PP giải bài toán mạch cầu

- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải đợc nếu ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này đợc giải bằng phơng pháp đặc biệt đợc trìnhbày ở mụ

Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu

có thì ta coi đờng chéo đó mắc song song với mạch cầu)

Mạch cầu có thể phân làm hai loại:

* Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lờng điện) I5 = 0 ; U5 = 0

* Mạch cầu không cân bằng

Trong đó mạch cầu không cân bằng đợc phân làm 2 loại:

- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặcthay vào đó là một ampe kế có điện trở ằng không ) Khi gặp loại bài tập này ta có thểchuyển mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải

- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải đợc nếu

ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này đợc giải bằng phơng pháp đặc biệt (đợc trìnhbày ở mục 2.3) R1 R2

- Vậy điều kiện để cân bằng là gì?

Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định đợc điện trở còn lại.

* Ngợc lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầucân bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0

+ Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tơng đơng của mạch luôn đợc xác định và không phụthuộc vào giá trị của điện trở R5 Đồng thời các đại lợng hiệu điện thế và không phụ thuộcvào điện trở R5 Lúc đó có thể coi mạch điện không có điện trở R5 và bài toán đợc giải bìnhthờng theo định luật ôm

+ Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng

2 - Ph ơng pháp tính điện trở t ơng đ ơng của mạch cầu:

- Tính điện trở tơng đơng của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho

dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các bài tập điện ta vẫn th ờng phải tiến hành công việc này

-Với các mạch điện thông thờng, thì đều có thể tính điện trở tơng đơng bằng một trong haicách sau

+ Nếu biết trớc các giá trị điện trở trong mạch và phân tích đợc sơ đồ mạch điện (thành các

đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng công thức tính điện trở của các

đoạn mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song

+ Nếu cha biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhng biết đợc Hiệu điện thế ở 2 đầu

đoạn mạch và cờng độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tơng đơng củamạch bằng công thức định luật Ôm

không thể tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách áp dụng, các công thức tính điệntrở của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song.

Vậy ta phải tính điện trở tơng đơng của mạch cầu bằng cách nào?

* Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R5 để tính điện trở tơng đơng của mạchcầu

* Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đa đợc về dạng mạch điện cócác đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải

* Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tơng đơng đợc tính bằng các phơngpháp sau:

a - Phơng pháp chuyển mạch:

Thực chất là chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tơng đơng (điện trở tơng đơng củamạch không thay đổi) Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các công thức tính điệntrở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tơng đơng

- Muốn sử dụng phơng pháp này trớc hết ta phải nắm đợc công thức chuyển mạch (chuyển

từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại từ mạch tam giác thành mạch sao)

3 2 1

3 2

1

.

'

R R

R

R R

3 1

2

.

'

R R

R

R R

2 1

3

.

'

R R

R

R R

R





(ở đây R’1, R’2, R’3 lần lợt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3)

* Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3

1

3 1 3 2 2

1

1

'

.

.

R

R R R R R

R

2

3 1 3 2 2

1

2

'

.

.

R

R R R R R

R

3

3 1 3 2 2

1

3

'

.

.

R

R R R R R

Trong đó các điện trở R13, R15, R35 R1'

đợc xác định theo công thức: (1); (2) và (3) R4

từ sơ đồ mạch điện mới (H - 22a) ta có thể áp (H: 2.2a)

dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song đểtính điện trở tơng đơng của mạch AB, kết quả là:

R5'

) ' ( ) ' (

) ' )(

' ( '

4 1 2

3

4 1 2 3 5

R R R

R

R R R R R

áp dụng công thức tính điện trở tơng đơng ta cũng đợc

kết quả:

4 1

4 1 2 3

2 3 5

4 1

4 1 2 3

2 3 5

'

' '

' (

'

'

' '

' (

'

R R

R R R R

R R R

R R

R R R

R

R R R

I là cờng độ dòng điện qua mạch chính

Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tơng đơng (R) của mạch thì trớc hết ta phảitính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ đợc kết quả

(có nhiều phơng pháp tính I theo U sẽ đợc trình bày chi tiết ở mục sau)

của đoạn mạch AB (H 2.3a)

b- Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U = 3 (V) Hãy tính cờng độ dòng điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở

3 3

3 2 1

3 1 '

R R

R '

3

R )

( 1

5 3

1

5 1

5 3

1

5 3

) 5 1 )(

2 1 ( 1 ) (

) (

) )(

(

4

' 1 2

' 1

4

' 1 2

' 3 '

R R R R R

'

1 ;R ;R R

.

2

5 1 5 2 1

'

R

R R R R R

R

R R3 (H 2.3c) R4

) ( 7

.

