Một số phương pháp giải bài toán mạch cầu điện trở VẬT LÝ THCS

Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trởkế hay vôn kế thì việc tính toán số chỉ của ampe kế và vôn kế cũng nh biện luận giátrị của các điện trở để số chỉ của ampe kế và vôn kế đ

Sáng kiến kinh nghiệm Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

Năm học: 2009-2010

MụC L ụC

Mục lục 1

A Mở đầu 2

1 Lí do chọn đề tài 2

2- Mục đích nghiên cứu 2

3- Khách thể, đối tợng và phạm vi nghiên cứu 2

4- Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5- Phơng pháp nghiên cứu 3

B NộI DUNG 3

1- Định hớng chung 3

2- Phần cụ thể 4

2.1- Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và mạch cầu

không cân bằng: 4

2 2- Phơng pháp tính điện trở tơng đơng của mạch cầu 7

2.2.1- Phơng pháp chuyển mạch 8

2.2.2- Phơng pháp dùng công thức định luật Ôm 9

2.3- Phơng pháp giải bài toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu 11

2.4- Bài toán mạch cầu dây 15

2.4.1- Phơng pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch cầu dây 15

2.4.2- Các bài toán thờng gặp về mạch cầu dây 16

C Kết qủa nghiên cứu và ứng dụng của đề tài 19

d triển vọng của đề tài 19

e kết luận 20

Một số phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

kế hay vôn kế thì việc tính toán số chỉ của ampe kế và vôn kế cũng nh biện luận giátrị của các điện trở để số chỉ của ampe kế và vôn kế đạt một giá trị xác định cho tr-

ớc là một bài toán phức tạp đối với HS Vì vậy, việc tổng hợp, khái quát thành ph

-ơng pháp giải đối với bài toán mạch cầu điện trở là một chìa khoá giúp HS biến bàitoán mạch cầu phức tạp thành những bài toán đơn giản, có lối đi riêng một cách rõràng, từ đó dễ dàng vận dụng vào giải các bài tập trong chuyên đề điện học Việcnắm vững phơng pháp giải bài toán mạch cầu điện trở sẽ giúp HS làm tốt các bàitoán có liên quan đến mạch cầu, đồng thời nâng cao chất lợng bồi dỡng chuyên đề

điện học nói riêng cũng nh chất lợng đội tuyển HSG vật lí nói chung

Với những lí do trên, tôi chọn đề tài "Một số phơng pháp giải bài toán

mạch cầu điện trở".

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm ra phơng pháp để giải bài toán tìm điện trở tơng đơng của mạch cầu, tìmcác đại lợng U, I của mỗi điện trở trong mạch Phơng pháp giải bài toán về mạchcầu dây phục vụ công việc học tập chuyên đề điện học của HS trong đội tuyển HSGmôn vật lí nhằm góp phần nâng cao chất lợng đội tuyển

3 Khách thể, đối tợng và phạm vi nghiên cứu

Khách thể : nội dung, chơng trình, phơng pháp dạy học và quá trình bồi dỡng

HSG

Đối tợng : Các bài tập về mạch cầu trong chuyên đề điện học.

Phạm vi : chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu và khai thác một số bài tập cơ bản

trong nội dung chơng trình bồi dỡng HSG vật lí; các bài tập về mạch cầu cân bằng,không cân bằng, mạch cầu dây

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đợc mục đích nghiên cứu nêu ở trên, tôi đề ra các nhiệm vụ sau :

+ Nghiên cứu cơ sở lí luận về Bài tập vật lí ở trờng phổ thông

+ Nghiên cứu và khai thác một số bài tập cơ bản trong chuyên đề bồi dỡngHSG chuyên đề điện học

+ Thiết kế và xây dựng các bài tập mẫu về mạch cầu trong chơng trình bồi ỡng HSG môn Vật lí.

