Một số phương pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

Thông thường HS nắm chắc quy tắc chuyểnmạch và vận dụng làm tốt các bài tập về quy tắc chuyển mạch từ đơn giản đếnphức tạp, tuy nhiên khi gặp bài toán về mạch cầu thì HS gặp phải khó khă

Mục lục 1

A MỞ ĐẦU 2

1 Lí do chọn đề tài 2

2- Mục đích nghiên cứu 2

3- Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4- Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5- Phương pháp nghiên cứu 3

B NỘI DUNG 3

1- Định hướng chung 3

2- Phần cụ thể 4

2.1- Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và mạch cầu không cân bằng: 4

2 2- Phương pháp tính điện trở tương đương của mạch cầu 7

2.2.1- Phương pháp chuyển mạch 8

2.2.2- Phương pháp dùng công thức định luật Ôm 9

2.3- Phương pháp giải bài toán tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu 11

2.4- Bài toán mạch cầu dây 15

2.4.1- Phương pháp đo điện trở của vật dẫn bằng mạch cầu dây 15

2.4.2- Các bài toán thường gặp về mạch cầu dây 16

C KẾT QỦA NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỀ TÀI 19

D TRIỂN VỌNG CỦA ĐỀ TÀI 19

E KẾT LUẬN 20

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán về mạch cầu điện trở là một nội dung quan trọng thường gặp trongchuyên đề BDHSG phần điện học Thông thường HS nắm chắc quy tắc chuyểnmạch và vận dụng làm tốt các bài tập về quy tắc chuyển mạch từ đơn giản đếnphức tạp, tuy nhiên khi gặp bài toán về mạch cầu thì HS gặp phải khó khăn lúngtúng không thể tóm tắt được mạch điện để tìm điện trở tương đương của mạchcũng như tìm các đại lượng khác (U, I) trong mạch Đặc biệt khi trong mạch cầu có

sự tham gia của ampe kế hay vôn kế thì việc tính toán số chỉ của ampe kế và vôn

kế cũng như biện luận giá trị của các điện trở để số chỉ của ampe kế và vôn kế đạtmột giá trị xác định cho trước là một bài toán phức tạp đối với HS Vì vậy, việctổng hợp, khái quát thành phương pháp giải đối với bài toán mạch cầu điện trở làmột chìa khoá giúp HS biến bài toán mạch cầu phức tạp thành những bài toán đơngiản, có lối đi riêng một cách rõ ràng, từ đó dễ dàng vận dụng vào giải các bài tậptrong chuyên đề điện học Việc nắm vững phương pháp giải bài toán mạch cầuđiện trở sẽ giúp HS làm tốt các bài toán có liên quan đến mạch cầu, đồng thời nângcao chất lượng bồi dưỡng chuyên đề điện học nói riêng cũng như chất lượng độituyển HSG vật lí nói chung

Với những lí do trên, tôi chọn đề tài "Một số phương pháp giải bài toán mạch cầu điện trở".

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm ra phương pháp để giải bài toán tìm điện trở tương đương của mạch cầu,tìm các đại lượng U, I của mỗi điện trở trong mạch Phương pháp giải bài toán vềmạch cầu dây phục vụ công việc học tập chuyên đề điện học của HS trong độituyển HSG môn vật lí nhằm góp phần nâng cao chất lượng đội tuyển

3 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khách thể : nội dung, chương trình, phương pháp dạy học và quá trình bồi

dưỡng HSG

Phạm vi : chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu và khai thác một số bài tập cơ bản

trong nội dung chương trình bồi dưỡng HSG vật lí; các bài tập về mạch cầu cânbằng, không cân bằng, mạch cầu dây

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu ở trên, tôi đề ra các nhiệm vụ sau :+ Nghiên cứu cơ sở lí luận về Bài tập vật lí ở trường phổ thông

+ Nghiên cứu và khai thác một số bài tập cơ bản trong chuyên đề bồi dưỡngHSG chuyên đề điện học

+ Thiết kế và xây dựng các bài tập mẫu về mạch cầu trong chương trình bồidưỡng HSG môn Vật lí

+ Nghiên cứu hiệu quả của việc áp dụng phương pháp giải bài toán mạch cầuđiện trở vào quá trình bồi dưỡng HSG

5 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu nêu ở trên, tôi thực hiện các phươngpháp nghiên cứu sau :

+ Nghiên cứu lý thuyết : tổng quan các tài liệu về lí luận DH ; các văn bản chỉđạo về đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông; các sách bài tậpnâng cao, các bài tập chuyên chọn

