NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
PS
T
DẠNG: TÌM CÁC NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm các nguyên hàm của hàm số:
2
1 2
3 ) (
x x x
x
3
3 5
3
x +
+ 4/ f(x) = (2x-1)3
Bài 2: Tìm các hàm số f(x) biết:
1/ f '(x) = 2x+1 và f(1) = 5 2/ f '(x) = 2 - x2 và f(2) = 7
* DẠNG: TÍCH PHÂN CỦA HÀM LUỸ THỪA
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1/ ∫(x +x−2 −5)dx
1
4
3
2/ ∫(x− 3−2x− 2 +4x+1)dx
3/ ∫ x( x −2x)(x+1)dx 4/ dx
x
x x
∫ 2 −3
x
x
∫ +4
2
)
2
∫ + dx x
x
2
2
2 1 ) (
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1/ ∫(x −7x3)dx
2
x 2)4 (
3
4/
∫5 (x+1)3dx
* DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ SƠ CẤP: Gồm các hàm số: lượng
giác, mũ, logarit
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1/ ∫sin2xdx 2/ ∫cos2xdx 3/ ∫sindx x 4/ ∫cosdx x 5/
∫tg 2 xdx 6/ ∫tg2xdx
7/
∫cos2 xdx 8/ ∫sin2 xdx 9/ ∫cos3 xdx 10/ ∫sin3 xdx
11/ ∫sinxcos5xdx 12/ ∫cosxsin4 xdx
13/ ∫sinx 2cosx−1dx 14/ ∫ dx
x
x
2
cos
sin
15/ ∫cotg2x dx 16/ ∫e x(1−e−x)dx 17/ ∫ + − dx
x
e e
x x
2 cos
2 18/ ∫(3x −5−x)dx
19/ ∫xe x2dx
20/ xe x dx
∫cos 2 sin
x
x
ln 3
22/ ∫ + dx
x
x)3 ln 5 (
* DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM HỮU TỈ Bai 6: Tính các tích phân sau:
1/ ∫ ++ dx x
x
1
3 2
2/ ∫ ++ + dx
x
x x
1
1 3
3/ ∫ −+ dx x
x
2
1 3
4/ ∫ + dx
x
x
1
2
2
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1:
Nhận dạng biểu thức dưới dấu tích phân có chứa : 1/ a2 −x2 thì đặt : x = asint ( hay x = acost )
2/ x2−a2 thì đặt : x =
sint
a
( hay x =
cost
a
)
x
a + hay x2+a2 thì đặt : x = atgt Bài 1: Tính các tích phân:
1/ ∫2 − 1
0
2
1 x dx 2/ ∫2 −
1
2
x
-
Trang 2NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
3/ ∫2 −
1
3
0 (1 x2)3
dx
Bài 2:Tính các tích phân:
1/ ∫3 +
0
2
dx
2/ ∫1 +
0
2
2 x 1 x2
dx
4/
∫3 +
0 (9 x2)3
dx
5/ ∫3 +
1
2
2
3
9
x
x
6/ ∫
0
1 x2 x 1
dx
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1/
∫3 −
4
2
3
dx x
x 2/
∫3 −
2
3 2
2 4
x
dx x
ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2:
DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM: LUỸ THỪA, PHÂN THỨC
Tính các tích phân sau:
1/ ∫1 +
0 x 1dx
x
2/ ∫1 +
0
3
2 1)
x
3/ ∫1 +
0
3 ) 1
(x
dx
4/ ∫1 −
0
2
x
5/ ∫1 −
0
2
4
x
x
6/ ∫1 + + ++ +
0 2
2 3
9 2
1 10
x x
x x
x
7/∫1 ++ ++
0 2
2
9 2
x x
x x
8/ ∫3 − −
0
2 x 2 dx
1
5
) 1 ( x dx
1
3 1 x dx x
11/ ∫
+
1
1
x
x
x
12/ ∫2 +
1 4
2 1
dx x
x
DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM: LƯỢNG GIÁC
cos sin
π
dx x x
x
6
2
2 cos sin
π
dx
3/
∫3 +
6
2
3
cos 1
cos sin
π π
dx x
x x
4/ ∫3
4
2
2 cos sin
2 cos
π
xdx
5/ ∫3 −
4
2
2
cos
cot 2 3
π π
dx x
x g
6/ ∫4 −
6 2
3
sin
sin 1
π π
dx x x
sin
π
dx x x
6
2
3
sin 1
cos 2
π
xdx
9/ ∫2
0
3
2 cos sin
π
xdx
∫4
0 3
π
xdx tg
11/ ∫4
0 4
π
xdx
