24 TS10 ha noi 1718 HDG

Bài 2: 2,0 điểmGiải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ

STT 24 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

NĂM HỌC 2017 - 2018 Bài 1: (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức A x

x

2 5





 và

x B

x x

25 5





 với x  0 ; #25x 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9

2) Chứng minh rằng B

x

1 5



 3) Tìm tất cả các giá trị của x để AB x 4

Bài 2: (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút Tính vận tốc của mỗi xe

Bài 3: (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình x y







2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d :y mx 5

a) Chứng minh đường thẳng  d luôn đi qua điểm A 0;5 với mọi giá trị của   m

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng  d cắt parabol  P y x2

:  tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x1, 2 (với x1 x2) sao cho x1  x2

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn  O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M và N lần lượt là điểm

chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC Hai dây ANvà CM cắt nhau tại điểm I Dây MN cắt các cạnh AB và BClần lượt tại các điểm H và K

1) Chứng minh bốn điểm C N K I, , , cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh NB2 NK NM

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

4) Gọi P Q,  lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCKvà

E là trung điểm của đoạn PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn  O Chứng minh ba điểm D E K, , thẳng hàng

Bài 5: (0,5 điểm)

Cho các số thực a b c , , thay đổi luôn thỏa mãn: a1,b 1,c1 và ab bc ca  9

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2

STT 24 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

NĂM HỌC 2017 - 2018 Bài 1: ( 2,0 điểm)

Cho hai biểu thức A x

x

2 5





 và

x B

x x

25 5





 với x  0 ; #25x 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9

2) Chứng minh rằng B

x

1 5



 3) Tìm tất cả các giá trị của x để AB x 4

Lời giải

1) Thay x9(tmđk) vào A 5

2

A 

  Với x  0 ; #25x

5 ( 5)( 5)

x B



1 5

x





Vậy : Với x 0,x 25 thì 1

5

B x





2) Với x 0,x 25

4

2 4

A B x

T.H 1

3( / )

2( )

x t m

x loai

 



9

x

 

T.H 2

1( / )

2( )

x t m

x loai

 



1

x

 

Vậy: x1và x9thì AB x 4

Bài 2: (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút Tính vận tốc của mỗi xe

Lời giải

Gọi vận tốc của xe máy là x ( Đơn vị km h , / x0)

Đổi 36 phút 3

5

 giờ Vận tốc của ô tô là x10km h /

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là 120

x ( giờ )

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 120

10

x ( giờ ) Lập luận để có PT:

120 120 3

10 5

x x 

 2

10 2000 0 50( ) 40( / )

x x

x loai

x t m

 





Vậy: Vận tốc của xe máy là 40 km h và vậ tốc của ô tô là 50/ km h /

Bài 3: (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình x y







2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d :y mx 5

a) Chứng minh đường thẳng  d luôn đi qua điểm A 0;5 với mọi giá trị của   m

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng  d cắt parabol  P :y x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x x1, 2 (với x1 x2) sao cho x1  x2

Lời giải

1) ĐKXĐ: x0và y1

Ta có hệ:

5 2 1 4(5 2 1) 1







Giải được: 1 2 5

1 1

x x

Vậy hpt có nghiệm là: 1

5

x y





 



2) a) Thay tọa độ A(0;5)vào ymx5 ta có:

5m.0 5 ( luôn đúng với mọi m )

Vậy ( )d luôn đi qua A(0;5)với mọi m

b) PT hoành độ giao điểm:

2

5 0

x mx  (1) Lập luận PT (1) có hai nghiệm phân biệt x , 1 x với m2 

Lập luận có: x1 0 x2 nên x1  x2  x1 x2 0

Áp dụng định lí viet, thay x1x2 m

Ta có: x1  x2  m 0

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn  O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M , N lần lượt là điểm

chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I Dây

MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K

a) Chứng minh bốn điểm C , N , K, I cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh NB2 NK NM

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

d) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK

và E là trung điểm của đoạn PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn  O Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng

Lời giải:

a) Chứng minh bốn điểm C , N , K, I cùng thuộc một đường tròn

Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ AB của  O (giả thiết)

sd AM sd MB

ANM BCM

  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tứ giác CNKI ta có:

INKICK(vì ANM BCM)

CNKI

 là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

C , N , K, I cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh 2

NB NK NM

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC của  O (giả thiết)

sd BN sd NC

BMN NBC

  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét BMN và KBN ta có:

- BNM là góc chung

- BMNNBK(vì BMNNBC)

 g-g

BMN KBN



NB NK NM

c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi

+ Chứng minh BHIK là hình bình hành

Gọi J là giao điểm của AN và BC

Ta có: sd AM sd MB (cmt)

ACM BCM

  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

CM

 là phân giác của ACB

CI

 là phân giác trong của CAJ

IA CA

IJ CJ

Ta có: sd AM sd MB (cmt)

ANM BNM

  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

NM

 là phân giác của ANB

NH

 là phân giác trong của NAB

Ta có: sd BN sd NC

BAN CAN

  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét CAJ và NAB ta có:

- ACJ  ANB (hai góc nội tiếp cùng chắn AB )

- BANCAJ (cmt)

 g-g

CAJ NAB



Từ (1), (2), (3) suy ra IA HA

IJ  HB

HI BJ

 (định lí Thales đảo) hay HI BK (4) Chứng mình tương tự các ý ở trên, ta được KI BH (5)

Từ (4) và (5) suy ra BHIK là hình bình hành

+ Chứng minh BH BK

Ta có : KBN BMN (cmt) BK BN BK BM BN.

Chứng minh tương tự câu b) ta có: HMB BMN g-g

BH

Từ (6) và (7) suy ra BH BK

Mà BHIK là hình bình hành nên BHIK là hình thoi

d) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E

là trung điểm của đoạn PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn  O Chứng minh ba điểm D

, E, K thẳng hàng

Ta có: NBKBMK (cmt)

BN

 là tiếp tuyến tại B của  P

BN BP

Mà BNBD (vì DBN 90o: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

nên B, P, D thằng hàng

Ta có: PBK cân tại P (PBPK)

180o 2

Ta có: NB NC sd NB sd NC

OB OC







ON

 là đường trung trực của đoạn BC

DB DC

  (D thuộc đường thẳng ON )

DBC

 cân tại D

180o 2

Từ (8) và (9) suy ra BPK BDC

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên PK DC PK DQ (10)

Chứng minh tương tự ta có: C , Q, D thẳng hàng và QK DP (11)

Từ (10) và (11) suy ra DPKQ là hình bình hành

Mà E là trung điểm của đường chéo PQ nên E cũng là trung điểm của đường chéo DK

 D, E, K thẳng hàng

Bài 5: (0,5 điểm) Cho các số thực a , b , c thay đổi luôn thỏa mãn: a1, b1, c1 và

9

ab bc ca Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2

Pa b c

Lời giải:

+ Tìm giá trị nhỏ nhất

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

2 2

2 2

2

2



  



2 2 2

9

9

a b c

a b c

ab bc ca

  



+ Tìm giá trị lớn nhất

Vì

ab bc ca a b c

3

2

ab bc ca

36

a b c

2 2 2

a b c ab bc ca

P ab bc ca

Dấu ‘=’ xảy ra

4, 1

4, 1

4, 1

a b c

b c a

c a b







Vậy GTNN của P là 9 , xảy ra khi và chỉ khi a  b c 3

GTLN của P là 18 , xảy ra khi và chỉ khi

4, 1

4, 1

4, 1

a b c

b c a

c a b





