Chuyên đề ôn Toán THPT Quốc gia 2017 2018 phần Nguyên Hàm Tích Phân

1. Về kiến thức Nguyên hàm Tích phân Ứng dụng của tích phân 2. Về kĩ năng Tìm nguyên hàm của hàm số Tính tích phân Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay 3. Về thái độ tư duy Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động trong học tập.

Chuyên đề 3 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

A MỤC TIÊU

1 Về kiến thức

-Nguyên hàm -Tích phân -Ứng dụng của tích phân

2 Về kĩ năng

-Tìm nguyên hàm của hàm số -Tính tích phân

-Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay

3 Về thái độ tư duy

Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động trong học tập.

B NỘI DUNG

Chủ đề 1 NGUYÊN HÀM I.KIẾN THỨC

1.Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f xác định trên K Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

'( ) ( )

F x = f x

, ∀ x ∈ K

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

( ) ( )

f x dx F x C= +

∫

, C ∈ R.

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

2.Tính chất

'( ) ( )

f x dx f x C= +

∫

•

[f x( ) ±g x dx( )] = f x dx( ) ± g x dx( )

( ) ( ) ( 0)

kf x dx k f x dx k= ≠

3.Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

•

0dx C=

∫

•

dx x C= +

∫

•

1

1

x

x dx= + +C ≠ −

+

α

•

1dx lnx C

∫

•

e dx e= +C

∫

•

ln

x

a

= + < ≠

∫

•

cosxdx= sinx C+

∫

•

sinxdx= − cosx C+

∫

• 2

cos x dx= x C+

∫

• 2

sin x dx= − x C+

∫

1 cos(ax b dx) sin(ax b C a) ( 0)

a

∫

•

1 sin(ax b dx) cos(ax b C a) ( 0)

a

∫

•

1

, ( 0)

a

∫

•

1 dx 1lnax b C

ax b = a + + +

∫

4.Phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

udv uv= − vdu

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

( ). x

P x e dx

∫ ∫P x( ).cosxdx ∫P x( ).sinxdx ∫P x( ).lnxdx

Phương pháp đổi biến số

Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =

[ ( ) '( )]

g u x u x

thì ta đặt

( ) '( )

t u x= ⇒dt u x dx=

Khi đó:

( )

f x dx

∫

=

( )

g t dt

∫

, trong đó

( )

g t dt

∫

dễ dàng tìm được.

Chú ý: Sau khi tính

( )

g t dt

∫

theo t, ta phải thay lại t = u(x).

Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

a −x

sin ,

x a= t − ≤ ≤ π t π

hoặc x a= cos ,t 0 ≤ ≤t π

a +x

tan ,

x a= t − < < π t π

hoặc

cot , 0

x a= t < <t π

II.BÀI TẬP

Câu 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

( ) – 3

f x x x

x

b)

4 2

( ) x

f x

x

+

=

c)

2

1 ( ) x

f x

x

−

=

d)

2

( 1) ( ) x

f x

x

−

=

e)

( )

f x = x+ x+ x

f)

3

( )

f x

g)

2 ( ) 2sin

2

x

f x =

h)

2 ( ) tan

f x = x

i)

2 ( ) cos

f x = x

k)

1 ( )

sin cos

f x

=

l)

cos2 ( )

sin cos

x

f x

=

m)

( ) 2sin3 cos2

n)

( ) x x– 1

f x =e e

o)

2

cos

x

f x e

x

−

=  + ÷÷

p)

3 1 ( ) x

f x =e + Câu 2 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:

a)

3

f x =x − x+ F =

b)

( ) 3 5cos ; ( ) 2

f x = − x F π =

c)

2

3 5

x

−

d)

2

x

x

+

e)

3 2

1 ( )=x ; ( 2) 0

x

f)

1

x

g)

( ) sin2 cos ; ' 0

3

f x = x x F  =

 ÷

 

π

h)

2

( ) x x ; (1) 2

x

i)

2

( 1)

x

+

k)

2 ( ) sin ;

x

 ÷

 

π π

Chủ đề 2 TÍCH PHÂN I.KIẾN THỨC

1.Khái niệm tích phân

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b∈K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

( )

b

a

f x dx

∫

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a= −

∫

Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:

f x dx= f t dt= f u du= =F b F a−

2.Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S

của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:

( )

b

a

S=∫f x dx

3.Tính chất của tích phân

0 0

f x dx=

f x dx= − f x dx

kf x dx k f x dx=

(k: const)

f x g x dx± = f x dx± g x dx

f x dx= f x dx+ f x dx

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì

b

a

f x dx≥

∫

Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì

f x dx≥ g x dx

4.Phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến số

( ) ( ) '( ) u b ( )

b

f u x u x dx= f u du

Trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]xác định trên

K, a, b∈K.

Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:

a

udv uv= − vdu

II.BÀI TẬP

Câu 1 Tính các tích phân sau:

a)

∫2 + +

1

3 2 1 ) (x x dx

b)

2

1

1 3

2 3 )

x

c)

∫2 −

1 2

1

dx x x

d)

2

2

x dx x

e)

( )

∫

−

−

+ 1

2 2

2

4 4

dx x

x

f)

2 2 1

e

x x

+ + +

∫

g)

2

1

( x+ 1)(x− x+ 1)dx

∫

h)

2

1 (x +x x+ x dx)

∫

i)

1

4

3 4

2 x x dx x

k)

2 2

3 1

2

dx x

−

∫

l)

2

1

x

+ −

∫

m)

8

3 2 1

1 4

3

x

∫ Câu 2 Tính các tích phân sau:

a)

2

1

1

x dx+

∫

b)

7 2

dx

x 2 + + − 2

c)

2

1 (x +x x+ x dx)

∫

d)

3

4 −

x

e)

2 2

3 1

x dx x

+

∫

f)

0x x + 9dx

∫ Câu 3 Tính các tích phân sau:

a)

0

) 6 2 sin( x dx

b)

2

3

(2sinx+ 3cosx x dx+ )

∫

π

π

c)

6 0 sin3x cos2x dx

π

+

∫

d)

4

2 0

tan cos

x dx x

∫

π

e)

3 2 4

3tan xdx

∫

π π

f)

4

2 6

(2cot x+ 5)dx

∫

π π

g)

2

0 1 sin

dx x

+

∫

π

h)

2 0

1 cos

1 cos

x dx x

− +

∫

π

i)

2

0 sin cosx xdx

∫

π

k)

3

2 6

(tanx cot )x dx

−

−

∫

π

π

l)

2

2

sin( ) 4 sin( ) 4

x dx x

−

− +

∫

π π

π π

m)

4 4 0

cos xdx

∫

π

Câu 4 Tính các tích phân sau:

a)

1

0

dx

e e

e e

−

−

− +

∫

b)

2 2 1

( 1).

ln

x dx

x x x

+ +

∫

c)

2 1 0

4 2

x x

e

− +

∫

d)

ln2

x x

e dx

e +

∫

e)

2

1e x(1 e x)dx

x

−

−

∫

f)

1

0 2

x x

e dx

∫

g)

cos 2

0 e xsinxdx

∫

π

h)

4 1

x

e dx x

∫

i) 1

1 ln

dx x

+

∫

k)

1

ln

dx x

∫

l)

2

1 0

x

xe dx

∫

m)

1 0

1

1 +e x dx

∫

Chủ đề 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I.KIẾN THỨC

Diện tích hình phẳng

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Trục hoành.

Hai đường thẳng x = a, x = b.

là:

( )

b

a

S=∫ f x dx

(1)

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Hai đường thẳng x = a, x = b.

là:

( ) ( )

b

a

S=∫ f x g x dx−

(2)

Chú ý:

Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

( ) ( )

f x dx= f x dx

Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.

Ta có thể làm như sau:

Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử tìm được 2 nghiệm c,

d (c < d).

Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

f x dx= f x dx+ f x dx+ f x dx

=

f x dx+ f x dx+ f x dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])

Hai đường thẳng x = c, x = d.

( ) ( )

d

c

S=∫ g y h y dy−

Thể tích của khối tròn xoay

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox:

2 ( )

b

a

V= π∫f x dx

I.BÀI TẬP

Câu 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a)

y x= − x− y= x= − x=

b)

lnx, 0, 1,

c)

1 ln

, 0, 1,

x

x

+

d)

2

x

x

e)

1

e

f)

y x y= = x= − x=

g)

4

1

2 1

x

x

−

h)

1

10

y= x y= x= x= Câu 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a)

1

x

x

− −

−

b)

y= x y= −x y=

c)

x

y e y= = x=

d)

y= x x y+ − = y=

e)

y= x y x= − x− y=

f)

y x= − x+ y= − +x y= x−

g)

2

27

x

x

h)

y= x y x= − x− y=

i)

2 2 , 2 2 1 0, 0

y = x x+ y+ = y=

k)

y= − +x x− y= − +x x− y= x− Câu 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a)

1

x

b)

sin 2cos , 3, 0,

y= x− x y= x= x= π

c)

2

y= − y= y= −x x=

d)

y= x − x y x= + x− x= x=

e)

