Bài Tập Vecto & Các Phép Toán Trong Không Gian(Hot)

Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC.. Quỹ tích điểm *Ph ơng pháp chung: Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích

Chơng I - Véc tơ

I Véc tơ:

1 Định nghĩa:

Véctơ là một đoạn thẳng có:

+ Một đầu đợc xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn

+ Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ

+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)

Véctơ có gốc A, ngọn B đợc kí hiệu là AB; độ dài của AB kí

hiệu là AB

Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thờng phía trên có mũi

tên nh: a ; b ; c ;

2 Véctơ không:

Véctơ không: 0 là véctơ có:

+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau

+ Độ dài bằng 0

+ Hớng bất kì

3 Hai véctơ cùng ph ơng:

Hai véctơ AB ; CD gọi là cùng phơng: kí hiệu









hàng thẳng D

C, B, A,

CD //

AB CD

//

AB

4 Hai véctơ cùng h ớng:

Hai véctơ AB ; CD gọi là cùng hớng: kí hiệu









h ớng cùng CD AB, tia hai

CD //

AB

CD

AB

5 Hai véctơ ng ợc h ớng:

Hai véctơ AB ; CD gọi là ngợcchớng: kí hiệu









h ớng

ng ợc CD AB, tia

hai

CD //

AB

CD

AB

6 Hai véctơ bằng nhau: Hai véctơ AB ; CD bằng nhau: kí hiệu













CD AB

CD AB CD

AB

7 Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB ; CD đối nhau: kí hiệu















CD AB

CD AB CD

AB

8 Góc của hai véctơ:

Góc của hai véctơ AB ; CD là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lợt

cùng hớng với hai tia AB; CD

+ Khi AB ; CD không cùng hớng thì o o

180 y

O ˆ x

0   + Khi AB ; CD cùng hớng thì x O ˆ y0 o

II Các phép toán véctơ:

1 Phép cộng véctơ:

Định nghĩa: Tổng của hai véctơ a ; b là một véctơ đợc xác định

nh sau:

+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ OA  a

+ Từ điểm A dựng véctơ AB  b

+ Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ a ; b:

b

a

OB 

Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có:

AC

BC

AB 

(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên tiếp)

Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành):

AC

AD

AB  (với ABCD là hình bình hành)

Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB ta

2

1

MI 

Tính chất:

- Giao hoán: abba

- Kết hợp: abcabc

- Cộng với không: a0a

- Cộng với véctơ đối: a(a )0

2 Phép trừ véctơ: a ba(b )

Với a bc abc

Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có:

OA OB

AB 

3 Phép nhân một véctơ với một số thực:

a Định nghĩa: k . a là một véctơ:

- Với a0 ; k0thì véctơ k . asẽ cùng phơng với

a và sẽ:

+ Cùng hớng với a nếu k>0

+ Ngợc hớng với a nếu k<0

+ Có độ dài k a k a

- 0 . ak . 00

b Tính chất:

+)1 aa (1 ) a  a +) m ( n a )( mn ) a

+) ( mn ) am an a +) m ( ab )m am b +) a ; b cùng phơng  ak b ( a0 )

4 Tỉ số của hai véctơ cùng ph ơng:





























b

a k

b a nếu 0 k

b a nếu 0 k k b a

b //

a

phân loại bài tập về Véc tơ và các phép toán

Dạng 1 Chứng minh các đẳng thức véctơ

*Ph ơng pháp:

+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm

+ Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến

đổi VT thành VP và ngợc lại; biến đổi hai vế cùng thành một

đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành một đẳng thức luôn đúng

*Bài tập minh hoạ:

Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D chứng minh rằng:

aABCDADCB b

BD AC CD

AB  

c.ABDCBDCA0 d

0 DA BC CD

AB   

Bài 2 Cho tam giác A, B, C G là trọng tâm của tam giác và

M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng CM:

a GBGBGC0 b

MG 3 MC MB

MB  

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD tâm I AOa ; BOb

a Chứng minh rằng: ABAD2 AI

b Tính AC ; BD ; AB ; BC ; CD ; DA theo a ; b

Bài 4 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng:

CD BF AE CF BE

AD    

Bài 5 Cho tam giác ABC I là tâm đờng tròn nội tiếp tam

giác CM: a . IAb . IBc . IC0

Bài 6 Cho hai tam giác ABC và A'B'C' Gọi G là trọng tâm

của G và G' Chứng minh rằng:

' GG 3 ' CC ' BB '

Bài 7 Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD.