5

5 1 5 2 1

'

R

R R R R R

.

) 3

(

4

' 1 4

' 1 3

' 2 3

' 2 ' 5

4

' 1 4

' 1 3

' 2

' 2 ' 5

R R R R

R R R

R R

R R R R

R R R

AB AB

I

U R R

U

I    (*)

- Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB

I là cờng độ dòng điện qua đoạn mạch AB

Biểu diễn I theo U

Đặt I1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều nh hình vẽ (H 2.3d)

I

I     (4)

2

3 15

5

5

U I R

U I U

U

3 21 10

I

I

3

1 27

4 27

5 3

+ Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tơng đơng của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì ápdụng phơng pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn

+ Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì

áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn.+ Trong phơng pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính toán các

đại lợng cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu Đây là một bài toán không hề

đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh Vậy cónhững phơng pháp nào để giải bài toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạchcầu

2.3/ Ph ơng pháo giải bài toán tính c ờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.

a- Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng 0(hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc (gồm các

đoạn mắc nối tiếp và mắc song song) Khi đó ta áp dụng định luật Ôm để giải bài toán nàymột cách đơn giản

Các bài loại này có nhiều tài liệu đã trình bày, nên trong đề tài này không đi sâu vào việc phân tích các bài toán đó tuy nhiên trớc khi giảng dạy bài toán về mạch cầu tổng quát, nên rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài tập loại này thật thành thạo.

b- Với mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta không thể đa về dạng

mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song.Do đó các bài tập loại này phải cóphơng pháp giải đặc biệt - Sau đây là một số phơng pháp giải cụ thể:

1 - Tính cờng độ dòng điện và hiệu điện

thế của mỗi điện trở và tính điện trở tơng đơng

2 - Khi R5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vô cùng, thì đienẹ trở tơng đơng của mạch

điện thay đổi nh thế nào?

Ph

ơng pháp giải:

1 - Tính I1; I2; I3; I4; I5

U1; U2; U3; U4; U5

Bớc 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đạilợng cònl lại theo ẩn số

(I1) đã chọn (ta đợc các phơng trình với ẩn số I1 ).

Bớc 3: Giải hệ các phơng trình vừa lập để tìm các đại lợng của đầu bài yêu cầu.

Bớc 4: Từ các kết quả vừa tìm đợc, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở bớc 1

+ Nếu tìm đợc I >0, giữ nguyên chiều đã chọn

+ Nếu tìm đợc I< 0, đảo ngợc chiều đã chọn

225 20

I U

9 12 12

- Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta đợc các kết quả:

45 3

1 I I

U I

=> áp dụng: (Giải cụ thể)

- Chọn chiều dòng điện trong mạch nh hình vẽ (H 3.2b)

Chọn U1 làm ẩn số ta lần lợt có:

20

1 1

I

225 11

40

45 3

Thay U1 = 21 (V) vào các phơng trình từ (1) đến (9) ta đợc kết quả giống hệt phơng pháp 1

Bớc 5: Giải hệ phơng trình để tìm VC, VDtheo VA rồi suy ra U1; U2, U3, U4, U5

Bớc 6: Tính các đại lợng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở bớc 1.

V V R

V V R

V V R

V V R

45

45

D

D Vc V V





Bớc 4:Tính cờng độ dòng điện mạch chính (I)

Bớc 5: Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.

Ta có

3 3 4 1

4 1 2

' R R R

R

R R

30 50

'

5 3

1

5 3

R

R

R

R

) ( 6 30 50 20

30 20

'

5 3

1

5 1

50 20

'

5 3

1

3 1

) ' ' ).(

' ' ( '

4 1 2

3

4 1 2 3

R

R R R R R

R AB

- Cờng độ dòng điện trong mạch chính:

) ( 5 , 1 30

45

A R

) ' (

) ' (

2 3 4

1

4 1

R R R

R

R R I

( 05 , 1

3

3 3 1

1

R

U I A R

U

I5 = I1 - I3 = 0,05 (A)

* Ph ơng pháp 5: áp dụng định luật kiếc sốp

- Do các khái niệm: Suất điện động của nguồn, điện trở trong của nguồn, hay các bài tập vềmạch điện có mắc nhiều nguồn,… học sinh lớp 9 ch học sinh lớp 9 cha đợc học Nên việc giảng day cho các

em hiểu đày đủ về định luật Kiếc sốp là không thể đợc Tuy nhiên ta vẫn có thể hớng dẫnhọc sinh lớp 9 áp dụng định luật này để giải bài tập mạch cầu dựa vào cách phát biểu sau:

a/ Định luật về nút mạng

- Từ công thức: I= I1+ I2+ … +In(đối với mạch mắc song song), ta có thể phát biểu tổngquát: “ ở mỗi nút, tổng các dòng điện đi đến điểm nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏinút”

b/ Trong mỗi mạch vòng (hay mắt mạng):

