Mu logarit, tich phan

PHƯƠNG TRÌNH-BấT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT1.. c Phương pháp đưa về cùng cơ số : Với 00 và thay vào phương trình..  Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0nếu có..  Đối chiếu ngh

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH-BấT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1 Phương trình mũ :

a) Các tính chất về lũy thừa : Với 0<a≠1, b>0, m,n∈¢ ta có:

m

a

−

m n

n

b) Phương trình mũ cơ bản : Với 0<a≠1 ta có:

• ax=b vô nghiệm khi b≤0; • ax=b⇔x=loga b khi b>0.

c) Phương pháp đưa về cùng cơ số : Với 0<a≠1, ta có: ( ) ( )

( ) ( )

d) Phương Pháp đặt ẩn phụ :

 Biến đổi phương trình theo af(x), chẳng hạn: m.a2f(x)+m.af(x)+p=0; f x( ) 1( ) 0

f x

a

 Đặt t=af(x), t>0 và thay vào phương trình

 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0(nếu có)

 Đối chiếu nghiệm t0 với điều kiện rồi giải phương trình af(x)=t0 để tìm x

e) Phương pháp lôgarit hóa : Với 0<a≠1, 0<b≠1 ta có: f x( ) g x( ) log [ f x( )] log [ g x( )]

2 Phương trình lôgarit :

a) Các cô thức và quy tắc tính lôgarit : Với a<a≠1, b>0, 0<c≠1, α≠0, ta có:

log

b

α

b) Phương trình lôgarit cơ bản : Với 0<a≠1, ta có: logax=b⇔x=ab

c) Phương pháp đưa về cùng cơ số : Với 0<a≠1, ta có:

• log ( ) log ( ) ( ) 0

( ) ( )

f x

f x g x

>



b

• Nếu chỉ có f(x)≠0 thì 2

log [ ( )]n 2 log | ( ) |

d) Phương pháp đặt ẩn phụ :

 Đặt điều kiện(nếu có) Biến đổi phương trình theo loga f x , chẳng hạn: ( ) m.log2a f x( )+n.loga f x( )+ =p 0

 Đặt t= loga f x và thay vào phương trình.( )

 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0(nếu có)

 Giải phương trình loga f x =t để tìm x, đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm.( )

e) Phương pháp mũ hóa : Với 0<a≠1, 0<b≠1, ta có: log ( ) log ( ) loga f x( ) logb g x( )

3 Bất phương trình mũ và lôgarit :

 Cũng có các cách giải như cách giải phương trình mũ,lôgarit Tuy nhiên khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit cần chú ý so sánh cơ số với số 1 để sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 1: Giải các phương trình sau:

3

)9x 5.3x 6 0; ) 4x 2x 21 0; )5x 2.5 x 5 0; ) 6.9x 13.6x 6.4x 0;

2

2 3

3

) log ( 2) log ( 4) 0;

Trang 2

5 log 1 log

x

Bài 5: Giải các bất phương trình sau:

a x − x+ ≥ − b x + ≥ x − x+ c x+ ≤ x − −x

a) 72x-8.7x+7=0; b) 2.22x+2x-1=0; c) 9x-3x-6=0; d) 25x+2.5x-15=0; e) 22x+1-2x=6;

f) 82x-23x-56=0; g) 3x+33-x=12; h) 23-x-2x+2=0; i) 52x-53-2x=20; j) 7x+2.71-x-9=0;

k) e2x-4.e-2x=3; l) 6x+1+2.6-x-13=0; m) 3.4x-2.6x=9x; n) 25x+10x=22x+1; o) 25x+15x=2.9x; p) 5.4 x +2.25 x -7.10 x =0; q) e6x-3.e3x+2=0; r) 24x+1-15.4x-8=0; s) 52x-1+5.5x=250; t) 32x+1-9.3x+6=0; u) 22x+6+2x+7=17; v) 2x-1(2x+3x-1)=9x-1;

a) 22x+5+22x+3=12; b) 2x+4+2x+2=5x+1+3.5x; c) 32x-1+32x=108; d) 52x+17.7x=7x+17.52x;

e) 2x.5x-1=0,2.102-x; f) 8.4|3x-1|=23x-2; g) 23x.3x-23x+1.3x-1=192; h) 3x2−x.2x2− +x 1 =72;

