Giải bài tập min max thực tế trong không gian

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

DẠNG 1: TOÁN MAX-MIN TỔNG HỢP

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A2;0;0 ; M1;1;1 Mặt phẳng  P thay đổi qua AM

cắt các tia Oy Oz lần lượt tại ,; B C Khi mặt phẳng  P thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt

giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A 4 6 B 2 6 C 5 6 D 3 6

Hướng dẫn giải Chọn A

Dấu “=” xảy ra khi

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2; 3- ) và mặt phẳng ( )P : 2x+2y z- + =9 0

Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương ur=(3;4; 4- ) cắt ( )P tại B Điểm M thay

đổi trong ( )P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc o

90 Khi độ dài MB lớn nhất, đườngthẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

+ Đường thẳng d đi qua A(1;2; 3- )

Ta có: AM ³ AE.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M º E

phương trình là

22

-ïï íï

A P 48 B P  33 C P 48 D P 129.

Hướng dẫn giải Chọn B

Mặt phẳng Oxy có phương trình z  , và 0 A, B nằm cùng phía với Oxy Gọi A là điểm

đối xứng với A qua Oxy  A6;3; 2 

Nhận thấy tam giác ABC đều có trọng tâm G2;2;2

thuộc mặt phẳng Oyz

sao cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính

giá trị của biểu thức P x y z  

A P  6 B P 2 C P  0 D P 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Suy ra: G2; 2;2 

Ta có: MA2MB2MC2 MA 2MB 2MC2

.Vậy P x y z     0  2  2 0

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3;5; 1 

, B1;1;3

Tìm tọa độ điểm Mthuộc Oxy

Hướng dẫn giải Chọn B

Mặt cầu  S có tâm I0;0;3 và bán kính R 1 2 2.

Với M x y z ; ;    S

tùy ý, ta có T MA 2MB  Do đó, min0 T  0 MA2MB.Khi đó, ta có x 42y 42z 32 4x12y12z12

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên

Vậy E17; 3; 4     

Câu 9: Trong không gian cho ba điểm A1;1;1, B  1;2;1, C3;6; 5 

Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy

sao cho MA2MB2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất là

A M1;3; 1 

B M1;3;0. C M1;2;0 . D M0;0; 1 

Hướng dẫn giải Chọn B

A P 2 B P 5 C P 4 D P 0

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi I là trung điểm của AB, suy ra I1;1;1; AB 4; 2;0

.Phương trình mặt phẳng trung trực của AB:   : 2x y  3 0

Vì 2.3 1.2 3 2.5 1.3 3       50 0 nên B , C nằm về một phía so với   , suy ra A , C

nằm về hai phía so với  

Điểm M thỏa mãn MA MB khi M 

Khi đó MB MC MA MC   AC

t x y z

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm , A3;0;0 , 0;2;0 ,  B  C0;0;6 , 1;1;1 D 

Gọi  là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm , , A B C đến  là

lớn nhất Hỏi  đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

Ta lần lượt thử các trường hợp xem DM  DJ

hay không thì ta thấy M    3; 5; 1

là u  2;3;1

.Phương trình

Hướng dẫn giải Chọn D

9



Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A1;1;1

, B2;0;2, C   1; 1;0

ABACAD Khi đó

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với (1;0;0) A , (3; 2; 4)B , (0;5; 4)C

Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy sao cho ) MA MB 2MC

nhỏ nhất

A M(2;6;0) B M(1;3;0) C M(1; 3;0) D M(3;1;0)

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi I là điểm thỏa mãn IA IB   2IC 0 1 

Ta có  1  4OI OA OB     2OC4;12;12

 I1;3;3

.Khi đó MA MB 2MC 4MI 4MI

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A2; 3;7 

, B0;4; 3 

và C4; 2;5 Biếtđiểm M x y z 0; ;0 0

A P  3 B P  0 C P  6 D P  3

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng ,   P : m1x y mz    và điểm1 0

1;1;2

A Với giá trị nào của m thì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P là lớn nhất

Hướng dẫn giải Chọn B

 

2 2

2 2

A  P x: 2y3z14 0 B  P : 6x 3y2z 6 0

C  P : 6x3y2z18 0 D  P : 3x2y z 10 0

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 18: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu   S : x12y 22 z 32  và mặt phẳng9

 P :2x 2y z   Gọi 3 0 M a b c ; ;  là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến

 P

lớn nhất Khi đó:

A a b c   7 B a b c   5 C a b c   6 D a b c   8

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi  P là mp đi qua M và vuông góc với d, khi đó  P chứa .