- Công thức: U= U1+ U2+ …+ Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp) đợc hiểu là đúngkhông những đối với các điện trở mắc nối tiếp mà có thể mở rộng ra: “ Hiệu điện thế UAB

giữa hai điểm A và B bằng tổng đại số tất cả các hiệu điện thế U1, U2,… của các đoạn kế tiếpnhau tính từ A đến B theo bất kỳ đờng đi nào từ A đến B trong mạch điện”

Vậy có thể nói: Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng (mắt mạng) bằng tổng đại số độ giảm thế trên mạch vòng đó.

Trong đó độ giảm thế: UK= IK.RK ( với K = 1, 2, 3, …)

+) Dòng IK mang dấu (-) nếu ngợc chiều đi trên mạch

+) Mạch vòng: ACBA: U= I1.R1+ I2R2 (3)

+) Mạch vòng: ACDA: I1 R1+ I5 R5-I3 R3= 0 (4)

+) Mạch vòng BCDB: I4 R4+ I5 R5- I2 R2= 0 (5)

Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phơng trình trên rồi rút gọn, ta đợc hệ

-Giải hệ 5 phơng trình trên ta tìm đợc 5 giá trị dòng điện:

I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A)

- Các kết quả dòng điện đều dơng do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng.

- Từ các kết quả trên ta dễ dàng tìm đợc các giá trị hiệu điện thế U1, U2, U3, U4, U5 và RAB

(Giống nh các kết quả đã tìm ra ở phơng pháp 1)

2- Sự phụ thuộc của điện trở tơng đơng vào R 5

+ Khi R5= 0, mạch cầu có điện trở là:

) ( 93 , 29 45 24

45 24 50 20

50 20

.

4 2

4 2 3 1

R R R R

R R R

R TD o

+ Khi R5= , mạch cầu có điện trở là:

) ( 07 , 30 ) 45 50 ( ) 24 20 (

) 45 50 ).(

24 20 ( ) (

) (

) ).(

(

4 3 2 1

4 3 2

R R R R R

R td

- Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0, ) thì điện trở tơng đơng nằm trong khoảng (Ro, ‘R)-Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R5 đều có Rtđ=R0=R

* Nhận xét chung:

Trên đây là 5 phơng pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát Mỗi bài tập về mạch cầu

đều có thể sử dụng một trong 5 phơng pháp này để giải Tuy nhiên với học sinh lớp 9 nên sửdụng phơng pháp lập hệ phơng trình với ẩn số là dòng điện (Hoặc ẩn số là hiệu điện thế), thìlời giải bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lôgíc hơn

Để cho học sinh có thể hiểu sâu sắc các tính chất của mạch cầu điện trở, cũng nh việc rènluyện kỹ năng giải các bài tập điện một chiều, thì nhất thiết giáo viên phải hớng dẫn các emhiểu và vận dụng tốt cả 5 phơng phơng pháp trên Các phơng pháp đó không chỉ phục vụ choviệc ôn thi học sinh giỏi vật lý lớp 9 mà cả chơng trinhf vật lý lớp 11 và ôn thi đại học cũnggặp rất nhiều bài tập phải áp dụng các phơng pháp này mơí giải đợc

2.4- Bài toán cầu dây:

- Mạch cầu dây là mạch điện có

dạng nh hình vẽ (H - 4.1)

Trong đó hai điện trở R3 và R4có giá trị

thay đổi khi con chạy C dịch chuyển dọc

theo chiều dài của biến trở (R3 = RAC; R4 = RCB) (H-4.1)

+ Mạch cầu dây đợc ứng dụng để đo điện trở của 1 vật dẫn

- các bài tập về mạch cầu dây rất đa dạng; phức tạp và phổ biến trong chơng trình Vật lýnâng cao lớp 9 và lớp 11

Vậy sử dụng mạch cầu dây để đo điện trở nh thế nào? Và phơng pháp để giải bài tập vềmạch cầu dây nh thế nào?