a) 3.2x+4x+1-1=0; b) 52x+1-110.5x+1-75=0;c) (1,5)5x-7= 2 1

( ) ; 3

5

9

x

e) 32x-1+32x=108; f) 16x+22(x+1)-12=0; g) 4.9x+12x-3.16x=0; h) 34x+8-4.32x+5+27=0;

i) 3x(3x+1-30)+27=0; j) 23x-22x+1-2x+3=0; k) 22x+2-9.2x+2=0; l) 1-3.21-x+23-2x=0;

m) 32x-2.31-2x+5=0; n) 2x2−x−22 + −x x2 =3; o) 2.16x-24x-42x-2=15; p) 4.( )2 2.( )3 6 0;

q) (2+ 3)x+ −(2 3)x =4; r) 2x-1.4x+64x-5=0; s) 4x-4x.4x+1+3=0; t) 36x-3x+1.2x-4=0;

u) 3x+ 1−5.33 −x =12; v) 3x+9.3-x-10=0; x) 72x+1 – 8.7x + 1 = 0; y) 4x-21-x.4x-3=0;

7

2

3 ) log ( 10) log (3 ) 0; ) ln(4 4) ln( 1) ln ; ) log ( 1) log (7 );

3

8

x

6

x

log log 2

5

2

1 8

2

log (4 ) log

log (2 ) log (2 )

x x

+

Trang 3

3 2

1 ) log(10 ).log(0,1 ) log 3; ) log 4log log (4 ) 12; ) log ( 2) log (3 1) 1;

2

1

) log log [( 1)( 4)] 2;

4

x

+

)(0,5) x x 2; )2x 2 x 3 0; )2 x x 4; )3x 3x 28; )4x 3.2x 2 0;

a − ≥ b + − − < c − + < d + + − ≤ e − + >

k) 5.4x+2.25x≤7.10x; l) 4x+1-16x≥3;

x

−

+ e) log4(x+7)>log4(1-x); f) 2

log (5x+10) log (< x +6x+8);

log (2x+ >3) log (3x+1); j) log0,2(3x-5)>log0,2(x+1);

k) log3(x-3)+log3(x-5)<1;

Một số phương trình-bất phương trình đề thi học kì và tốt nghiệp phổ thông:

a) 25x – 6.5x + 5 = 0(TN 2008-2009); b) 3x+ 1−9.3x+ =6 0(TN 2007-2008)

c) log (3 x+ +2) log (3 x− =2) log 53 (TN 2007-2008); d) 2log22x−14log4x+ =3 0(TN 2009-2010)

e) 72x+1 – 8.7x + 1 = 0(TN 2010-2011); f) log (2 x− +3) 2log 3.log4 3x=2;(TN 2011-2012) g) 22x+2-9.2x+2=0(TN 2005-2006); h) 7x+2.71-x-9=0(TN 2006-2007 lần 2)

i) 2x-1+2x-2+2x-3=3x+3x-1+3x-2(HKII 2008-2009); j) log(x2-6x+7)>log(x-3)(HKII 2008-2009);

k) 2x+1+4x+1>6(HKII 2008-2009); l) log2 x+log (2 x− =1) 2(HKII 2008-2009);

m) log (2 x− +3) log (2 x− =1) 3(HKII 2009-2010); n) 3x+1-5.33-x=12(thi thử TN 2008-2009);

5

log (x −6x+ +5) 2log (2− ≥x) 0(thử 2009); p) 2

3 log (x+1) <2(thi thử TN 2009-2010);

q) 3x+9.3-x-10=0(thi thử TN 2009-2010); r) 2log32x−14log9 x+ =3 0(HKI 2011-2012)

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1 Định nghĩa nguyên hàm : Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x).

• Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là ∫ f x dx( ) ; Vậy ∫ f x dx F x( ) = ( )+C

2 Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng :

a

cosxdx sinx C; cos(ax b dx) sin(ax b C) ; sinxdx cosx C; sin(ax b dx) cos(ax b C) ;

+

3 Phương pháp tìm nguyên hàm :

a) Phương pháp đổi biến : ∫ f t x t x dx F t x[ ( )] '( ) = [ ( )]+C

Trang 4

b) Phương pháp từng phần : ∫udv u v= −∫vdu

4 Công thức tích phân : Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì

b

b a a

f x dx F x= =F b −F a

∫

5 Phương pháp đổi biến số : Xét [ ( )] '( )

b

a

I =∫ f t x t x dx

 Đặt t=t(x)⇒dt=t’(x)dx;  Đổi cận: x=b⇒t=t(b); x=a⇒t=t(a)