d-+ Nghiên cứu hiệu quả của việc áp dụng phơng pháp giải bài toán mạch cầu

điện trở vào quá trình bồi dỡng HSG

5 Phơng pháp nghiên cứu

Để thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu nêu ở trên, tôi thực hiện các phơngpháp nghiên cứu sau :

+ Nghiên cứu lý thuyết : tổng quan các tài liệu về lí luận DH ; các văn bản chỉ

đạo về đổi mới, nâng cao chất lợng dạy học ở trờng phổ thông; các sách bài tậpnâng cao, các bài tập chuyên chọn

+ Từ việc nghiên cứu lí thuyết lựa chọn các bài tập cơ bản, điển hình cho mỗidạng sau đó tổng hợp thành phơng pháp giải cho mỗi dạng trong bài toán về mạchcầu điện trở

+ áp dụng vào quá trình dạy bồi dỡng đội tuyển HSG

B NộI DUNG

1 Định hớng chung:

Bài tập về mạch cầu điện trở rất đa dạng và phong phú Để giải các bài tập loạinày chỉ dùng kiến thức về Định luật ôm thì cha đủ Muốn làm tốt các bài tập vềmạch cầu cần phải nắm vững các kiến thức sau:

1.1 - Kỹ năng phân tích mạch điện

1.2 - Định luật ôm cho đoạn mạch có điện trở R: I =

R U

1.3 - Các tính chất của mạch điện có các điện trở mác nối tiếp, mắc song song.1.4 - Các công thức biến đổi hiệu điện thế ( nh công thức cộng thế, phép chia thế tỷ

lệ thuận)

1.5 - Các công thức biến đổi cờng độ dòng điện (nh công thức cộng dòng điện,phép chia dòng tỷ lệ nghịch)

1.6 - Công thức chuyển mạch từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại

1.7 - Cách mắc và vai trò của các dụng cụ đo vôn kế và ampe kế trong mạch

b- Phơng pháp tính điện trở của mạch cầu tổng quát

c- Phơng pháp xác định các đại lợng hiệu điện thế và cờng độ dòng điện trongmạch cầu

d - Bài toán về mạch cầu dây:

* Phơng pháp đo điện trở bằng mạch cầu dây

* Các loại bài toán thờng gặp về mạch cầu dây

Mạch cầu có thể phân làm hai loại:

* Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lờng điện)

* Mạch cầu không cân bằng

Trong đó mạch cầu không cân bằng đợc phân làm 2 loại:

- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt,hoặc thay vào đó là một ampe kế có điện trở bằng không) Khi gặp loại bài tập này

ta có thể chuyển mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải

- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải

đ-ợc nếu ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này đđ-ợc giải bằng phơng pháp đặcbiệt (đợc trình bày ở mục 2.3)

- Vậy điều kiện để mạch cầu cân bằng là gì?

Bài toán 1:

Cho mạch cầu điện trở nh Hình 3

a) Chứng minh rằng, nếu qua R5 có dòng I5 = 0 và U5 = 0 thì các điện trở nhánh lập

thành tỷ lệ thức :

4

2 3

1

R

R R

R

 = n = const (Hình 3)

b) Ngợc lại nếu có tỷ lệ thức trên thì I5 = 0 và U5 = 0, ta có mạch cầu cân bằng.c) Chứng minh rằng khi có tỷ lệ thức trên thì điện trở tơng đơng của mạch cầukhông tuỳ thuộc vào giá trị R5 từ đó tính điện trở tơng đơng của mạch cầu trong haitrờng hợp R5 nhỏ nhất (R5 = 0) và R5 lớn nhất (R5 = ) để I5 = 0 và U5 = 0, ta cómạch cầu cân bằng

Lời giải

a) Gọi I1; I2; I3; I4; I5 lần lợt là cờng độ dòng điện qua các điện trở R1; R2; R3; R4; R5

và U1; U2; U3; U4; U5 lần lợt là hiệu điện thế ở hai đầu các điện trở R1; R2; R3; R4;

1

R

R R

R

 