Chứng minh rằng:ADBDACBC4 MN

Bài 8 Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng

tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) HAHBHC2 HO b) HG  2 GO

Bài 9 Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm tuỳ ý bên trong

tam giác; D, E, F lần lợt là hình chiếu của nó trên BC, CA, AB

2

3 MF ME

MD  

Bài 10 Cho tam giác ABC Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình

bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng mình: RFIQPS0

Bài 11 Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lợt là trung điểm của BC, CD.

CM: 2ABAIFADA3 DB

Bài 12 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng

với B qua G CM:

3

1 AC

3

2

AH  ; AB AC

3

1

6

5 AC 6

1

MH 

Dạng 2 Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức

véctơ

*Ph

ơng pháp chung:

+ Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng: OM  a trong đó

O và a đã biết

+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một

véctơ bằng véctơ a Khi đó ngọn của véctơ này chính là điểm M

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết:

0 MB

3

MA

Bài 2 Cho hai điểm A, B và một véc tơ v Xác định điểm M biết:

v

MB

MA 

Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một

điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA

a Xác định điểm K sao cho: 3 AB2 AC 12 AK 0

b Xác định điểm D sao cho: 3 AB4 AC 12 KD0

Bài 4 Cho tam giác ABC

a Xác định điểm I sao cho: IA2 IB0

b Xác định điểm K sao cho: KA2 KBCB

c Xác định điểm M sao cho: MAMB2 MC0

Bài 5 Cho các điểm A, B, C, D, E Xác định các điểm O, I, K sao

cho:

a OA                              OB                              OC 

b IA IB IC ID     0

c KA KB KC    KD KE  

Bài 6 Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M sao cho:

0 MC

2

MB

Bài 7 Cho tam giác ABC Xác định các điểm M, N sao cho:

a MA2 MB0 b.NA2 NBCB

Bài 8 Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả

mãn: 3 AMABACAD

Bài 9 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả mãn:

0 OD OC OB

OA   

Bài 10 Cho tam giác ABC cố định Chứng minh

MC 5 MB 4 MA

a   không phụ thuộc vị trí của điểm M

Bài 11 Cho tứ giác ABCD Chứng minh chỉ có một điểm M

thoả mãn hệ thức: 2 MA3 MB 5 MCMD0

Dạng 3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

*Ph ơng pháp chung:

Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: ABk AC ( kR ) Để chứng minh đợc

điều này ta có thể áp dụng một trong hai phơng pháp:

+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ + Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC; D và

E là hai điểm sao cho: BDDEEC

a Chứng minh: ABACADAE

b Tính véctơ: ASABADACAE theo AI

c Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng

Bài 2 Cho tam giác ABC Đặt ABu ; ACv

a Gọi P là điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo

v

;

b Qọi Q và R là hai điểm định bởi:

AB 3

1 AR

; AC 2

1

v

;

c Suy ra P, Q, R thẳng hàng

Bài 3 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J sao

cho: 2 IA3 IC0, 2 JA5 JB3 JC0

a CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB

và BC

b CMR: J là trung điểm của BI

Bài 4 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy các điểm I, J

thoả mãn: IA  2 IB; 3 JA2 JC0 Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 5 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P thoả mãn:

PC 2 PB

; 0 AC 2 AN 3

; 0 MB

Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 6 Cho hình bình hành ABCD Lấy các điểm I, J thoả

mãn:3 JA2 JC 2 JD0 ; JA 2 JB2 JC0

Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC

và BD

Bài 7 Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm

đ-ờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC CMR: O, G, H thẳng hàng

Bài 8 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P sao cho:

0 MC 3

MB  , AN  3 NC, PAPB0 Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

Dạng 4 Chứng minh hai điểm trùng nhau

*Ph ơng pháp chung:

Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hớng:

Cách 1: Chứng minh MM  ' 0 Cách 2: Chứng minh OM  OM ' với O là điểm tuỳ ý

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Lấy các điểm

AB C

; AC B

;

BC

A 1 1 1 sao cho: AA 1 BB 1CC 1

Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm

Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm

của AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ

có cùng trọng tâm

Dạng 5 Quỹ tích điểm

*Ph

ơng pháp chung:

Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ

bản sau:

- Nếu MA  MB với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung trực

của đoạn AB

- Nếu MC  k AB với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng tròn

tâm C, bán kính bằng k AB

- Nếu MA  k BC thì

+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC nếu

R

k 

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC

và cùng hớng BC nếu 

R k

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC

và ngợc hớng BC nếu 

R k

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả

mãn:

2

3 MC MB

b MA3 MB 2 MC 2 MA MB MC Bài 2 Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.

a CMR: véctơ v3 MA 5 MB2 MC không đổi

b Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

MC MB MC

2 MB 2 MA

CHƯƠNG II , trục toạ độ và hệ trục toạ độ

Phần 1 Trục toạ độ

Bài 1 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5.

a/ Tìm tọa độ của 

AB.