 Thay vào:

( )

( ) ( )

t b

t a

I = ∫ f t dt và tính tích phân mới này (biến t)

Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

'( ) ( )

b

a

t x dx

t x

( ) ( ) '( )

b

t x a

f e t x dx

( ( )) '( )

b

a

f t x t x dx

( ( )) '( )

b

n a

f t x t x dx

1 (ln )

b

a

x

(sin ).cos

b

a

(cos ).sin

b

a

2

1 (tan )

cos

b

a

x

1 cos x dx đi kèm biểu thức theo

tanx 2

1 (cot )

sin

b

a

x

1 sin x dx đi kèm biểu thức theo

cotx ( )

b

ax ax a

f e e dx

Đôi khi thay cách đặt t=t(x) bởi t=mt(x)+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn.

6 Phương pháp tích phân từng phần : ( )

b a

udv= uv − vdu

Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây:

• ( ).sin( )

b

a

P x ax b dx+

u P x

=



'( )

1

du P x dx

a

=







• ( ).cos( )

b

a

P x ax b dx+

u P x

=



'( )

1

du P x dx

a

=







Trang 5

• ( ) ( )

b

ax b a

P x e + dx

∫ ta đặt u P x( )ax b

dv e + dx

=



 =

'( )

1 ax b

du P x dx

a

+

=





 =



• ( ).ln( )

b

a

f x ax b dx+

( )

dv f x dx



 =

( )

a

ax b

v F x

 =



 =



7 Diện tích hình phẳng : Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b], (H) là hình phẳng giới

hạn bởi các đường (C1):y=f(x), (C2):y=g(x), x=a, x=b Khi đó diện tích của hình phẳng (H) là:

| ( ) ( ) |

b

a

S =∫ f x −g x dx

8 Thể tích vật thể tròn xoay : Hình (H) giới hạn bởi: y=f(x), Ox, x=a,x=b Thể tích vật thể do hình (H)

quay quanh trục Ox là: [ ( )]2

b

a

V =π∫ f x dx

Lưu ý: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a, x=b(a≤b) Nếu f(x) và g(x) luôn cùng dấu trên [a;b] thì thể tích vật thể do (H) quay quanh Ox là: | ( ( ))2 ( ( )) |2

b

a

V =π∫ f x − g x dx

Bài 1: Tính các tích phân sau:

2

3

1

x

π

−

+ +

2

π

−

2

e

π

− +

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:

a) y=x3-3x+2, trục hoành và các đường thẳng x=-1, x=3; b) y=-4-x2 và y=2x2-x4;

c) y=x3-2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng -1; d) y=x3-x và y=x-x2;

1

t

−

+ −

x x

−

π

cos

x

1

π

Trang 6

1

6

x x

π

−

e

π

−

+

xdx

3

π

2

π

2 1

a I =∫ x+ e dx b I =∫ x− e dx c I =∫x e −dx d I = ∫ x e − dx

π

−

e

ln

e

x

xdx

x

4 4

π

2

ln

x

π

1 ln

x

x x

π

x x

x

π

2

x

π

−

+

ln

cos

x

π

π +

Trang 7

4

+

ln 1

e

x

π

+

e x

π π

Một số đề thi tốt nghiệp về tính tích phân:

a)

1

2

0

( 1)

1

4 5

e

lnx

x

+

c)

ln 2

2

0

( x 1) x ;

I = ∫ e − e dx (TN 2011-2012); d)

0

I x(1 cos x)dx

π

e)

1

((1 )

−

1

0 (1 x)

I =∫x +e dx(TN 2007-2008(KPB));

g)

1

0

(4 1) x

I =∫ x+ e dx (TN 2007-2008(PBlần 2)); h)

2

1

ln

e

x

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y=-x3+3x2 và trục hoành(TN2005-2006); b) y=-x2+6x; y=0 (TN2006-2007(lần 2));

c) (Thi thử TN 2008-2009) y=-x3+3x+1; y=-1;

Bài 3: (Thi thử TN 2008-2009)Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x= lnx; trục hoành; x=e Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi (H) quay quanh trục hoành;