4

2 3

1

R

R R

R

 = n = const (Đpcm) (4)b) Dùng định lý Kennơli, biến đổi mạch tam

giác thành mạch sao, ta có mạch điện tơng

5 3 1

'

R R R

R R R

5 1 3

'

R R R

R R R

3 1 5

'

R R R

R R R

3 2 1 2 '

3 2

2

) (

R R R R R R

R R R R U

R R

R U

5 3 1 4 '

1 4

4 4

) (

) (

R R R R R R

R R R R U

R R

R U

] ) (

.[

] ) (

[

5 1 5 3 1 2 4

5 3 5 3 1 4 2 4

2

R R R R R R R

R R R R R R R U

Ta có: n.U = I3R1 + I3R2 + I5R2 (10)

Cộng (8) với (10) vế với vế ta đợc:

(n +1).U = R1.(I1 + I3) + R2.(I1 + I3) = (R1 + R2).(I1 + I2)

Với I1 + I3 = I  (n +1).U = (R1 + R2).I

Theo định nghĩa, điện trở tơng đơng đợc tính bằng:

1

2 1

1

thì điện trở tơng đơng củamạch cầu không phụ thuộc vào điện trở R5

* Trờng hợp R5 = 0 (nối dây dẫn hay ampe kế có điện trở không đáng kể, hay một

khoá điện đang đóng giữa hai điểm C, D)

- Khi đó mạch điện (R1 // R 3)nt(R2 // R4)  ta luôn có hiệu điện thế UCD = 0

+ Điện trở tơng đơng:

4 2

4 2 3 1

3

R R

R R R R

R R

1

2 1 2 1

R n

3 3

1

3 1

R I R R

R I

Do R2 // R4 nên :

1

4 4

4 4

2

4 2

R I R R

R I

* Trờng hợp R5 =  (đoạn CD để hở hay nối với vôn kế có điện trở vô cùng lớn)

- Khi đó mạch điện (R1 nt R2) // (R3 nt R4)  luôn có dòng điện qua CD là I5 = 0

+ Điện trở tơng đơng:

) (

) (

) ).(

(

4 3 2 1

4 3 2 1

R R R R

R R R R

) ( 3 4 1 2

R R n

R td

+ Do R1 nối tiếp R2 nên

4 3

3 4

3

3 2

1

1 1

.

.

.

R R

R U R n R n

R n U R R

R U U

3 4

3

3 3

.

R R

R U R R

R U U

1

4 3 2

R R

1

(*) (n là hằng số) (Với bất kỳ giá trị nàocủa R5) Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định đợc điện trởcòn lại

* Ngợc lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức trên, ta

có mạch cầu cân bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0

+ Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tơng đơng của mạch luôn đợc xác định

và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R5 Đồng thời các đại lợng hiệu điệnthế và không phụ thuộc vào điện trở R5 Lúc đó có thể coi mạch điện không có

điện trở R5 và bài toán đợc giải bình thờng theo định luật ôm

+ Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng

u ý : Học sinh lớp 9 có thể áp dụng công thức của mạch cầu cân bằng mà không

cần phải chứng minh (mặc dù SGK không trình bày).

+ Tuy nhiên khi bồi dỡng học sinh giỏi ở phần này, giáo viên cần phải chứng minhbài toán trên để học sinh thấy rõ các tính chất của mạch cầu cân bằng

+ Mạch cầu cân bằng đợc dùng để đo giá trị điện trở của vật dẫn (sẽ trình bày cụthể ở phần sau)

2 2 - Phơng pháp tính điện trở tơng đơng của mạch cầu:

- Tính điện trở tơng đơng của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rấtquan trọng, cho dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giảicác bài tập điện ta vẫn thờng phải tiến hành công việc này Với các mạch điệnthông thờng, thì đều có thể tính điện trở tơng đơng bằng một trong hai cách sau.+ Nếu biết trớc các giá trị điện trở trong mạch và phân tích đợc sơ đồ mạch

