18 Một bạn A có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng cốc là 6 cm, chiều cao trong

lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy Tính thể tích lượng nước trong cốc

A 15 cm 3 B 70 cm 3 C 60 cm 3 D 60 cm 3

Lời giải Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

3 cm

R  là bán kính đáy cốc, h 10 cm là chiều cao của cốc

Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 3 x3 là một tam giác ABC vuông tại B có độ dài cạnh AB R2x2  9x2 và

3 3

Câu 19 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Anh H dự định làm một cái thùng đựng dầu hình

trụ bằng sắt có nắp đậy thể tích 12 m3 Chi phí làm mỗi m2 đáy là 400 ngàn đồng, mỗi m2 nắp

là 200 ngàn đồng, mỗi m2 mặt xung quanh là 300 ngàn đồng Để chi phí làm thùng là ít nhất thì

anh H cần chọn chiều cao của thùng gần nhất với số nào sau đây? (Xem độ dày của tấm sắt làm thùng là không đáng kể).

Lời giải Chọn D

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R Ta có

R R

Vậy để chi phí nhỏ nhất thì chiều cao của hình trụ là

3

12

2, 4836



Câu 20 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019)Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích

1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần

của bồn chứa có giá trị nhỏ nhất

V , V , lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang 2 ABCD (kể cả các

điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD Tìm x để 1

2

75

Dựng các điểm E , F để có các hình chữ nhật ABED và ABCF như hình vẽ

 Khi quay hình thang ABCD (kể các điểm trong) quanh đường thẳng BC ta được khối tròn xoay

Trong đó, V là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 3 a, chiều cao bằng 3a; V là thể 4

tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng a, chiều cao bằng 3ax

 Khi quay hình thang ABCD (kể các điểm trong) quanh đường thẳng AD ta được khối tròn xoay

Trong đó, V là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 5 a, chiều cao bằng x

Theo giả thiết ta có: 1

2

75

Câu 22 (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng

lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY

Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng 5 2

Câu 23 (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình thang

ABCD vuông tại A và D có CD2AB2AD4 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi

hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC bằng

Dễ thấy hai tam giác:ADB;DBC vuông cân Góc DBC900DBBC

Tam giác DCB quay quanh trục BC ta được khối nón N1 có bán kính r 1 2 2 và chiều cao

Tam giác ADB quay quanh trục BC ta được khối vật thể  H có thể tích V 3

Hình thang vuông ADBI quay quanh trục BC ta được khối nón cụt có thể tích V 4

SD , H là giao điểm của AM và SI Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB SC Tính ,

thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng

ABCD

*) Có SAABCDSAAD SAD vuông tại A

Câu 25 (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019)Cho mặt cầu  S tâm I bán

kínhR M là điểm thỏa mãn 3

2

R

IM  Hai mặt phẳng    P , Q qua M tiếp xúc với  S lần lượt

tại A và B.Biết góc giữa  P và  Q là 60o Độ dài đoạn thẳng AB là

o o

OA a OB b OCc và đôi một vuông góc với nhau Gọi r là bán kính mặt cầu tiếp xúc với

cả bốn mặt của tứ diện Giả sử a b a , c Giá trị nhỏ nhất của a

r là

Lời giải Chọn D

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

ABC

S  AH BC a b b c c a Vậy diện tích toàn phần của hình chóp O ABC là:

12

tp OAB OBC OCA ABC

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi ab c

Câu 27 (Sở giáo dục Cần Thơ - 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và B , ABBCa AD, 2a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , khoảng cách giữa hai 