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 

MA + 5MB = 0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = 1

Bài 2 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b,

c

a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 

MA + MB  MC = 0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 

NA  3NB = NC

Bài 3 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1.

a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA  2MB = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB

Bài 4 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)

a/ CMR :

AC

1

+

AD

1

=

AB 2

b/ Gọi I là trung điểm AB CMR: 2

IA ID

c/ Gọi J là trung điểm CD CMR: AC AD  AB AJ

phần 2 Hệ toạ độ đề các vuông góc

I Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:

Bài 1 Biểu diễn véc tơ ux iy j biết a) u ( 2 ; 5 ) b)

)

0

;

4

(

u 

Bài 2 Xác định toạ độ của véc tơ u biết: a) u 5 i 2 j

b) u  3 i c)u 7 j

Bài 3 Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ c biết

a) ca3 b; a ( 2 ; 1 ); b ( 3 ; 4 ) b)

b

5

a

c  ; a  ( 2 ; 3 ); b ( 3 ; 6 )

Bài 4 Cho ba điểm A(-1;1); B(1;3)

a) Xác định toạ độ của các véc tơ: AB ; BA b) Tìm toạ độ

điểm M sao cho BM ( 3 ; 0 )

c) Tìm toạ độ điểm N sao cho NA ( 1 ; 1 )

II Biểu diễn Véc tơ:

Bài 1 Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a ; b biết:

a) a ( 2 ; 1 ); b ( 3 ; 4 ); c ( 4 ; 7 ) b)

) 3

; 1 ( c );

3

;

2

(

b

);

1

;

1

(

Bài 2 Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) Hãy biểu

diễn véc tơ AD theo các véc tơ AB;AC

Bài 3 Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a ; b biết:

a) a ( 4 ; 3 ); b ( 2 ; 1 ); c ( 0 ; 5 ) b)

) 0

; 2 ( c );

3

;

5

(

b

);

2

;

4

(

Bài 4 Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) Hãy biểu

diễn véc tơ AD theo các véc tơ AB;AC

III Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ,

độ dài:

Bài 1 Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)

a Xác định toạ độ điểm E sao cho AE  2 BC

b Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5

c Tìm tập hợp điểm M biết:

MC MB MC

3 )

MB

MA

(

Bài 2 Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định

toạ độ:

a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1

c) Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác

d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Bài 3 Cho M(1+2t; 1+3t) Hãy tìm điểm M sao cho 2

M

2

M y

x  nhỏ nhất

Bài 4 Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;

2

3

)

a CM: ABC vuông

b Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

c Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:

MC MA MC

3 MB 2 MA

Bài 5 Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ

của:

a Trọng tâm G của tam giác

b Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC

c Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

d Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

e Điểm M biết: CM2 AB 3 AC

f Điểm N biết: AN2 BN 4 CN0

Bài 6 Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) Tìm toạ độ

của:

a Trọng tâm G b Tâm đờng tròn ngoại tiếp

c Điểm M biết 2 AM 3 CMAB

Bài 7 Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ

điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Bài 8 Cho điểm A(3;1)

a Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và

điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất

b Viết phơng trình hai đờng chéo của hình vuông OABC

Bài 9 Cho M(1-2t; 1-3t) Hãy tìm điểm M sao cho 2

M

2

M y

x  nhỏ nhất

IV Véc tơ cùng ph ơng - Ba điểm thẳng hàng:

Bài 1 Cho A(0;4); B(3;2).

a Chứng minh A , B , C biết C(-6-3t;8+2t)

b A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0) Tính chu vi ABD

Bài 2 Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ:

a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng

b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng

c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và

5 2

Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)

a Tính diện tích tam giác ABC

b Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất

Bài 4 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ

P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;1) và B(2;-4) b) A(1;2) và B(3;4)