điện thành các đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song thì áp dụng công thứctính điện trở của các đoạn mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song

+ Nếu cha biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhng biết đợc Hiệu

điện thế ở 2 đầu đoạn mạch và cờng độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính

điện trở tơng đơng của mạch bằng công thức định luật Ôm

( )

I

U R R

* Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R5 để tính điện trở tơng đơngcủa mạch cầu

* Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đa đợc về dạngmạch điện có các đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải

* Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tơng đơng đợc tínhbằng các phơng pháp sau:

2.2.1 - Phơng pháp chuyển mạch:

- Thực chất là chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tơng đơng (điện trở

t-ơng đt-ơng của mạch không thay đổi) Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụngcác công thức tính điện trở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính

điện trở tơng đơng

- Muốn sử dụng phơng pháp này trớc hết ta phải nắm đợc công thức chuyểnmạch (chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngợc lại từ mạch tam giácthành mạch sao) Công thức chuyển mạch:

+ Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện đợc tạo thành từ ba điện trở

(Hình 5 mạch tam giác ()) (Hình 6 - Mạch sao (Y)

Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi

đó hai mạch tơng đơng nhau Công thức tính điện trở của mạch này theo mạch kiakhi chúng tơng đơng nhau nh sau:

* Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch sao R’1, R’2, R’3

3 2 1

3 2 1

'

R R R

R R R





3 2 1

3 1 2

'

R R R

R R R





3 2 1

2 1 3

'

R R R

R R R





(ở đây R’1, R’2, R’3 lần lợt ở vị trí đối diện với R1, R2, R3)

* Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3

1

' 3

' 1

' 3

' 2

' 2

' 1 1

'

.

.

R

R R R R R R

2

' 3

' 1

' 3

' 2

' 2

' 1 2

'

.

.

R

R R R R R R

3

' 3

' 1

' 3

' 2

' 2

' 1 3

'

.

.

R

R R R R R R

chuyển mạch tam giác R1, R3, R5 thành mạch

sao: R’1; R’3; R’5 (Hình 7) Trong đó các điện

trở R13, R15, R35 đợc xác định theo công thức:

(1); (2) và (3) từ sơ đồ mạch điện mới ta có

thể áp dụng công thức tính điện trở của đoạn

mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song để tính điện trở tơng đơng của mạch

AB, kết quả là: (Hình 7)

) ' ( ) ' (

) ' )(

' ( '

4 1 2

3

4 1 2 3 5

R R R

R

R R R R R

' 1

3

' 2 3

' 2 ' 5

4

' 1 4

' 1

3

' 2 3

' 2 ' 5

.

)

(

R R

R R R R

R R R

R R

R R R R

R R R

I là cờng độ dòng điện qua mạch chính

Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tơng đơng (R) của mạch thì trớc hết

ta phải tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ đợc kết quả (có nhiều

ph-ơng pháp tính I theo U sẽ đợc trình bày chi tiết ở mục sau)

* Ví dụ minh hoạ:

Cho mạch điện nh hình vẽ.(Hình 9) Biết R1

= R3 = R5 =3 ; R2 = 2 ; R4 = 5 

a) Tính điện trở tơng đơng của đoạn mạch

AB?

b) Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện

thế không đổi U = 3 (V) Hãy tính cờng độ

dòng điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở?

Ta có: 1 ( )

3 3 3

3 3

5 3 1

3 1 '

R R R

) ( 1

5 3 1

5 1 '

R R R

5 3 1

5 3 '

R R R

Điện trở tơng đơng của đoạn mạch AB là :

(Hình 10)

) 5 1 ( ) 2 1 (

) 5 1 )(

2 1 ( 1 ) (

) (

) )(

(

4

' 1 2

' 1

4

' 1 2

' 3 ' 5

R R R R R

+ Cách 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác '

5

' 2

1

'

1

.

R

R R R R

) ( 5 , 10

.

2

5 1 5 2 2

R

) ( 7

.