Mp  P qua M  2; 2;1  và có vectơ pháp tuyến n P  u d 2; 2; 1 

nên có phương trình:

 P : 2x2y z  9 0

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên  P

và  Khi đó: AKAH const: nên AKmin

khi K H Đường thẳng AH đi qua A1, 2, 3  và có vectơ chỉ phương u  d 2;2; 1 

nên

AH có phương trình tham số:

1 2

2 23

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng ( ) : P x 2y2z  ,1 0

( ) :Q x 2y2z 8 0 , ( ) :R x 2y2z  Một đường thẳng  thay đổi cắt ba mặt phẳng4 0( )P , ( ) Q , ( ) R lần lượt tại các điểm A , B , C Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

96

AB AC

Ta có ba mặt phẳng ( )P , ( ) Q , ( ) R đôi một song song và ( ) P nằm giữa ( ) Q , ( ) R

.Đẳng thức xảy ra khi  vuông góc với ( )P

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A2;1; 2

Hai điểm D, E thay

đổi trên các đoạn OA , OB sao cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện

tích bằng nhau Khi DE ngắn nhất thì trung điểm của đoạn DE có tọa độ là

ODE OAB

khi m thay đổi Đường thẳng d đi qua M1; 1;1 

vuông góc với  và cách O một khoảng lớn

nhất có véc tơ chỉ phương u  1; ;b c

Tính b2  c

Hướng dẫn giải Chọn B

.Suy ra đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là u n n0, 1   4; 2;1 

d cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi d OM , khi đó d có một véc tơ chỉ phương là

Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho điểm I1;0;0

, mặt phẳng  P x:  2y 2z 1 0  và đường thẳng2

, N là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN nhỏ nhất Tọa độ điểm N là

A

3 52; ;

2 2

N  

5 72; ;

2 2

N  

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình đường thẳng d là:

122

1t 2 2 t 2 2 t 1 0

29

IM 

.Gọi H là hình chiếu của N trên d thì

Do đó, diện tích tam giác IMN nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài NH nhỏ nhất.

N là điểm thuộc đường thẳng d nên N2; ;1n n  IN1; ;1n n

Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương u    1; 2; 2

Chọn B

Gọi M x ;0;0Ox x,  

.Khi đó MA  1 x;1;1 , MB2 x;1; 1 ,  MC  x;4;6

là điểm thoả mãn đề bài

Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   S : x12 y22z 32 12 và mặt phẳng

Vậy max

1163

3



 khi x IH  2Mặt phẳng    Q // P

a a





  

Vậy mặt phẳng  Q có phương trình 2x2y z 1 0 hoặc 2x2y z 11 0

Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm

có phương trình xy z 20 Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng  P

sao cho giá trị biểuthức T MA2 2MB2 3MC2 nhỏ nhất Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

Gọi I là điểm sao cho  2  3  0

Mặt cầu  S

có tâm I1; 2; 2  

, bán kính R  3

Vì IM  17 3 nên M nằm ngoài đường tròn,

Gọi  là góc tạo bởi MB và MI Áp dụng định lí Côsin cho tam giác MIA và MIB ta có

b Dấu bằng xảy ra khi hai bộ số a a1, , ,2 a n

và b b1, , ,2 b n

tỉ lệ

Câu 31: Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo bởi các điểm 0 , z ,

1

z và

1

z z



Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi , , ,O A B C lần lượt là điểm biểu diễn số phức



Khi đó diện tích hình bình hành OACB là S OA OB . .sin

12cos

 nhỏ nhất bằng

50

37 Dấu “ ” xảy ra  z  và 1

12cos

Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng  P x y z m:    0( mlà tham số ) và mặt

cầu  S có phương trình x 22y12z216 Tìm các giá trị của m để  P cắt  S theogiao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất

A  1 4 3m 1 4 3 B m0

Hướng dẫn giải Chọn D

Mặt cầu  S có tâm I2; 1;0 

Để  P cắt  S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất thì I P

2 1  m  0 m 1

Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P : 3x 3y2z15 0 và ba điểm A1; 2;0 ,

biểu thức AABB là

A

24 18 35



12 9 35



16 60 39



8 30 39



Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi M là trung điểm của A B  thì AABB2HM , M nằm trên mặt phẳng  P

.Mặt khác ta có  ;   4

sao cho MA2MB23MC2 đạt giá

trị nhỏ nhất Tính tổng a b c 

Hướng dẫn giải Chọn D

là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P

.Khi đó: 3 2 3  3 1 3  2 1 2  12 0 22 11 0 1

2

.Suy ra:

Lấy A0;0; 2 

đối xứng với A qua mặt phẳng Oxy Khi đó với mọi X Oxy thì  AX A X

Vậy giá trị nhỏ nhất của AX BY bằng 5

Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm A2;1;1 và đường thẳng

1 2:

A 4x 7y z  2 0 B 4x 5y3z  2 0

C x y 3z  5 0 D x2y4z  7 0

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi H là hình chiếu của A trên d ; K là hình chiếu của A trên  P

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  2;1; 1 

Vì H là hình chiếu của A trên d nên AH u  . 0

2 2 1 1t  t1  3t    0 t 0Vậy H 1;0; 2   AH   1; 1; 3  

.Mặt phẳng  P

qua H và vuông góc với AH nên  P

có phương trình x y 3z  5 0

Câu 39: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1; 2;1 

Gọi E là điểm thỏa mãn EA EB 2EC0

x y z t

A M0;0;3. B M0;0;0 . C M0;0;49. D M0;0;67.

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi I là trung điểm của

5

;1;32

+ Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là 1 u  1 1;1;2

và đi qua điểm O0;0;0

.+ Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là 2 u   2  2;1;1

và đi qua điểm K  1;0;1

.+ Vì u u OK1 , 2 5

nên hai đường thẳng đã cho có vị trí chéo nhau

+ Suy ra MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của d và 1 d 2

n m

Câu 43: Trong không gian Oxyz cho điểm A2;5;3 và đường thẳng d:x211yz2 2 Gọi  P là mặt

phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến  P lớn nhất Khoảng cách từ điểm

HA

: x 4y z  3 0Khoảng cách từ M1;2; 1 

B(2;1;2)

C A(1;0;1) D(2;-2;2)

D' A'(3;0;-1)

C' B'

Phương trình đường thẳng DC đi qua D2; 2;2 

và nhận AB 1;1;1

làm véc tơ chỉ phương

là

222

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách AM MC là 17 8 3

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  1;2; 4 và N0;1;5 Gọi  P là mặt

phẳng đi qua M sao cho khoảng cách từ N đến  P là lớn nhất Khi đó, khoảng cách d từ Ođến mặt phẳng  P bằng bao nhiêu?

A

13

d 

13

d 

33

d 

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi H là hình chiếu của N lên mặt phẳng  P

Khi đó, tam giác MNH vuông tại H nên

NH NM Do đó, để khoảng cách từ N đến mặt phẳng  P lớn nhất thì M H hay  P qua

M và có vecto pháp tuyến là MN  1; 1;1

.Suy ra:   P : x1  y 2  z 4 0 x y z   1 0

tại điểm B Một điểm M thuộc mặt phẳng  P

và nằm trên mặt cầu có đường kính

AB sao cho độ dài đoạn thẳng MB lớn nhất Khi đó dộ dài MB bằng

của AB, bán kính29

14 52

tại hai điểm phân biệt A, B Diện tích lớn nhất của tam giác

OAB bằng

Hướng dẫn giải Chọn D

trên đoạn 0;1

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng 7

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;1;1

Vì 1 2.1 1 2     1 2 1  3 2 nên 0 A và B nằm về hai phía so với  P Do đó

MA MB AB  nên MA MB nhỏ nhất bằng AB khi M AB P

Phương trình đường thẳng AB:

111

x y z t

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  G1;2;3

 P với mặt cầu  S có diện tích nhỏ nhất Khi viết phương trình  P dưới dạng

 P ax by cz:     Tính T a b c3 0   

Hướng dẫn giải Chọn D

Nguyen

H A

B K

Mặt cầu có tâm I1; 2;3 bán kính là R 4.