, 0, 4

y x y= = y= −x

f)

y x= − x+ y x= + x+ y=

g)

y= x y= −x y=

h)

2

1

x

e

−

−

Câu 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a)

y= −x y x= − x

b)

y x= − x+ y x= +

c)

y= x y= − x +

d)

2 2

1 ,

2 1

x

x

+

e)

2

y x y= = −x

f)

y x= − x y= − +x x

g)

2

2

1 ,

x

x

+

h)

2

x

= + + =

i)

y x= + x y x= +

k)

y x= + y= −x

Câu 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a)

y x x= = −y

b)

y + − =x x y+ − =

c)

y − y x+ = x y+ =

d)

y = x+ y x= −

e)

y = x y x y= = y=

f)

2 ( 1) , sin

y= +x x= πy

g)

y = x x +y =

h)

2 (4 ) , 3 2 4

y = −x y = x

i)

x y− + = x y+ − =

k)

x +y = y = x

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Nguyên hàm Câu 1 Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3

-2

3

2x

x +

là:

A

4

2

3ln 2 ln 2

4

x

x

B

3 3

1 2 3

x

x

C x

+ + +

C

4 3 2

x

x

C x

+ + +

D

4 3

2 ln 2 4

x

x

C x

Câu 2 Nguyên hàm của hàm số: y =

2 2

cos 2 sin cos

x

là:

A tanx - cotx + C B −tanx - cotx + C C tanx + cotx + C D cotx−tanx + C

Câu 3 Nguyên hàm của hàm số: y =

2

2 cos

x

e

x

−

là:

A 2 −tan +

x

B

− 1 + 2

cos

x

x

C

2 cos

x

x

x

Câu 4 Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:

A

3

1cos

3 x C+

B

3

cos x C

C

-+

3

1cos

D

+

3

1sin

Câu 5 Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:

A F(x) =

cos 6 cos 4

B F(x) =

1 5

sin5x.sinx

C

sin 6 sin 4

D

1 sin 6 sin 4

Câu 6 Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:

A

1 cos 6 cos 2

B

1 cos 6 cos 2

C

1 cos 6 cos 2

D

1 sin 6 sin 2

Câu 7

2

sin 2xdx

∫

=

A

1 1

sin 4

2x+ 8 x C+

B

3

1 sin 2

3 x C+

C

1 1

sin 4

2x− 8 x C+

D

1 1

sin 4

2x− 4 x C+

Câu 8

2 2

1 sin cosx x dx

∫

=

A 2 tan 2x C+

B -2cot 2x C+

C 4cot 2x C+

D 2cot 2x C+

Câu 9

3

1

x

dx x

−

∫

=

A

3

2

1 2ln

x

x

B

3

2

1 2ln 3

x

x

C

3

2

1 2ln

x

x

D

3

2

1 2ln

x

x

Câu 10 ∫ (x x e+ 2017 x)dx

=

A

2017 2

5

x

e

x x+ +C

B

2017 3

2

x

e

x x+ +C

C

2017 2

3

x

e

x x+ +C

2017

2

2

x

e

x x+ +C

Câu 11

2 4 5

dx

x + x−

∫

=

A

ln

x

C

x− +

+

B

ln

x

C

x+ +

−

C

ln

x

C

x+ +

−

D

ln

x

C

x− + +

Câu 12 Một nguyên hàm của hàm số:

3 2

2

=

−

x y

x

là:

A

2

( ) = 2 −

F x x x

B

1

4 2 3

C

1

2

3

D

1

4 2 3

Câu 13 Một nguyên hàm của hàm số:

2

( ) = 1 +

f x x x

là:

2

F x = x +x

2

1

3

2

3

x

F x = +x

1

3

F x = x +x

Câu 14

tan 2xdx

∫

=

A 2

ln cos 2x C+

B

1

2 ln cos 2x C+

C

1 2

− ln cos 2x C+

D

1

ln sin 2

2 x C+

Tích phân

Câu 15 Tính:

6 0

tan

π

=∫

A

3

ln

2

B

3 ln 2

C

2 3 ln 3

D Đáp án khác

Câu 13: Tính

4 2 0

tg

π

= ∫

1 4

I = −π

I = π

Câu 14: Tính:

2 3

2

dx I

x x

=

−

∫

I = π

I = π

D Đáp án khác

Câu 15: Tính:

1 2

dx I

=

∫

A

3

ln

2

I =

B

1 3 ln

3 2

I =

C

1 3 ln

2 2

I = −

D

1 3 ln

2 2

I =

Câu 16: Tính:

1 2

dx I

=

∫

3 ln 4

I =

Câu 17: Tính:

1

3

0 ( 1)

xdx J

x

= +

∫

A

1

8

J =

B

1 4

J =

Câu 18: Tính:

2 2 0

(2 4)

4 3

x dx J

+

=

∫

Câu 19: Tính:

2 2 0

( 1)

4 3

x

−

=

∫

Câu 20: Tính

3 2

x

x

=

−

∫

8 ln 3

K =

D

1 8 ln

2 3

K =

Câu 21: Tính

3 2

dx K

=

− +

∫

Câu 22: Tính:

2 0

1 2sin

I =∫ − xdx

π

A

2

2

I = π

B I =2 2 2−

I = π

D Đáp án khác

ln

e

I =∫ xdx

Câu 24: Tính:

2 1

6

x

−

∫

A

ln

3 13

2ln

2

K =

B

1 12 ln

3 25 2ln

2

K =

C

1 ln13 3 2ln 2

K =

D

1 25 ln

3 13 2ln

2

K =

Câu 25: Tính:

1

2 2 0

x

K =∫x e dx

A

4

e

K = +

B

4

e

K = −

C

2

4

e

K =

D

1 4

K =

Câu 26: Tính:

1

2 0

1

L=∫x +x dx

A L= − 2 1−

B L= − 2 1+

C L= 2 1+

D L= 2 1−

Câu 27: Tính:

1

2 0

ln 1

K =∫x +x dx

A

2 ln

K = − −

B

2 ln

K = + −

C

2 ln

K = + +

D

2 ln

K = − +

Câu 28: Tính:

2 1

(2 1) ln

K =∫ x− xdx

A

1 3ln 2

2

B

1 2

K =

1 3ln 2

2

Câu 29: Tính: 0

sin

L x xdx

π

=∫

Câu 30: Tính:

2 1

ln

e

x

x

=∫

A

1

2

K

e

= −

B

1

K e

=

C

1

K e

= −

D

2 1

K

e

= −

Câu 31: Tính:

2 2

2 ( 1)

x x

+ +

=

−

∫

A

3

ln 3

2

L=

3

ln 3 ln 2 2

D L = ln2

Câu 32: Tính: 0

cos

x

π

=∫

π

= +

π

= − −

C

1 ( 1) 2

L= eπ−

D

1 ( 1) 2

L= − eπ +

Câu 33: Tính:

5 1

x

−

=

∫

A

5

2 4 ln ln 4

3

E = + +

B

5

2 4ln ln 4

3

E = − +

C E = +2 4 ln15 ln 2+

D

3

2 4ln ln 2

5

E = − +

Câu 34: Tính:

3 2 0

1 1

x

=

+

∫

A K = ln( 3 2 + )

Câu 35: Tính:

2 1

ln

e

x

x

=∫

A

1

3

J =

B

1 4

J =

C

3 2

J =

D

1 2

J =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Nguyên hàm Câu 1 Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3

-2

3

2x

x +

là:

A

4

2

3ln 2 ln 2

4

x

x

B

3 3

1 2 3

x

x

C x

+ + +

C

4 3 2

x

x

C x

+ + +

D

4 3

2 ln 2 4

x

x

C x

Câu 2 Nguyên hàm của hàm số: y =

2 2

cos 2 sin cos

x

là:

A tanx - cotx + C B −tanx - cotx + C C tanx + cotx + C D cotx−tanx + C

Câu 3 Nguyên hàm của hàm số: y =

2

2 cos

x

e

x

−

là:

A 2 −tan +

x

B

− 1 + 2

cos

x

x

C

2 cos

x

x

x

Câu 4 Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:

A

3

1cos

3 x C+

B

3

cos x C

C

-+

3

1cos

D

+

3

1sin

Câu 5 Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:

A F(x) =

cos 6 cos 4

B F(x) =

1 5

sin5x.sinx

C

sin 6 sin 4

D

1 sin 6 sin 4

Câu 6 Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:

A

1 cos 6 cos 2

B

1 cos 6 cos 2

C

1 cos 6 cos 2

D

1 sin 6 sin 2

Câu 7

2

sin 2xdx

∫

=

A

1 1

sin 4

2x+ 8 x C+

B

3

1 sin 2

3 x C+

C

1 1

sin 4

2x− 8 x C+

D

1 1

sin 4

2x− 4 x C+

Câu 8

2 2

1 sin cosx x dx

∫

=

A 2 tan 2x C+

B -2cot 2x C+

C 4cot 2x C+

D 2cot 2x C+

Câu 9

3

1

x

dx x

−

∫

=

A

3

2

1 2ln

x

x

B

3

2

1 2ln 3

x

x

C

3

2

1 2ln

x

x

D

3

2

1 2ln

x

x

Câu 10 ∫ (x x e+ 2017 x)dx

=

A

2017 2

5

x

e

x x+ +C

B

2017 3

2

x

e

x x+ +C

C

2017 2

3

x

e

x x+ +C

2017

2

2

x

e

x x+ +C

Câu 11

2 4 5

dx

x + x−

∫

=

A

ln

x

C

x− +

+

B

ln

x

C

x+ +

−

C

ln

x

C

x+ +

−

D

ln

x

C

x− + +

Câu 12 Một nguyên hàm của hàm số:

3 2

2

=

−

x y

x

là:

A

2

( ) = 2 −

F x x x

B

1

4 2 3

C

1

2

3

D

1

4 2 3

Câu 13 Một nguyên hàm của hàm số:

2

( ) = 1 +

f x x x

là:

2

F x = x +x

2

1

3

2

3

x

F x = +x

1

3

F x = x +x

Câu 14

tan 2xdx

∫

=

A 2

ln cos 2x C+

B

1

2 ln cos 2x C+

C

1 2

− ln cos 2x C+

D

1

ln sin 2

2 x C+

Tích phân

Câu 15 Tính:

6 0

tan

π

=∫

A

3

ln

2

B

3 ln 2

C

2 3 ln 3

D Đáp án khác

Câu 13: Tính

4 2 0

tg

π

= ∫

1 4

I = −π

I = π

Câu 14: Tính:

2 3

2

dx I

x x

=

−

∫

I = π

I = π

D Đáp án khác

Câu 15: Tính:

1 2

dx I

=

∫

A

3

ln

2

I =

B

1 3 ln

3 2

I =

C

1 3 ln

2 2

I = −

D

1 3 ln

2 2

I =

Câu 16: Tính:

1 2

dx I

=

∫

3 ln 4

I =

Câu 17: Tính:

1

3

0 ( 1)

xdx J

x

= +

∫

A

1

8

J =

B

1 4

J =

Câu 18: Tính:

2 2 0

(2 4)

4 3

x dx J

+

=

∫

Câu 19: Tính:

2 2 0

( 1)

4 3

x

−

=

∫

Câu 20: Tính

3 2

x

x

=

−

∫

8 ln 3

K =

D

1 8 ln

2 3

K =

Câu 21: Tính

3 2

dx K

=

− +

∫

Câu 22: Tính:

2 0

1 2sin

I =∫ − xdx

π

A

2

2

I = π

B I =2 2 2−

I = π

D Đáp án khác

ln

e

I =∫ xdx

Câu 24: Tính:

2 1

6

x

−

∫

A

ln

3 13

2ln

2

K =

B

1 12 ln

3 25 2ln

2

K =

C

1 ln13 3 2ln 2

K =

D

1 25 ln

3 13 2ln

2

K =

Câu 25: Tính:

1

2 2 0

x

K =∫x e dx

A

4

e

K = +

B

4

e

K = −

C

2

4

e

K =

D

1 4

K =

Câu 26: Tính:

1

2 0

1

L=∫x +x dx

A L= − 2 1−

B L= − 2 1+

C L= 2 1+

D L= 2 1−

Câu 27: Tính:

1

2 0

ln 1

K =∫x +x dx

A

2 ln

K = − −

B

2 ln

K = + −

C

2 ln

K = + +

D

2 ln

K = − +

Câu 28: Tính:

2 1

(2 1) ln

K =∫ x− xdx

A

1 3ln 2

2

B

1 2

K =

1 3ln 2

2

Câu 29: Tính: 0

sin

L x xdx

π

=∫

Câu 30: Tính:

2 1

ln

e

x

x

=∫

A

1

2

K

e

= −

B

1

K e

=

C

1

K e

= −

D

2 1

K

e

= −

Câu 31: Tính:

2 2

2 ( 1)

x x

+ +

=

−

∫

A

3

ln 3

2

L=

3

ln 3 ln 2 2

D L = ln2

Câu 32: Tính: 0

cos

x

π

=∫

π

= +

π

= − −

C

1 ( 1) 2

L= eπ−

D

1 ( 1) 2

L= − eπ +

Câu 33: Tính:

5 1

x

−

=

∫

A

5

2 4 ln ln 4

3

E = + +

B

5

2 4ln ln 4

3

E = − +

C E = +2 4 ln15 ln 2+

D

3

2 4ln ln 2

5

E = − +

Câu 34: Tính:

3 2 0

1 1

x

=

+

∫

A K = ln( 3 2 + )

Câu 35: Tính:

2 1

ln

e

x

x

=∫

A

1

3

J =

B

1 4

J =

C

3 2

J =

D

1 2

J =