CHỦ ĐỀ SỐ PHỨC

1 Các khái niệm và phép toán liên quan đến số phức :

• Đơn vị ảo i: i2=-1; i3=-i

• Số phức z=a+bi(a,b∈¡ ) a là phần thực, b là phần ảo

• Môđun: z = a2+b2

• Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là: z a bi= −

• a+bi=c+di⇔ b d a c==



• Phép cộng hai số phức: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

• Phép trừ hai số phức: (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

• Phép nhân hai số phức: (a+bi).(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

• Phép chia hai số phức: a bi (a bi c di2 )( 2 )

2 Giải phương trình bậc hai hệ số thực trên tập số phức :

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a,b,c∈¡ và a≠0) Ta có ∆=b2-4ac

• Nếu ∆=0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

2

b

a

= = −

• Nếu ∆>0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 1,2

2

b x

a

− ± ∆

=

• Nếu ∆<0 thì phương trình có hai nghiệm phức: 1 | |, 2 | |

Chú ý: Khi giải phương trình trùng phương trên £ , ta đặt t=x2(không cần điều kiện cho t)

Bài 1: Thực hiện các phép tính:

Trang 8

2 2 )(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ); )(3 4 ) ; )

3 2

i

+

Bài 2: Tìm môđun của các số phức sau:

(1 )(2 )

i

+

Bài 3: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z=(1-i)2(2+i)?

Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 2iz+3=5z+4i; b) –z2+z-2=0; c) x4+2x2-3=0; d) z3+1=0;

Bài 5: Tìm môđun của số phức z biết: a) 3iz+(3-i)(1+i)=2; b) iz+ 5z =11-17i;

Bài 6: Thực hiện phép tính:

) (1 ) ; ) (3 4 ) ; ) ( 2 ) ; ) (2 3 ) ; ) (1 3 ) ; ) (1 ) ; ) (1 ) ;

2

i i

−

Bài 7: Tìm phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau:

a) z=(2+4i)(3-5i)+7(4-3i); b) z=(1-4i)(2+3i)-5(-1-3i); c) z=(1-2i) 2 -(2-3i)(3+2i); d) z=(2-3i) 2 -(1-3i)(5+2i);

) (1 2 ) (1 2 ) ; ) (1 3 ) (1 3 ) ; ) [(4 5 ) (4 3 )] ;

m) z=( 3+i 2)( 2−i 3)(Thi thử TN 2009-2010); n) (2+i) (22 −i z) = + +2 (6 2 )i z(thi HKII 2011-2012)

Bài 8: Tìm số phức z biết:

a) 3z+8-i=5+4i; b) 2iz+(2-i)2=2+3i; c) (3-i)z=(1+i)(4-2i); d) (1+i)z+(1+i)2=2-3i;

j z− i z= − i k z+ z= + i l iz+ z= + i m z+ z= + i n i z+ z= − i

Bài 9: Tính z iz+ biết a z) = +(1 2 ) ;i 2 b z i) = (2−i) 2

5

iz

+ + , biết z=2+3i?

z = − +i z = +i Tính z1.z2?

b) Cho z=(1-2i)(2+i)2 Tính A= ?z z (Thi HKII NH 2009-2010)

c) Tính giá trị biểu thức: P= +(1 3 )i 2+ −(1 3 ) ?i 2 (TN 2007-2008)

d) Tìm các số phức 2z z,25i

z

+ biết z=3+4i (TN 2011-2012)

e) Cho z1=1+2i, z2=2-3i Tìm phần thực, phần ảo của số phức z=z1-2z2(TN 2009-2010)

Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) z2+2=0; b) 4x2+9=0; c) x2-4x+8=0; d) 2x2+2x+5=0; e) z2+2z+17=0; f) z2-3z+3=0;

g) z3+4z=0; h) z3+7z=4z2; i) x3+8=0; j) z4+2z2-3=0; k) 2z4+3z2− =5 0; l) 9x4− =16 0; m) 2z2+4z+ =9 0; n z) 2 2+5 | | 3 0;z − = o z) 2+4z− =11 0;

p) 2x2-5x+4=0(TN 2006); q) x2-6x+25=0(TN 2006-2007); r) x2-2x+2=0(TN 2007-2008)

s) 8z2-4z+1=0(TN 2008-2009); t) z4+7z2-18=0(thi thử 2008-2009); u) (1-i)z+(2-i)=4-5i(TN2010-2011);

c) Cho z=2m+(m+2)i, m∈¡ Tìm z biết rằng z2 có phần thực bằng -5;

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	547 KB