+ Từ việc nghiên cứu lí thuyết lựa chọn các bài tập cơ bản, điển hình cho mỗidạng sau đó tổng hợp thành phương pháp giải cho mỗi dạng trong bài toán vềmạch cầu điện trở

+ Áp dụng vào quá trình dạy bồi dưỡng đội tuyển HSG

B NỘI DUNG

1 Định hướng chung:

Bài tập về mạch cầu điện trở rất đa dạng và phong phú Để giải các bài tậploại này chỉ dùng kiến thức về Định luật ôm thì chưa đủ Muốn làm tốt các bài tập

về mạch cầu cần phải nắm vững các kiến thức sau:

1.1 - Kỹ năng phân tích mạch điện

1.2 - Định luật ôm cho đoạn mạch có điện trở R: I =

R U

1.3 - Các tính chất của mạch điện có các điện trở mác nối tiếp, mắc song song.1.4 - Các công thức biến đổi hiệu điện thế ( như công thức cộng thế, phép chia thế

tỷ lệ thuận)

1.5 - Các công thức biến đổi cường độ dòng điện (như công thức cộng dòng điện,phép chia dòng tỷ lệ nghịch)

1.6 - Công thức chuyển mạch từ mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại

1.7 - Cách mắc và vai trò của các dụng cụ đo vôn kế và ampe kế trong mạch

b- Phương pháp tính điện trở của mạch cầu tổng quát

c- Phương pháp xác định các đại lượng hiệu điện thế và cường độ dòng điện trongmạch cầu

d - Bài toán về mạch cầu dây:

* Phương pháp đo điện trở bằng mạch cầu dây

* Các loại bài toán thường gặp về mạch cầu dây

(Hình 1) (Hình 2)

- Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của mạch cầu, điện trở R5 có vai tròkhác biệt gọi là đường chéo của mạch cầu (người ta không tính thêm đường chéonối giữa A - B vì nếu có thì ta coi đường chéo đó mắc song song với mạch cầu)

Mạch cầu có thể phân làm hai loại:

* Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lường điện)

* Mạch cầu không cân bằng

Trong đó mạch cầu không cân bằng được phân làm 2 loại:

- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt,hoặc thay vào đó là một ampe kế có điện trở bằng không) Khi gặp loại bài tập này

ta có thể chuyển mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải

- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giảiđược nếu ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này được giải bằng phươngpháp đặc biệt (được trình bày ở mục 2.3)

- Vậy điều kiện để mạch cầu cân bằng là gì?

Bài toán 1:

Cho mạch cầu điện trở như Hình 3

a) Chứng minh rằng, nếu qua R5 có dòng

I5 = 0 và U5 = 0 thì các điện trở nhánh lập

thành tỷ lệ thức :

4

2 3

1

R

R R

R

 = n = const (Hình 3)

b) Ngược lại nếu có tỷ lệ thức trên thì I5 = 0 và U5 = 0, ta có mạch cầu cân bằng.c) Chứng minh rằng khi có tỷ lệ thức trên thì điện trở tương đương của mạch cầukhông tuỳ thuộc vào giá trị R5 từ đó tính điện trở tương đương của mạch cầu tronghai trường hợp R5 nhỏ nhất (R5 = 0) và R5 lớn nhất (R5 = ) để I5 = 0 và U5 = 0, ta

có mạch cầu cân bằng

Lời giải

a) Gọi I1; I2; I3; I4; I5 lần lượt là cường độ dòng điện qua các điện trở R1; R2; R3; R4;

R5 và U1; U2; U3; U4; U5 lần lượt là hiệu điện thế ở hai đầu các điện trở R1; R2; R3;

1

R

R R

R

4

2 3

1

R

R R

R

 = n = const (Đpcm) (4)b) Dùng định lý Kennơli, biến đổi mạch tam

giác thành mạch sao, ta có mạch điện

tương đương như Hình 4 Trong đó các điện

trở R1; R3; R5 được thay bằng các đoạn

mạch sao gồm các điện trở R’1; R’3 và R’5

Với:

5 3 1

5 3 1

'

R R R

R R R

5 1 3

'

R R R

R R R

3 1 5

'

R R R

R R R

3 2 1 2 '

3 2

2 2

) (

) (

R R R R R R

R R R R U

R R

R U

5 3 1 4 '

1 4

4

) (

R R R R R R

R R R R U

R R

R U

.[

] ) (

[

5 1 5 3 1 2 4

5 3 5 3 1 4 2 4

2

R R R R R R R

R R R R R R R U

Từ điều kiện đầu bài ta có: R1 = n R3; R2 = n R4 thay vào biểu thức (7) ta được :