O

B

C A

H

+/ Ta có: ACCDa 2,AD2a do đó tam giác ACD vuông cân tại C

Dựng H sao cho ACDH là hình vuông, tâm I

Trong (SAH), kẻ AF vuông góc SH tại F

Câu 28 (Đề Thi Thử - Sở GD Nam Định - 2019)Cho tứ diện ABCD có CDa 2, ABC là tam

giác đều cạnh a , ACD vuông tại A Mặt phẳng BCD vuông góc với mặt phẳng ABD

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A

34

a



Lời giải Chọn A

Trong tam giác ACD có AD CD2AC2 a ACD vuông cân tại A,ABD cân tại A Gọi H K, lần lượt là trung điểm của BD CD, AHBD AK, CD

J H

D

C B

A

Vì ABD  BCDBD và AHBD nên AHBCDCDHK

Có HK BC HK , CDCDBC BCD vuông tại C Do đó AH là trục đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCD

Trong mặt phẳng ACH, đường trung trực của AC cắt AC tại M , cắt AH tại I

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I, bán kính IA

Câu 29 (Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019)Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác

vuông tại C, BCCDa 3, góc ABC ADC900, khoảng cách từ B đến ACD là  a 2

Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCD là

Vì BH CD// BH//ACDd B ACD ,  d H ,ACD 

Ta có CDADHACD  ADH theo giao tuyến AD

Kẻ HE AD EAD HE ACDd H ,ACD HEHE a 2

R ACa Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là 4 3 4  3 3

S    a   a

Câu 30 Cho tứ diện đều ABCD có mặt cầu nội tiếp là  S1 và mặt cầu ngoại tiếp là  S2 , hình lập

phương ngoại tiếp  S2 và nội tiếp trong mặt cầu  S3 Gọi r , 1 r , 2 r lần lượt là bán kính các 3

mặt cầu  S1 ,  S2 ,  S3 Khẳng định nào sau đây đúng?

(Mặt cầu nội tiếp tứ diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện, mặt cầu nội tiếp hình lập phương là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương).

A 1

2

13

Trong mặt phẳng ABH, đường thẳng trung trực của AB cắt AH tại I thì I là tâm mặt cầu

 S2 ngoại tiếp tứ diện đều ABCD

Gọi M là trung điểm AB, ta có AI AM

Bán kính mặt cầu  S3 ngoại tiếp hình lập phương đó là 3 3 6 3 3 2

r

r 

Câu 31 (HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và B, AB  BC  a, AD  2 a, SA   ABCD  và SAa 2 Gọi E là trung điểm của AD Kẻ EK  SD tại K Tính bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E,

Vì E là trung điểm AD nên ABCE là hình vuông cạnh a, nên CEAD 1 

Câu 32 (THPT Minh Khai - lần 1)Cho hình chóp S ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2

Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho

AHB 150; BHC  120; CHA  90 Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp .

Nhận xét: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với đáy và r là bán kính đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC khi đó ta có

2 24

4 33

SH

Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BDa Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ABCD là trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với đáy

một góc 60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nhận giá trị nào sau đây?

BD SD SB Nên SBD vuông tại S

Từ đó ta thấy A S C, , cùng nhìn BD dưới một góc vuông Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 34 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần 2 năm 2018-2019) Trong không gian cho bốn mặt cầu

có bán kính lần lượt là 2;3;3;2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc với nhau Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu trên có bán kính bằng

Lời giải Chọn C

Gọi , , ,A B C D lần lượt là tâm của 4 mặt cầu đã cho Do bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là

2;3;3;2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc nên dễ thấy bốn mặt cầu đôi một tiếp xúc ngoài

Khi đó ta có , , ,A B C D lập thành tứ diện có độ dài các cạnh ABACBDCD5,AD 4,

Câu 35 (Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019)Mô ̣t cái thùng đựng đầy nước

đươ ̣c ta ̣o thành từ viê ̣c cắt mặt xung quanh của mô ̣t hı̀nh nón bởi mô ̣t mă ̣t phẳng vuông góc với tru ̣c của hı̀nh nón Miệng thùng là đường tròn có bán kı́nh bằng ba lần bán kı́nh mặt đáy của thùng Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng 3

