Một số phương pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

- Tính điện trở tương đương của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các bài tập điện ta vẫn thườ

điện trở

Bài tập về mạch cầu điện trở rất đa dạng và phong phú Để giải các bài tập loại này chỉ dùng kiến thức về Định luật ôm thì chưa đủ Muốn làm tốt các bài tập về mạch cầu cần phải nắm vững các kiến thức sau:

1.1 - Kỹ năng phân tích mạch điện

1.2 - Định luật ôm cho động mạch có điện trở R: I=

1.3 - Các tính chất của mạch điện có các điện trở mác nối tiếp, mắc song song

1.4 - Các công thức biến đổi hiệu điện thế ( như công thức cộng thế, phép chia thế tỷ lệ thuận)

1.5 - Các công thức biến đổi cường độ dòng điện (như công thức cộng dòng điện, phép chia dòng ỷ lệ nghịch)

1.6 - Công thức chuyển mạch từ mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại

1.7 - Cách mắc và vai trò của các dụng cụ đo vôn kế va am pe kế trong mạch

d - Bài toán về mạch cầu dây:

* Phương pháp đo điện trở băng mạch cầu dây

* Các loại bài toán thường gặp về mạch cầu dây

2 - Phần cụ thể:

2.1 - Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng và mạch cầu không cân bằng:

- Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phòng thín nghiệm điện

- Mạch cầu được vẽ như (H - 0.a) và (H - 0.b)

1

- Các điện trở R 1 , R 2 , R 3 , R 4 gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở R 5 có vai trò khác biệtgọi là đường chéo của mạch cầu (người ta không tính thêm đường chéo nối giữa A - B vì nếu

có thì ta coi đường chéo đó mắc song song với mạch cầu)

Mạch cầu có thể phân làm hai loại:

* Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lường điện)

* Mạch cầu không cân bằng

Trong đó mạch cầu không cân bằng được phân làm 2 loại:

- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặc thay vào đó là một ampe kế có điện trở ằng không ) Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuyển mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải

- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải được nếu ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này được giải bằng phương pháp đặc biệt (được trình bày ở mục 2.3)

- Vậy điều kiện để cân bằng là gì?

Bài toán 1;

Cho mạch cầu điện trở như (H - 1.1)

1 - Chứng minh rằng, nếu qua R 5 có dòng

Lời giải 1- Gọi I 1 ; I 2 ; I 3 ; I 4 ; I 5 lần lượt là cường độ dòng điện qua các điện trở R 1 ; R 2 ; R 3 ; R 4 ; R 5

Và U 1 ; U 2 ; U 3 ; UBND; U 5 lần lượt là hiệu điện thế ở hai đầu các điện trở R 1 ; R 2 ; R 3 ; R 4 ;

R 5

Theo đầu bài:

2

(7)

Từ điều kiện đầu bài ta có:

R 1 = n R 3 ; R 2 = n R 4Thay vào biểu thức (7) ta được :

Hay : U 2 = U 4 Suy ra U CD = U 5 = 0 => I 5 = 0

3

Nghĩa là mạch cầu cân bằng

3 - Giả sử qua R 5 có dòng điện I 5 đi từ C đến D , (H: 1-3)

Ta có: I 2 = I 1 = I 5 và I 4 = I 3 + I 5

- Biểu diễn hiệu điện thế U theo hai đường ACB và ADB ta có:

U ACB = U = I 1 R 1 + I 2 R 2 = I 1 R 1 + I 1 R 2 - I 5 R 2 (8)

U ADB = U = I 3 R 3 + I 4 R 4 = I 3 R 3 + I 3 R 4 - I 5 R 4 (9) Nhân hai vế của biểu thức (9) với n ta được :

n U = I 3 R 3 n + I 3 R 4 .n + I 5 R 4 n Kết hợp điều kiện đầu bài :

R 1 = n.R 3 và R 2 = n R 4

Ta có:

n.U = I 3 R 1 + I 3 R 3 +: I 5 R 5 (10) Cộng (8) với (10) vế với vế ta được:

(n +1) U = R 1 (I 1 + I 3 ) + R 2 (I 1 + I 3 )