 U2 = U4  UCD = U5 = 0  I5 = 0 Nghĩa là mạch cầu cân bằng

c) Giả sử qua R5 có dòng điện I5 đi từ C đến D

Ta có: n.U = I3R1 + I3R2 + I5R2 (10)

Cộng (8) với (10) vế với vế ta được:

(n +1).U = R1.(I1 + I3) + R2.(I1 + I3) = (R1 + R2).(I1 + I2)

Với I1 + I3 = I  (n +1).U = (R1 + R2).I

Theo định nghĩa, điện trở tương đương được tính bằng:

1

2 1

1

thì điện trở tương đương củamạch cầu không phụ thuộc vào điện trở R5

một khoá điện đang đóng giữa hai điểm C, D)

- Khi đó mạch điện (R1 // R 3)nt(R2 // R4)  ta luôn có hiệu điện thế UCD = 0

+ Điện trở tương đương:

4 2

4 2 3 1

3

R R

R R R R

R R

1

2 1 2 1

R n

R

R td

Do R1 // R3 nên:

1

3 3

3 3

1

3 1

R I R R

R I

4 4

2

4 2

R I R R

R I

- Khi đó mạch điện (R1 nt R2) // (R3 nt R4)  luôn có dòng điện qua CD là I5 = 0

+ Điện trở tương đương: (( )).(( ))

4 3 2 1

4 3 2 1

R R R R

R R R R

R R n

R td

+ Do R1 nối tiếp R2 nên

4 3

3 4

3

3 2

1

1 1

.

.

.

R R

R U R

n R n

R n U R R

R U U

3 4

3

3 3

.

R R

R U R

R

R U U

1

4 3 2

R R

1

(*) (n là hằng số) (Với bất kỳ giá trị nàocủa R5) Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định được điện trởcòn lại

* Ngược lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức trên, ta

có mạch cầu cân bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0

+ Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tương đương của mạch luôn được xácđịnh và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R5 Đồng thời các đại lượng hiệuđiện thế và không phụ thuộc vào điện trở R5 Lúc đó có thể coi mạch điện không

có điện trở R5 và bài toán được giải bình thường theo định luật ôm

+ Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng

Lưu ý : Học sinh lớp 9 có thể áp dụng công thức của mạch cầu cân bằng mà

không cần phải chứng minh (mặc dù SGK không trình bày).

+ Tuy nhiên khi bồi dưỡng học sinh giỏi ở phần này, giáo viên cần phải chứngminh bài toán trên để học sinh thấy rõ các tính chất của mạch cầu cân bằng

+ Mạch cầu cân bằng được dùng để đo giá trị điện trở của vật dẫn (sẽ trình bày cụthể ở phần sau)

2 2 - Phương pháp tính điện trở tương đương của mạch cầu:

- Tính điện trở tương đương của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rấtquan trọng, cho dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giảicác bài tập điện ta vẫn thường phải tiến hành công việc này Với các mạch điệnthông thường, thì đều có thể tính điện trở tương đương bằng một trong hai cáchsau

+ Nếu biết trước các giá trị điện trở trong mạch và phân tích được sơ đồ mạchđiện thành các đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song thì áp dụng công thứctính điện trở của các đoạn mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song

+ Nếu chưa biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhưng biết được Hiệuđiện thế ở 2 đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thểtính điện trở tương đương của mạch bằng công thức định luật Ôm

( )

I

U R R

U

- Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp như mạch cầu, thì việc phân tích đoạnmạch này về dạng các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là không thể được.Điều đó cũng có nghĩa là không thể tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng

cách áp dụng các công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạnmạch mắc song song Vậy ta phải tính điện trở tương đương của mạch cầu bằngcách nào?

* Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R5 để tính điện trở tươngđương của mạch cầu

* Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đưa được về dạngmạch điện có các đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải

* Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tương đương được tínhbằng các phương pháp sau:

2.2.1 - Phương pháp chuyển mạch:

- Thực chất là chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tương đương (điệntrở tương đương của mạch không thay đổi) Mà với mạch điện mới này ta có thể ápdụng các công thức tính điện trở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song đểtính điện trở tương đương

- Muốn sử dụng phương pháp này trước hết ta phải nắm được công thứcchuyển mạch (chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại từ mạch tamgiác thành mạch sao) Công thức chuyển mạch:

+ Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện được tạo thành từ ba điện trở

(Hình 5 mạch tam giác ()) (Hình 6 - Mạch sao (Y)

Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi

đó hai mạch tương đương nhau Công thức tính điện trở của mạch này theo mạchkia khi chúng tương đương nhau như sau:

* Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch sao R’1, R’2, R’3

3

2

3 2 1

3 1 2

'

R R R

R R R





3 2 1

2 1 3

'

R R R

R R R





(ở đây R’1, R’2, R’3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1, R2, R3)

* Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3

1

' 3

' 1

' 3

' 2

' 2

' 1 1

'

.

