1. Về kiến thức Thể tích khối đa diện 2. Về kĩ năng Tính được thể tích khối đa diện Tính khoảng cách từ một điểm đến một mp, khoảng cách giữa hai đường thẳng. 3. Về thái độ tư duy Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động trong học tập.
Trang 1Chuyên đề 4 Tiết 45 - 52 KHỐI ĐA DIỆN
3 Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ độngtrong học tập
B NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC
1.Kiến thức liên quan
Hệ thức lượng trong tam giác
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH
AB BC= sinC BC= cosB AC= tanC AC= cotB
Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đườngtròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
c B
b A
a
2sinsin
h a
2
1.2
1.2
ca A bc
2
1sin.2
1sin2
=
R
abc S
4
=
pr
S =
Trang 2S=
Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông)
Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
12
S= AC BD
2.Khối đa diện
a.Khái niệm khối đa diện
b.Khối đa diện lồi, khối đa diện đều
Khối đa diện lồi: Khối đa diện H gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ của H luôn thuộc H Khi đó đa diện xác định H được gọi là đa diện lồi
Khối đa diện đều:
Định nghĩa: Khối đa diện đềulà khối đa diện lồi có tính chất sau
Tc1: Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnhTc2: Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặtKhối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều {p;q}
Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại
{5;3} và loại {3;5}
Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều
c.Khái niệm về thể tích của khối đa diện
với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
Thể tích của khối lăng trụ:
Trang 3đá y
V S= h
với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện Tính thể tích bằng cơng thức
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
Mặt khác đồng dạng với tam giác nên ta cĩ
Câu 5 Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm
Trang 4trong mp vuông góc với đáy (ABCD)
a Chứng minh chân đường cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh AB
b Tính thể tích khối chóp S.ACBD
Câu 6 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Chứng minh chânđường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC Tính thể tích của khối chóp S.ABCCâu 7 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh Biết Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 8 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo bằng 5a Tínhthể tích khối lăng trụ
Câu 9 Đáy của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh Biết diện tích tam giác A’BC bằng 8.Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 10 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với , biếtA’B hợp với đáy ABC góc Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 11 Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mp (BDC’) hợp vớiđáy ABCD góc Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Câu 12 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là
và hợp với đáy (ABC) góc Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7 3
cm Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm Haimặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm Tính thể tích khối chópS.ABC
Câu 15 Cho hình tứ diện ABCD cóAD ⊥ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD)
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Câu 16 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 450 và diện tích
∆ABC′ bằng 49 6cm2 Tính thể tích lăng trụ
Câu 17 Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và ở
về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN
= y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y
Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2
, SA ⊥
(ABCD) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC
a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC) Gọi M và
N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
Câu 20 Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
Trang 5Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
và (SAB)vuông góc mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích của khối chópS.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN
Câu 22 Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ =
a 2 Gọi M là trung điềm của BC Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa
a
V=
Trang 6BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Hình chóp tứ giác đều H có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng Thể tích của khối H là:
Câu 7.Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau là mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn ………… …… số mặt của hình đa diện ấy.”
A bằng B nhỏ hơn hoặc bằng C nhỏ hơn D lớn hơn
Câu 8 Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa điện luôn ……… số đỉnh của hình đa diện ấy.”
A bằng B nhỏ hơn C nhỏ hơn hoặc bằng D lớn hơn
Câu 9 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hình lập phương là đa điện lồi
B tứ diện là đa diện lồi
C Hình hộp là đa diện lồi
D Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi
Câu 10 Cho một hình đa diện Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh
B Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt
Trang 7C Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt
D Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh
Câu 11 Có thể chia hình lập phương thành bao biêu tứ diện bằng nhau?
Câu 12 Số cạnh của một hình bát diện đều là:
A Tám B Mười C Mười hai D Mười sáu
Câu 13 Số đỉnh của một hình bát diện đều là:
Câu 14 Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là:
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi
Câu 15 Số cạnh của hình mười hai mặt đều là:
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi
Câu 16.Số đỉnh của hình 20 mặt đều là:
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi
Câu 17 Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a Thể tích của (H) bằng:
C
a3 34
D
a3 23
Câu 18 Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a Thể tích của (H) bằng:
C
a3 34
D
a3 32
Câu 19 Cho tứ diện ABCD Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó
tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:
C
16
D
18
Câu 20 Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’ Gọi A’’, B’’, C’’, E’’ lần lượt
là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’, EE’ Tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ ABCDE.A’’B’’C’’D’’E’’ và khối lăng trụ ABCDE.A’B’C’D’E’ bằng:
C
18
D
110
Trang 8Câu 21 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm A’ trên cạnh SA
sao cho
'
SA =1SA
3
Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh
SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a, BC = a Các cạnh
bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng a 2
A SO không vuông góc với đáy
B
52
a
OA=
C BD a= 5
D Các cạnh bên khối chóp tạo với mp đáy các góc bằng nhau.
C
a3 34
C.
155
D Kết quả khác Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D Hai mặt bên SAB và
SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết AD = DC = a, AB = 2a, Sa a= 3.