0
4
sin
π
13/ ∫2
0
4
4 cos sin
π
xdx
∫6
0
2
sin cos
π
dx x x dx
15/ ∫2 + +
sin 1
π
dx x
x 16/ ∫3 +
6
2
cos
2 sin 1
π
xdx
17/ π∫ − 0
2 sin
2
0
2 cos
Trang 3NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
19/ ∫4 + −
5
2 sin
1
cos sin
π
π
dx x
x
x 20/
dx x x
∫2
0
3
sin
π
21/
∫2 +
π
x
dx 22/
∫4 +
0sin 2 cos 2
π
x x
dx x
x
∫2 +
0
4
sin 1
2 sin
π
24/
∫2 + +
π
x
x
dx
DẠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM: SỐ MŨ
1/ ∫1 +−
01
e
e
x
x
2/ ln∫2 +
1 ex 1
dx
3/ ∫ − +
− 2 ln
x
e
dx e
4/ ∫ − +
−
1
0
2
1
x
x
e
dx
e
5/ ln∫2 −
0
1dx
e x 6/
0
1
2 2dx
e
e
x
x
DẠNG: ∫ax2 +dx bx+c ,∫ ax2dx+bx+c với a ≠0, ∆=b2−4ac<0
Bài:
1/ ∫1 + +
0
2 x 1
x
dx
2/ ∫1 − +
0
2 2x 4
x dx
2
x
dx
4/ ∫ − +
2
1
3 x x dx
DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Dạng 1: ∫
b
a xu
dx e xu
xu xP
)(
)(cos
)(sin
e xu
xu dv
xu
=
)(
)(
cos
)(
sin
Dạng 2: ∫b
a
xdx x
P( )ln Đặt u = lnx , dv = P(x)
1/ ∫2 + 0
2 sin ) 1 (
π
xdx
0
) 1 ln(
2
π
dx x
0
2 1)
x
0
) cos 1 ln(
cos
π
dx x
0
2 cos
π
xdx
0
2 2 1)
e x
7/ ∫1 + 0
2 2 ) 1 (x e x dx 8/ ∫2
0
2sin
π
xdx
0
2
cos ) 1 (
π
xdx x
10/ x ( 2 cos x 1 ) dx
4
0
∫
π
11 ∫
2
0
sin
π
dx
x 12/ ∫3
4
2
cos
) ln(sin
π π
dx x
x
-
Trang 4NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
13/ ∫1 +
0
2
)
1
xe x
14/ ∫2
0
2
sin cos
π
xdx x
+ −
1
2
1
1 1
x
16/ ∫e + exdx
x
x x
1
ln 1
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ĐỒNG NHẤT THỨC
c bx ax
B Ax
2 , với a ≠0, ∆=b2 −4ac>0
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1/ ∫4 − + +
3
3
2
dx x
x
x
2/ ∫3 − +
6
sin cos
π
π
dx x x
x
ỨNG DỤNH HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
PHẦN I: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
DẠNG 1:
Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) liên tục
trên [ a ; b ], và các đường thẳng x = a , x = b , trục hoành:
=∫b
a
dx x f
Bài 1:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = x2 - 4x + 3 , và
các đường thẳng x = 2 , x = 4 và y = 0
Bài 2:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = x3 - 3x2 + 2 ,
và các đường thẳng x = 0 , x = 2 và y = 0
Bài 3:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = cosx trên
1/ Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) và y = g(x) liên tục trên
[ a ; b] ,và các đường thẳng x = a , x = b, trục hoành:
=∫b −
a
dx x g x f
1/ Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị x = f(y) và x = g(y) liên tục trên [ a ; b] ,và các đường thẳng y = a , y = b, trục tung: =∫b −
a
dy y g y f
Bài 4:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị f(x) = x3 + 2, g(x)
= 3x2 và các đường thẳng x = 0 , x = 3 và y = 0
Bài 5:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị f(x) = x , y = x -