= (R 1 + R 2 ) (I 1 + I 2 )

Với I 1 + I 3 = I

=> (n +1) U = (R 1 + R 2 ) Theo định nghĩa, điện trở tương đương

được tính bằng:

(11)

Biểu thức (11) cho thấy khi có tỷ lệ thức :

Thì điện trở tương đương của mạch cầu không phụ thuộc vào điện trở R 5

* Trường hợp R 5 = 0 (nối dây dẫn hay ampekế có điện trở không đáng kể, hay một khoá điện đang đóng giữa hai điểm C, D)

4

- Khi đó mạch điện (R 1 // R 3 ), nối tiếp R 2 // R 4

-> ta luôn có hiệu điện thế U CD = 0

+ Điện trở tương đương:

-> luôn có dòng điện qua CD là I 5 = 0

+ Điện trở tương đương

Kết hợp điều kiện đầu bài R 1 = n R 3 và R 2 = n R 4 ta cũng có kết quả:

(Với bất kỳ giá trị nào của R 5 .)

Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định được điện trở còn lại

* Ngược lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầu cân bằng và do đó I 5 = 0 và U 5 = 0

+ Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tương đương của mạch luôn được xác định và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R 5 Đồng thời các đại lượng hiệu điện thế và không phụ thuộc vào điện trở R 5 Lúc đó có thể coi mạch điện không có điện trở R 5và bài toán đượcgiải bình thường theo định luật ôm

+ Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng

Lưu ý : Học sinh lớp 9 có thể áp dụng công thức của mạch cầu cân bằng mà không cần phải chứng minh (mặc dù SGK không trình bày)

+ Tuy nhiên khi bồi dưỡng học sinh giỏi ở phần này, giáo viên cần phải chứng minh bài toán trên để học sinh thấy rõ các tính chất của mạch cầu cân bằng

+ Mạch cầu cân bằng được dùng để đo giá trị điện trở của vật dẫn (sẽ trình bày cụ thể ở phần sau)

2 .2 - Phương pháp tính điện trở tương đương của mạch cầu:

6

- Tính điện trở tương đương của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các bài tập điện ta vẫn thường phải tiến hành công việc này

Với các mạch điện thông thường, thì đều có thể tính điện trở tương đương bằng một trong hai cách sau

+ Nếu biết trước các giá trị điện trở trong mạch và phân tích được sơ đồ mạch điện (thành các đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng công thức tính điện trở của các đoạn mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song

+ Nếu chưa biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhưng biết được Hiệu điện thế ở

2 đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tương đương của mạch bằng công thức định luật Ôm

- Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp như mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch này

về dạng các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là không thể được Điều đó cũng có nghĩa là không thể tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng cách áp dụng, các công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song

Vậy ta phải tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng cách nào?

* Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R 5để tính điện trở tương đương của mạchcầu

* Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đưa được về dạng mạch điện

có các đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải

* Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tương đương được tính bằng cácphương pháp sau:

1 - Phương pháp chuyển mạch:

Thực chấtl à chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tương đương (điện trở tương đương của mạch không thay đổi) Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các công thức tính điện trở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tương đương

- Muốn sử dụng phương pháp này trước hết ta phải nắm được công thức chuyển mạch (chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại từ mạch tam giác thành mạch sao) Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli

+ Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện được tạo thành từ ba điện trở (H21-a mạch

(H.21b - Mạch sao (Y)

7

* Biến đổi từ mạch tam giác R 1 , R 2 , R 3 thành mạch sao R’ 1 , R’ 2 , R’ 3

(1)(2)

(3)(ở đây R’ 1 , R’ 2 , R’ 3 lần lượt ở vị trí đối diện với R 1 ,R 2 , R 3 )

* Biến đổi từ mạch sao R’ 1 , R’ 2 , R’ 3 thành mạch tam giác R 1 , R 2 , R 3

(4) (5)

* Cách 1: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát

ta chuyểnmạch tam giác R 1 , R 3 , R 5

thành m ạch sao :R’ 1 ; R’ 3 ; R’ 5 (H- 22a)

