24 TS10 ha noi 1718 HDG

Bài 2: 2,0 điểmGiải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ q

STT 24 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

NĂM HỌC 2017 - 2018

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức

x A x

2 5

+

=

−

và

x B

x x

25 5

−

− +

với x 0≥

; x# 25

1) Tính giá trị biểu thức A khi x=9

2) Chứng minh rằng

B x

1 5

=

−

3) Tìm tất cả các giá trị của x

để

A =B x −4

Bài 2: (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút Tính vận tốc của mỗi xe

Bài 3: (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

x y







2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

, cho đường thẳng ( )d y mx: = +5

a) Chứng minh đường thẳng ( )d

luôn đi qua điểm A 0;5( )

với mọi giá trị của m

b) Tìm tất cả các giá trị của m

để đường thẳng ( )d

cắt parabol ( )P :y x= 2

tại hai điểm phân

biệt có hoành độ lần lượt là

x x1, 2 (với

x1<x2

) sao cho

x1 > x2

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn ( )O

ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K

1) Chứng minh bốn điểm C N K I, , ,

cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh NB2 =NK NM

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

4) Gọi P Q, 

lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và

E

là trung điểm của đoạn PQ

Vẽ đường kính ND của đường tròn ( )O

Chứng minh ba

điểm D E K, ,

thẳng hàng

Bài 5: (0,5 điểm)

Cho các số thực a b c, ,

thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1,b≥1,c≥1

và ab bc ca+ + = 9

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P =a2+b2+c2

STT 24 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

NĂM HỌC 2017 - 2018 Bài 1: ( 2,0 điểm)

Cho hai biểu thức

x A x

2 5

+

=

−

và

x B

x x

25 5

−

− +

với x 0≥

; x# 25 1) Tính giá trị biểu thức A khi x=9

2) Chứng minh rằng

B x

1 5

=

−

3) Tìm tất cả các giá trị của x

để

A =B x −4

Lời giải

1) Thay x=9

(tmđk) vào A

5 2

A −

⇒ =

Với x 0≥

; x# 25

5 ( 5)( 5)

x B

−

1

5

x

=

−

Vậy : Với x≥0,x≠ 25

thì

1 5

B x

=

−

2) Với x≥0,x≠25

4

A B x

T.H 1

3( / )

2( )

x t m

x loai

+ = − ⇔ − − =

= −



9

x

⇒ =

T.H 2

1( / )

2( )

x t m

x loai

+ = − ⇔ + − =

= −



1

x

⇒ =

Vậy: x=1

và x=9

thì

4

A B x= −

Bài 2: (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút Tính vận tốc của mỗi xe

Lời giải

Gọi vận tốc của xe máy là x ( Đơn vị km h/ , x>0

)

Đổi 36 phút

3 5

= giờ

Vận tốc của ô tô là x+10km h/

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là

120

x

( giờ )

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là

120 10

x+ ( giờ ) Lập luận để có PT:

120 120 3

10 5

x −x =

+

2 10 2000 0

50( ) 40( / )

x loai

x t m

= −



⇔  =

Vậy: Vận tốc của xe máy là 40 km h/ và vậ tốc của ô tô là50km h/

Bài 3: (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

x y







2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

, cho đường thẳng ( )d y mx: = +5

a) Chứng minh đường thẳng ( )d

luôn đi qua điểm A 0;5( )

với mọi giá trị của m

b) Tìm tất cả các giá trị của m

để đường thẳng ( )d

cắt parabol ( )P :y x= 2

tại hai điểm phân

biệt có hoành độ lần lượt là

x x1, 2 (với

x1<x2

) sao cho

x1 > x2

Lời giải

1) ĐKXĐ: x≥0

và y≥1

Ta có hệ:

5 2 1 4(5 2 1) 1







Giải được:

1 1

x x



( t / m)

Vậy hpt có nghiệm là:

1 5

x y

=



 =

 2) a) Thay tọa độ A=(0;5)

vào y mx= +5

ta có:

5=m.0 5+

( luôn đúng với mọi m) Vậy ( )d luôn đi qua A=(0;5)

với mọi m b) PT hoành độ giao điểm:

x −mx− =

(1)

Lập luận PT (1) có hai nghiệm phân biệt 1

x

, 2

x

với ∀m Lập luận có: 1 2

0

x < <x

nên 1 2

x > x ⇔ + <x1 x2 0

Áp dụng định lí viet, thay 1 2

x + =x m

Ta có: 1 2

0

x > x ⇔ <m

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn ( )O

ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M , N lần lượt là điểm

chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I Dây

MN

cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K

a) Chứng minh bốn điểm C, N , K, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh

NB =NK NM

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

d) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E

là trung điểm của đoạn PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn ( )O

Chứng minh ba điểm D

, E, K thẳng hàng

Lời giải:

a) Chứng minh bốn điểm C, N , K, I cùng thuộc một đường tròn

Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ AB của ( )O

(giả thiết)

sd AM sd MB

ANM BCM

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tứ giác CNKI ta có:

· ·

INK =ICK

(vì

·ANM =·BCM

)

CNKI

⇒

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

⇒C

, N , K, I cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh

NB =NK NM

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC của ( )O

(giả thiết)

sd BN sd NC

BMN NBC

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét VBMN

và VKBN

ta có:

- ·BNM

là góc chung

BMN =NBK

(vì

BMN =NBC

)

( )g-g

BMN KBN

⇒V : V

NB NM

NK NB

NB NK NM

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

+ Chứng minh BHIK là hình bình hành.

Gọi J là giao điểm của AN và BC

Ta có:

sd AM =sd MB

(cmt)

ACM BCM

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

CM

⇒

là phân giác của ·ACB

CI

⇒

là phân giác trong của VCAJ

IA CA

IJ CJ

(1)

Ta có:

sd AM =sd MB

(cmt)

ANM BNM

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

NM

⇒

là phân giác của ·ANB

NH

⇒

là phân giác trong của VNAB

HA NA

HB NB

(2)

Ta có:

sd BN =sd NC

BAN CAN

(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét VCAJ

và VNAB

ta có:

ACJ = ANB

(hai góc nội tiếp cùng chắn »AB

)

BAN CAJ=

(cmt)

( )g-g

CAJ NAB

⇒V : V

CA CJ CA NA

NA NB CJ NB

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

IA HA

IJ = HB

HI BJ

(định lí Thales đảo) hay HI BKP (4) Chứng mình tương tự các ý ở trên, ta được KI BHP (5)

Từ (4) và (5) suy ra BHIK là hình bình hành

+ Chứng minh BH =BK

Ta có : VKBN : VBMN

(cmt)

BK

(6)

Chứng minh tương tự câu b) ta có: VHMB: VBMN( )g-g

BH

(7)

Từ (6) và (7) suy ra BH =BK

Mà BHIK là hình bình hành nên BHIK là hình thoi

d) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E

là trung điểm của đoạn PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn ( )O

Chứng minh ba điểm D

, E, K thẳng hàng

Ta có:

NBK =BMK

(cmt)

BN

⇒

là tiếp tuyến tại B của ( )P

BN BP

Mà BN ⊥BD

(vì

· 90o

DBN =

: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

nên B, P, D thằng hàng

Ta có: VPBK cân tại P (PB=PK

)

· 180o 2 ·

(8)

Ta có:

NB NC sd NB sd NC

OB OC





là đường trung trực của đoạn BC

DB DC

(D thuộc đường thẳng ON)

DBC

⇒V

cân tại D

· 180o 2 ·

(9)

Từ (8) và (9) suy ra

BPK =BDC

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên PK DCP ⇒PK DQP

(10)

Chứng minh tương tự ta có: C, Q, D thẳng hàng và QK DPP

(11)

Từ (10) và (11) suy ra DPKQ là hình bình hành

Mà E là trung điểm của đường chéo PQ nên E cũng là trung điểm của đường chéo DK

⇒ D

, E, K thẳng hàng

Bài 5: (0,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1

, b≥1

, c≥1

và 9

ab bc ca+ + =

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

P a= +b +c

Lời giải:

+ Tìm giá trị nhỏ nhất

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

2

2

a b ab

b c bc a b c ab bc ca

c a ca

 + ≥



 + ≥



2 2 2 9

P a b c ab bc ca

Dấu ‘=’ xảy ra

1

3 9

a b c

a b c

ab bc ca

= = ≥



⇔ + + = ⇔ = = =

+ Tìm giá trị lớn nhất

Vì

 ≥ ⇒ − − ≥ ⇒ − − + ≥

ab bc ca a b c

3

2

ab bc ca

a b c + + +

36

a b c

a b c ab bc ca

P ab bc ca

Dấu ‘=’ xảy ra

4, 1

4, 1

4, 1

a b c

b c a

c a b





⇔ = = =

 = = =



Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi a b c= = = 3

GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi

4, 1

4, 1

4, 1

a b c

b c a

c a b



 = = =