2chiều cao của thùng nước và đo

được thể tích nước tràn ra ngoài là  3

54 3 dm Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của

thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ) Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

Xét một thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ Hình thang cân ABCD (IJ là trục đối xứng) là thiết diện của cái thùng nước, hình tròn tâm I bán kính IH là thiết diện của khối cầu Các đường thẳng AD, BC, IJ đồng qui tại E

Đặt bán kính của khối cầu là IHR, bán kính mặt đáy của thùng là JDr, chiều cao của thùng là IJ h Ta có

Câu 36 Trên mặt phẳng  P cho góc xOy  60 Đoạn SOa và vuông góc với mặt phẳng    Các

điểm M N chuyển động trên ; Ox Oy sao cho ta luôn có: OM, ON a Tính diện tích của mặt cầu  S có bán kính nhỏ nhất ngoại tiếp tứ diện SOMN

A

24

a



2163

a



Lời giải Chọn A

Gọi H , I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMNvà tâm bán mặt cầu ngoại tiếp

a MN

2 23

4

a OH

a





Câu 37 Cho tứ diện ABCD có hình chiếu của A lên mặt phẳng BCDlà H nằm trong tam giác BCD

Biết rằng H cũng là tâm của một mặt cầu bán kính 3và tiếp xúc các cạnh AB AC AD Dựng , ,hình bình hành AHBS Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BCD

Gọi M,N,P lần lượt là hình chếu của H lên AB,AC,AD ta có

( AH là trục đường tròn MNP )

Vậy A thuộc trục đường tròn ngoại tiếp BCD

AH là trục đường tròn ngoại tiếp BCD

Gọi I=AH BSIB=IC=ID=IS Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.BCD

2 2

Câu 38 (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành, các cạnh bên của hình chóp bằng 6 cm, AB4cm Khi thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S ABCD

Lời giải Chọn D

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có SAC cân tại S nên SO AC và SBD cân tại S nên SOBD

Gọi M là trung điểm của SA, trong SAO kẻ đường trung trực của  SA cắt SO tại I

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD có tâm I và bán kính RIS

Vì SMI∽SOA g g( ) nên

26

O

D

C B

A S

Câu 39 (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019)Cho hình tứ diện ABCD có AD ABC 

, ABC là tam giác vuông tại B Biết BC 2( )cm

,AB 2 3( ),cm AD 6( )cm Quay các tam giác ABC và ABD ( bao gồm cả điểm bên trong 2 tam

giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay Thể tích phần chung của 2 khối

Câu 40 (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Huyền có một tấm bìa như hình vẽ, Huyền

muốn biến đường tròn đó thành một cái phễu hình nón Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB

rồi dán OA, OB lại với nhau Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phểu lớn nhất?

Ta có diện tích của hình phểu

Câu 41 (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn  O

và  O , thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông Gọi A B, là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn  O và  O Biết AB2a và khoẳng cách giữa hai đường thẳng AB và OO bằng 3

.2

a

C 14.4

a

D 14.9

a

R O

B

A

h R

B;A

O

Lời giải Chọn C

Dựng đường sinh BC gọi H là trung điểm của đoạn AB

Câu 42 (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019)Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam

giác vuông cân tại B, ABBC3a 2,   0

90

SAB SCB Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(SBC) bằng 2a 3 Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

Lời giải Chọn D

H C

B

A

O'

O

Gọi I H lần lượt là trung điểm của cạnh , SB và AC

Mặt khác, theo giả thiết ta có ΔSAB, ΔSCB lần lượt là các tam giác vuông tại A và C

IA IB IC IS

I

 là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Mặt khác: ΔABC vuông tại B H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Gọi K là trung điểm của cạnh BC HKBC HK / /AB AB, BC

Lại có: BCIH IH ABC BCIHK

Mặt khác: BCSBC  SBC  IHK theo giao tuyến IK

Trong IHK , gọi  HPIKHPSBC tại P HPd H SBC ;  a 3

V πR  πa