Trong đó các điện trở R 13 , R 15 , R 35

8

được xác định theo công thức: (1); (2) và (3)(H: 2.2a)

từ sơ đồ mạch điện mới (H - 22a) ta có thể áp

dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song để tính điện trở tương đương của mạch AB, kết quả là:

được xác định theo công thức (4), (5) và (6) (H:2.2b)

Từ sơ đồ mạch điện mới (H - 2.2b)

áp dụng công thức tính điện trở tương đương ta cũng được

kết quả:

2 - Phương pháp dùng công thức định luật Ôm:

Từ biểu thức: suy ra (*)

Trong đó: U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch

I là cường độ dòng điện qua mạch chính

Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tương đương (R) của mạch thì trước hết

ta phải tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ được kết quả

(có nhiều phương pháp tính I theo U sẽ được trình bày chi tiết ở mục sau)

của đoạn mạch AB (H 2.3a)

b- Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U = 3 (V) Hãy tính cường độ dòng điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở

10

* Phương pháp 2:

Dùng công thức định luật Ôm

Từ công thức:

(*)

- Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB

I là cường độ dòng điện qua đoạn mạch AB

Biểu diễn I theo U

Đặt I 1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều như hình vẽ (H 2.3d)

(9) Tại nút D, ta có: I 4 = I 3 + I 5

11

R AB = 3 ( Ω ) b- Thay U = 3 V vào phương trình (11) ta được :

Thay U = 3(V) và I 1 = vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả:

I 2 = ; ; ;

( có chiều từ C đến D)

; ; ; ;

* Lưu ý:

+ Cả hai phương trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tương đương của bất

kỳ mạch cầu điện trở nào Mỗi phương trình giải đều có những ưu điểm và nhược điểm của

nó Tuỳ từng bài tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý

+ Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì áp dụng phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn

+ Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì

áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn + Trong phương pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính toán các đại lượng cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu Đây là một bài toán không

12

những phương pháp nào để giải bài toán tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu

2.3/ Phương pháo giải bài toán tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu

a- Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng

0 (hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc (gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song) Khi đó ta áp dụng định luật Ôm để giải bài toán này một cách đơn giản

b- Với mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta không thể đưa về dạng mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song.Do đó các bài tập loại này phải có phương pháp giải đặc biệt - Sau đây là một số phương pháp giải cụ thể:

1 - Tính cường độ dòng điện và hiệu điện

thế của mỗi điện trở và tính điện trở tương đương

14

Lập hệ phương trình có ẩn số là dòng điện

Bước 1: Chọn chiều dòng điện trên sơ đồ

Bước 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đạilượng cònl lại theo

ẩn số (I 1 ) đã chọn (ta được các phương trình với ẩn số I 1 )

Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài yêu cầu Bước 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở bước 1 + Nếu tìm được I>0, giữ nguyên chiều đã chọn

+ Nếu tìm được I< 0, đảo ngược chiều đã chọn

(5) (6)

(7) (8)

(9)

- Tại nút D cho biết: I 4 = I 3 + I 5

15

(10) Suy ra I 1 = 1,05 (A)

- Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta được các kết quả:

+ Điện trở tương đương

Phương pháp 2: Lập hệ phương trình có ẩn số là hiệu điện thế các bước tiến hành giống như phương pháp 1 Nhưng chọn ẩn số là Hiệu điện thế

(7) (8)

(9)

- Tại nút D cho biết: I 4 = I 3 + I 5

(10) Suy ra: U 1 = 21 (V)

Thay U 1 = 21 (V) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả giống hệt phương pháp 1

* Phương pháp 3: Chọn gốc điện thế

Bước 1: Chọn chiều dòng điện trong mạch

Bước 2: Lập phương trình về cường độ tại các nút (Nút C và D)

Bước 3: Dùng định luật ôm, biến đổi các phương trình về V C , V D theo V A , V B

Bước 4: Chọn V B = 0 -> V A = U AB

Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm V C , V D theo V A rồi suy ra U 1 ; U 2 , U 3 , U 4 , U 5

Bước 6: Tính các đại lượng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở bước 1