Ta có A, B nằm trong mặt cầu Gọi K là hình chiếu của I trên AB và H là hình chiếu của I

lên thiết diện

Ta có diện tích thiết diện bằng S r2 R2 IH2

Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi

IH lớn nhất Mà IH IK suy ra  P qua ,A B và vuông góc với IK

Ta có IA IB  5 suy ra K là trung điểm của AB Vậy K0;1; 2

và KI  1;1;1

.Vậy   P : x1 y z 20  x y z    3 0

Gọi I là trung điểm của AB, ta có I 2; 1;4 

.Khi đó: MA2MB2 MA 2MB2MI IA   2 MI IB  2

x y z t

Hướng dẫn giải Chọn B

h 

B h  2 C

3 2.2

h 

D h 3 2

Hướng dẫn giải Chọn B

Dễ thấy mặt phẳng   luôn qua O0;0;0

y

z A

B O

Vì đường thẳng  đi qua điểm A0;0;1

và vuông góc với mặt phẳng Ozx thì  song song với

trục Oy và nằm trong mặt phẳng Oyz Dễ thấy OA là đường vuông góc chung của  và Ox

Xét mặt phẳng   đi qua

10;0;

Ox và mọi điểm nằm trên   có khoảng cách đến  và Ox là bằng nhau Vậy tập hợp điểm C là các điểm cách đều đường thẳng  và trục Ox là mặt phẳng  

Mặt phẳng   đi qua

10;0;

02

z

suy ra      

10

12

6136

18

M P  t

đường thẳng d , đồng thời cách điểm A một khoảng lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , ta có d A ;  AH

.Mặt khác, vì M   nên AH AM Do đó, AHmax AM  H M

Khi đó, đường thẳng  đi qua M , vuông góc với đường thẳng d và vuông góc với đường thẳng

AM nên có véctơ chỉ phương là uu AM d; 

luôn qua A, B , C và đồng thời cắt ba tia Ox , Oy , Oz tại ba điểm phân biệt M , N , P.

Gọi H là trực tâm của tam giác MNP Tìm giá trị nhỏ nhất của HI với I4; 2; 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi M m ;0;0 , N0; ;0n  , P0;0;p

Gọi E là tâm mặt cầu  S

, R là bán kính mặt cầu  S

.Gọi K là trung điểm AM , ta có : EKAM

Vậy HI nhỏ nhất khi H là hình chiếu của I lên OH

Khi đó phương trình mặt phẳng qua I và vuông góc OH là : x2y3z14 0

 H1; 2;3  IH  10

Câu 58: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A3; 1; 2 

Ta có mặt cầu  S có tâm I2;0;3 và bán kính R  3.

Gọi  là đường thẳng đi qua I và vuông góc với  P ta có

2:3

Tâm J của đường tròn giao tuyến  C

chính là giao điểm của  và  P

M E

TH1: Xét M thuộc cung nhỏ BC Lấy điểm E thuộc đoạn AM sao cho MB ME mà

BME BCA  (do góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) suy ra tam giác BME đều

Ta có ABE CBM (vì cùng cộng với góc EBC bằng o

trường hợp này có một điểm M thỏa mãn

TH2 và TH3: Xét M thuộc cung nhỏ AC AB do vai trò bình đẳng các đỉnh của tam giác đều ;

hoàn toàn tương tự mỗi trường hợp cũng có một điểm M thỏa mãn

Vậy có ba điểm M thuộc đường tròn  C

sao cho MA MB MC  đạt giá trị lớn nhất

Câu 59: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S1

IA MI

JB MJ  nên J là trung điểm của IM Suy ra M2;1;9

.Gọi na b c; ; 

với a2b2c2  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 0  P

,,

, N là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN nhỏ nhất Tọa độ điểm N là

A

1 32; ;

2 2

N 

5 72; ;

2 2

N 

3 52; ;

Phương trình đường thẳng d là:

122

1t 2 2 t 2 2 t 1 0

29