.

R

R R R R R R

2

' 3

' 1

' 3

' 2

' 2

' 1

.

.

R

R R R R R R

3

' 3

' 1

' 3

' 2

' 2

' 1

.

.

R

R R R R R R

* Cách 1: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta

chuyển mạch tam giác R1, R3, R5 thành mạch

sao: R’1; R’3; R’5 (Hình 7) Trong đó các điện

trở R13, R15, R35 được xác định theo công thức:

(1); (2) và (3) từ sơ đồ mạch điện mới ta có

thể áp dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc

song song để tính điện trở tương đương của mạch AB, kết quả là: (Hình 7)

) ' ( ) ' (

) ' )(

' ( '

4 1 2

3

4 1 2 3 5

R R R R

R R R R R

* Cách 2: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta

chuyển mạch sao R1, R2 , R5 thành mạch tam

giác R’1; R’2; R’5 (Hình 8) Trong đó các điện

trở R’1; R’2; R’5 được xác định theo công

thức (4), (5) và (6) từ sơ đồ mạch điện mới,

áp dụng công thức tính điện trở tương đương ta cũng được kết quả là:

(Hình 8)

4

' 1 4

' 1 3

' 2 3

' 2 ' 5

4

' 1 4

' 1 3

' 2 3

' 2 ' 5

.

)

(

R R

R R R R

R R R

R R

R R R R

R R R

I là cường độ dòng điện qua mạch chính

Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tương đương (R) của mạch thì trướchết ta phải tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ được kết quả (cónhiều phương pháp tính I theo U sẽ được trình bày chi tiết ở mục sau)

3 3

5 3 1

3 1 '

R R R

) ( 1

5 3 1

5 1 '

R R R

5 3 1

5 3 '

R R R

Điện trở tương đương của đoạn mạch AB là :

(Hình 10)

) 5 1 ( ) 2 1 (

) 5 1 )(

2 1 ( 1 ) (

) (

) )(

(

4

' 1 2

' 1

4

' 1 2

' 3 '

R R R R R

+ Cách 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác '

5

' 2

1

'

1

.

R

R R R R

) ( 5 , 10

.

2

5 1 5 2 2

R

R

)

( 7

.

5

5 1 5 2 2

R

R

Điện trở tương đương của đoạn mạch AB là: (Hình 11)

) ( 3

.

) 3

(

4

' 1 4

' 1 3

' 2 3

' 2 ' 5

4

' 1 4

' 1 3

' 2

' 2 ' 5

R R R R

R R R

R R

R R R R

R R R

AB

AB AB

I

U R R

= 3

+ Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (chỉ câuhỏi a) thì áp dụng phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn

+ Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêmcâu b) thì áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễhiểu và lôgic hơn.

+ Trong phương pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đếnviệc tính toán các đại lượng cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.Đây là một bài toán không hề đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thihọc sinh giỏi, thi tuyển sinh Vậy có những phương pháp nào để giải bài toán tínhcường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu

2.3 Phương pháp giải bài toán tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.

2.3.1 Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5điện trở bằng 0 (hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạchđiện quen thuộc (gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song) Khi đó ta áp dụngđịnh luật Ôm để giải bài toán này một cách đơn giản

2.3.2 Với mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta không thểđưa về dạng mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song Do đó cácbài tập loại này phải có phương pháp giải đặc biệt Sau đây là một số phương phápgiải cụ thể:

Phương pháp 1:

Lập hệ phương trình có ẩn số là dòng điện (Chẳng hạn chọn I1 làm ẩn số)

Bước 1: Chọn chiều dòng điện trên sơ đồ

Bước 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đại lượng

còn lại theo ẩn số (I1) đã chọn (ta được các phương trình với ẩn số I1)

Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài

yêu cầu

Bước 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở

bước 1

+ Nếu tìm được I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn

+ Nếu tìm được I < 0, đảo ngược chiều đã chọn

* Ví dụ minh hoạ:

Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 16)

Biết U = 45V; R1 = 20; R2 = 24; R3 =

50 ; R4 = 45; R5 = 30

Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế

của mỗiđiện trở và tính điện trở tương đương của mạch AB?