2 , trục hoành ( giải bằng 2 cách ) Bài 6:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị f(x) = -x3 + 3x + 1, g(x) = x2 + x + 1
Bài 7:
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị f(x) = x3 - 2x2 - x +
2, và trục hoành
BÀI TẬP VỀ DIỆN TÍCH:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: 1/ y = 2x - x2 , x + y = 2
2/ y = x3 - 12x, y = x2 3/
2
1 , 1
1
+
x
4/ y = (x - 6 )2 , y = 6x - x2
5/ y = x3 - 1 và tiếp tuyến y = x3 - 1 tại M( -1 ; -2 ) 6/ y = x + sinx , y = x , với 0≤x≤2π
7/ y = x3 , y = x2 8/ y = lnx, y = 1, x = 4 9/ y= lnx ; y = 1 10/ y = x4 - 4x2 + 4 , y =x 2 , trục tung và đường thẳng x = 1 11/ y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm A( 0 ; - 3) và B(
Trang 5NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Năm hoc 2009-2010
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=e x , y =
2 và đường thẳng x = 1 ( TN2006 )
2/ Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị :
y2 = 4x , y = 2x - 4
3/ Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị :
x = y 3 , y =1 và x = 8
4/ Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị :
y = x + 4y2 = 4 , x + y4 = 1
5/ Tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị :
1
6 3
2
−
+
−
=
x
x x
1
6 3 2
−
+
−
=
x
x x
thẳng x =2 , x = 4
PHẦN II: TÍNH THỂ TÍCH
DẠNG 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y = f(x) liên tục trên [ a ;
b ], và các đường thẳng x = a , x = b , trục hoành Thể tích của vật thể
tròn xoay sinh ra bởi (H) quay quanh Ox là:
= ∫b[ ]
a
dx x f
V π ( ) 2
DẠNG 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị x = g(y) liên tục trên
[ a ; b ], và các đường thẳng y = a , y = b , trục tung Thể tích của vật
thể tròn xoay sinh ra bởi (H) quay quanh Oy là:
= ∫b[ ]
a
dy y g
V π ( ) 2
ÁP DỤNG:
Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H)
quay quanh trục Ox và hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:
1/ y = x 2 , x = 1, x = 2, y = 0
2/ y = ex , x = 0 , x = 2 , y = 0
Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H)
quay quanh trục Oy và hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị:
1/ y = x 2 - 4, y = -1 , y = 1 ; y = 0
2/ y = lnx , y = 0 , y = 1 , x = 0
BÀI TẬP:
Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) quay
quanh trục Ox và hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị:
1/ y = x2 - 4x , y = 0
2/ y = x2 - 1, y = 0
3/ y = lnx , y = 0 , x = e
4/ y = cosx , y = 0 , x = 0 và x =π
5/ y = x , y = 0 , x = 0 , x = 2 6/ y = x , y = x2
7/ y = x2 - 3 , y = -1 , y = 0 Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (H) quay quanh trục Oy và hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị:
1/ y = x3 , x = 0 , y = 1, y = 2
1/ y = x , y = x2 2/ y = x2 - 4x + 3, y = -1, y = 3
-