A I B I và II C I, II, III đều đúng D I và III
Trang 9lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD) là:
C
16
D
18
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1 Thể tích của hình lập phương cạnh 2a là:
Câu 4 Cho hình chóp S.ABC Gọi A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB Khi đó tỉ số
thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
Trang 10Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác đều cạnh a, đường cao bằng Thể tích khối
chóp là
Câu 4 Cho hình chóp S.ABC Gọi A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB Khi đó tỉ số
thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
BÀI TẬP VỀ NHÀ 1.Tự luận
Câu 1 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a, biết cạnh bên là và hợp với đáy (ABC) góc Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥
(ABCD), SB = 7 3cm Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Câu 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3
cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và
Câu 2 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10 Một cạnh bên có độ dài
bằng 4 và tạo với đáy góc Thể tích của khối chóp đó là:
Câu 5 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích
xung quanh bằng 480 Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
Trang 11Câu 6 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với
mặt đáy một góc và có chiều dài bằng 8 Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
Trang 12Chuyên đề 4 Tiết 45 - 52 KHỐI ĐA DIỆN
3 Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ độngtrong học tập
B NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC
1.Kiến thức liên quan
Hệ thức lượng trong tam giác
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH
AB BC= sinC BC= cosB AC= tanC AC= cotB
Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đườngtròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
c B
b A
a
2sinsin
h a
2
1.2
1.2
ca A bc
2
1sin.2
1sin2
=
R
abc S
4
=
pr
S =
Trang 13S=
Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông)
Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
12
S= AC BD
2.Khối đa diện
a.Khái niệm khối đa diện
b.Khối đa diện lồi, khối đa diện đều
Khối đa diện lồi: Khối đa diện H gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ của H luôn thuộc H Khi đó đa diện xác định H được gọi là đa diện lồi
Khối đa diện đều:
Định nghĩa: Khối đa diện đềulà khối đa diện lồi có tính chất sau
Tc1: Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnhTc2: Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặtKhối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều {p;q}
Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại
{5;3} và loại {3;5}
Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều
c.Khái niệm về thể tích của khối đa diện
với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
Thể tích của khối lăng trụ:
Trang 14đá y
V S= h
với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện Tính thể tích bằng cơng thức
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
Mặt khác đồng dạng với tam giác nên ta cĩ
Câu 5 Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm
Trang 15trong mp vuông góc với đáy (ABCD)
a Chứng minh chân đường cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh AB
b Tính thể tích khối chóp S.ACBD
Câu 6 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Chứng minh chânđường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC Tính thể tích của khối chóp S.ABCCâu 7 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh Biết Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 8 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo bằng 5a Tínhthể tích khối lăng trụ
Câu 9 Đáy của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh Biết diện tích tam giác A’BC bằng 8.Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 10 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với , biếtA’B hợp với đáy ABC góc Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 11 Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mp (BDC’) hợp vớiđáy ABCD góc Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Câu 12 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là
và hợp với đáy (ABC) góc Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7 3
cm Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm Haimặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm Tính thể tích khối chópS.ABC
Câu 15 Cho hình tứ diện ABCD cóAD ⊥ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD)
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Câu 16 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 450 và diện tích
∆ABC′ bằng 49 6cm2 Tính thể tích lăng trụ
Câu 17 Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và ở
về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN
= y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y
Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2
, SA ⊥
(ABCD) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC
a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Câu 19 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC) Gọi M và
N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
Câu 20 Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
Trang 16Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
và (SAB)vuông góc mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích của khối chópS.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN
Câu 22 Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ =
a 2 Gọi M là trung điềm của BC Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa
a
V=
Trang 17BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Hình chóp tứ giác đều H có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng Thể tích của khối H là:
Câu 7.Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau là mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn ………… …… số mặt của hình đa diện ấy.”
A bằng B nhỏ hơn hoặc bằng C nhỏ hơn D lớn hơn
Câu 8 Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa điện luôn ……… số đỉnh của hình đa diện ấy.”
A bằng B nhỏ hơn C nhỏ hơn hoặc bằng D lớn hơn
Câu 9 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hình lập phương là đa điện lồi
B tứ diện là đa diện lồi
C Hình hộp là đa diện lồi
D Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi
Câu 10 Cho một hình đa diện Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh
B Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt
Trang 18C Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt
D Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh
Câu 11 Có thể chia hình lập phương thành bao biêu tứ diện bằng nhau?
Câu 12 Số cạnh của một hình bát diện đều là:
A Tám B Mười C Mười hai D Mười sáu
Câu 13 Số đỉnh của một hình bát diện đều là:
Câu 14 Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là:
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi
Câu 15 Số cạnh của hình mười hai mặt đều là:
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi
Câu 16.Số đỉnh của hình 20 mặt đều là:
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi
Câu 17 Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a Thể tích của (H) bằng:
C
a3 34
D
a3 23
Câu 18 Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a Thể tích của (H) bằng:
C
a3 34
D
a3 32
Câu 19 Cho tứ diện ABCD Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó
tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:
C
16
D
18
Câu 20 Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’ Gọi A’’, B’’, C’’, E’’ lần lượt
là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’, EE’ Tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ ABCDE.A’’B’’C’’D’’E’’ và khối lăng trụ ABCDE.A’B’C’D’E’ bằng:
C
18
D
110