5

5 1 5 2 2

R

R

Điện trở tơng đơng của đoạn mạch AB là: (Hình 11)

) ( 3

.

) 3

(

4

' 1 4

' 1

3

' 2 3

' 2 ' 5

4

' 1 4

' 1

3

' 2

' 2 ' 5

R R R R

R R R

R R

R R R R

R R R

AB AB

I

U R R

+ Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêmcâu b) thì áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễhiểu và lôgic hơn.

+ Trong phơng pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việctính toán các đại lợng cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu Đây làmột bài toán không hề đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinhgiỏi, thi tuyển sinh Vậy có những phơng pháp nào để giải bài toán tính cờng độdòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.

2.3 Phơng pháp giải bài toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.

2.3.1 Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5

điện trở bằng 0 (hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch

điện quen thuộc (gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song) Khi đó ta áp dụng

định luật Ôm để giải bài toán này một cách đơn giản

(Hình 12b) (Hình 13b)

(Hình 14b) (Hình 15b)

Từ các sơ đồ mạch điện mới, ta có thể áp dụng định luật Ôm để tìm các đại lợng

mà bài toán yêu cầu:

* Lu ý:

Các bài tập loại này có nhiều tài liệu đã trình bày, nên trong đề tài này không đisâu vào việc phân tích các bài toán đó tuy nhiên trớc khi giảng dạy bài toán vềmạch cầu tổng quát, nên rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài tập loại này thậtthành thạo

2.3.2 Với mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta không thể

đa về dạng mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song Do đó các bàitập loại này phải có phơng pháp giải đặc biệt Sau đây là một số phơng pháp giải

Bớc 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đại lợng còn

lại theo ẩn số (I1) đã chọn (ta đợc các phơng trình với ẩn số I1)

Bớc 3: Giải hệ các phơng trình vừa lập để tìm các đại lợng của đầu bài yêu

cầu

Bớc 4: Từ các kết quả vừa tìm đợc, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở

b-ớc 1

+ Nếu tìm đợc I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn

+ Nếu tìm đợc I < 0, đảo ngợc chiều đã chọn

* Ví dụ minh hoạ:

Cho mạch điện nh hình vẽ (Hình 16)

Biết U = 45V; R1 = 20; R2 = 24; R3 =

50 ; R4 = 45; R5 = 30

Tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗiđiện trở và tính điện trở tơng đơng

Chuyển mạch sao thành mạch tam giác

(hoặc mạch tam giác thành mạch sao) Chẳng

hạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch sao R’1 , R’3 , R’5 tađợcsơ đồmạch điện tơng đơng (Hình 17) (Lúc đó các giá trị RAB, I1, I4, I, U2, U4 ,UCD vẫn

không đổi) Các bớc tiến hành giải nh sau:

Bớc 2: Tính các giá trị điện trở mới (sao R’1 , R’3 , R’5)

Bớc 3: Tính điện trở tơng đơng của mạch

Bớc 4: Tính cờng độ dòng điện mạch chính (I)

Bớc 5: Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.

Ta có:

4

' 1 2

' 3

4

' 1 2

R R R R

R R I

Bớc 6: Trở lại mạch điện ban đầu để tính các đại lợng còn lại.

*áp dụng làm ví dụ minh hoạ trên:

- Từ sơ đồ mạch điện (Hình 17) ta có

) ( 15 30 50 20

30 50

'

5 3 1

5 3

R R R

) ( 6 30 50 20

30 20

'

5 3 1

5 1

R R R

) ( 10 30 50 20

50 20

'

5 3 1

3 1

R R R

) ' ( ) ' (

) ' ).(

' ( '

4 1 2

3

4 1 2 3

R

R R R R R

U I

' 3

4

' 1 2

R R R R

R R I

2.4 Bài toán mạch cầu dây:

- Mạch cầu dây là mạch điện có dạng nh Hình 18

Trong đó hai điện trở R3 và R4 có giá trị thay đổi