2.4.1 - Ph ơng pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch cầu dây:

Bài toán 4:

Để đo giá trị của điện trở Rx ngời ta dùng

một điện trở mẫu Ro, một biến trở ACB có điện

trở phân bố đều theo chiều dài, và một điện kế

Trên sơ đồ mạch điện, con chạy C chia biến trở (AB) thành hai phần

+ Đoạn AC có chiều dài l1, điện trở là R1

+ Đoạn CB có chiều dài l2, điện trở là R2

- Điện kế cho biết khi nào có dòng điện chạy qua đoạn dây CD

Nếu điện kế chỉ số 0, thì mạch cầu cân bằng, khi đó điện thế ở điểm C bằng điện thế ở

1

R

R R R R

R R

2

l

l R

l

l R

R x 

Chú ý: Đo điện trở của vật dẫn bằng phơng pháp trên cho kết quả có độ chính xác rất

cao và đơn giản nên đợc ứng dụng rộng rãi trong phòng thí nghiệm

A

2.4.2 - Các bài toán th ờng gặp về mạch cầu dây:

Bài toán 5:

Cho mạch điện nh hình vẽ (H- 4.3)

Điện trở của am pe kế và dây nối không

đáng kể, điện trở toàn phần của biến trở

a- Tìm vị trí ucả con chạy C khi biết số chỉ

của ampekế (IA)

b- Biết vị trí con chạy C, tìm số chỉ của ampe kế?

Vì điện trở của ampe kế không đáng kể -> mạch điện (R1RAC) nt (R2  RCB)

a- Đặt x = RAC (0< x< R)

* Trờng hợp 1: Nếu bài toán cho biết số chỉ của ampe kế IA = 0

Thì mạch cầu cân bằng, lúc đó ta có điều kiện cân bằng

I

x CB

U U

1

R

U U R

U

(Trong đó các giá trị U, Ia, R, R1, R2 đầu bài cho trớc )

- Xét chiều dòng điện qua ampe kế (nếu đầu bài không cho trớc), để giải phơng trình (3)tìm giá trị U1, rồi thay vào phơng trình (2) để tìm x

- Từ giá trị của x ta tìm đợc vị trí tơng ứng con chạy C

b- Vì đầu bài cho biết vị trí con chạy C, nên ta xác định đợc điện trở RAC và RCB

- Mạch điện: (R// RAC ) nt (R2 //RCB)

-> áp dụng định luật ôm ta dễ dàng tìm đợc I1và I2

Suy ra số chỉ của Ampe kế: IA = I1 - I2 

* Bài tập áp dụng:

Cho mạch điện nh hình vẽ (H - 4.4)

R1 = 3, R2= 6

Biến trở ACB là một dây dẫn

Có điện trở suất là = 4.106 ( m)

Chiều dài l = AB = 1,5m

Tiết diện đều: S = 1mm2

a - Tính điện trở toàn phần của biến trở

b- Xác định vị trí con chạy C để số chỉ của

ampe kế bằng 0

c- Con chạy C ở vị trí mà AC = 2CB, hỏi lúc đó ampe kế chỉ bao nhiêu?

d - Xác định vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

5 , 1 10

) ( 5 , 0

R

AC  AC 



Vậy khi con chạy C cách A một đoạn bằng 0,5m thì ampe kế chỉ số 0

c- Khi con chạy ở vị trí mà AC = 2CB, ta dễ dàng tính đợc RAC = 4 ()

12 7

12

.

2

2 1

AC

t

R R

R R R

98 14 45

7

A R

4 45

98

1

R R

R I I

49 8

2 45

98

2

R R

R I I

49 45

56 2

1    

I I

I A

hay IA = 0,7 (A)

Vậy khi con chạy C ở vị trí mà AC - 2CB thì ampe kế chỉ 0,7 (A)

d - Tìm vị trí con chạy C để ampe kế chỉ

3 1

(A)

U U I

2 1 1

1 2

1

R

U U R

U I

Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch là U

Không đổ.Biểntở có điện toàn phần là R

a- Tìm vị trí con chạy C, khi biết số chỉ của vôn kế

b- Biết vị trí con chạy C, tìm số chỉ của vôn kế

* Ph ơng pháp giải:

- Vì vôn kế có điện trở rất lớn nên mạch điện có dạng (R1 nt R2) // RAB

a- Tìm vị trí con chạy C

- Với mọi vị trí của C, ta luôn tìm đợc

2 1

- Xét hai trờng hợp: UAC = U1 + UV và UAC = U1 - UV

Mỗi trờng hợp ta luôn có:

AC

AC AC

T

U

Từ giá trị của RAC ta tìm đợc vị trí tơng ứng của con chạy C

b- Biết vị trí con chạy C, ta dễ dàng tìm đợc RAC và RCB và cũng dễ dàng tính đợc

=> RAC = 6 ()b- Xác định vị trí con chạy C, để Uv = 1(V)

- Với mọi vị trí của con chạy C, ta luôn có

) ( 3 6 3

3 9

2 1