Bài 5 Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho

A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:

a Diện tích OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất

OB

1 OA

1

 nhỏ nhất

Bài 6 Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ:

a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng

b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng

c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và

5 3

Bài 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)

a Tính diện tích tam giác ABC

b Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất

Bài 8 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ

P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;2) và B(3;4) b) A(1;1) và B(2;-5)

Bài 9 Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách từ P

tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-3)

Bài 10 Tìm điểm P trên đờng thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng

khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)

Bài 11 Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho

A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:

a Diện tích OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất

OB

1

OA

1

 nhỏ nhất

Bài tập tự luyện:

Bài 1 Viết tọa độ của các vectơ sau: a =i  3j , b =

2 1

i



+j ; c = i +

2

3

j



; d = 3i ; e = 4j

Bài 2 Viết dới dạng u = xi + yj , biết rằng:

u



= (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)

Bài 3 Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ và

độ dài của các vectơ:

a/u = 3a  2b b/v = 2a + b c/w = 4a 

2 1

b



Bài 4 Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ 

AB, AC , BC

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho: 

CM = 2AB  3AC

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho: 

AN + 2BN  4CN = 0

Bài 5 Trong mp Oxy cho ABC có A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).

a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

Bài 6 Trong mp Oxy cho ABC có A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).

a/ CMR : ABC vuông Tính diện tích ABC.b/ Gọi D (3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 7 Trong mp Oxy cho ABC có A (3; 6), B(9;10), C(5; 4).

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng tròn đó

Bài 8 Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục

hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M

Bài 9 Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C b/ Tính diện tích ABC

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 10 Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ CMR : ABC vuông cân d/ Tính diện tích ABC

I Lí thuyết:

1 Định nghĩa: a ba b cosa , b

o o

180 b , a 90 0 b , a cos

0

b

.

a

b a 90 b , a 0 b , a cos

0

b

.

a

90 b , a 0 0 b , a cos

0

b

.

a









































2 Tính chất:

a Giao hoán b Tính chất phân phối c

a

.

b

b

.

a  a bca b c  m a bm a b

3 Biểu thức toạ độ của tích vô h ớng:

Nếu a ( x 1 ; y 1 ); b ( x 2 ; y 2 ) a . bx 1 y 1x 2 y 2

4 Công thức hình chiếu:

a Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì:

CD AB

CD

.

b Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:

CD ' B ' A

CD

.

II Bài tập áp dụng:

) Tính tích vô hTính Tính tích vô htích Tính tích vô hvô Tính tích vô hhớng

Bài 1 Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.

a Tính các tích vô hớng AB CD ; AB BC b Gọi I là

điểm thoả mãn IA 2 IB4 IC0 Chứng minh rằng:

BCIG là hình bình hành từ đó tính

AB AC; IB IC ; IA IB

Bài 2 Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.

a Tính AB . AC từ đó suy ra:

AB CA CA BC

AC

.

b Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ

dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi

AG và BC

Bài 3 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý

trên đờng tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC

Tính:

a MA . MBMC . MD b.NA . NB c

BA

.

NO

Bài 4 Cho ba véc tơ a ; b ; c thoả mãn điều kiện

c c

;

b

b

;

a

a    và ab c0 Tính:

a c

b

b

a

A  

Bài 5 Cho tam giác đều ABC cạnh a, đờng cao AH

a Tính các tích vô hớng AB . HC

b AB AC  2 ABBC

Bài 6 Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10

a Tính AB . AB b Trên AB lấy M sao cho AM=2; trên

cạnh AC lấy N sao ch0o AN=4 Tính AM . AN

Bài 7 Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn

BC=3; đáy nhỏ AD=2

Bài 8 Cho ba véc tơ a ; b ; c thoả mãn điều kiện

1 c

; 2 b

; 3

a    và ab c0 Tính:

a c b b a

A  

) Tính tích vô hChứng Tính tích vô hminh Tính tích vô hđẳng Tính tích vô hthức Tính tích vô hvề Tính tích vô htích Tính tích vô hvô Tính tích vô hhớng Tính tích vô h

hay Tính tích vô hvề Tính tích vô hđộ Tính tích vô hdài Bài 9 Cho hai điểm A và B, O là trung điểm của AB và M là một

điểm tuỳ ý Chứng minh rằng: MA MBOM 2  OA 2 Bài 10 Cho MM1 là đờng kính của đờng tròn tâm O, bán kính R

A là điểm cố định và OA=d Giả sử AM cắt (O) tại N

a Chứng minh rằng tích vô hớng AM . AM 1 có giá trị không phụ thuộc M

b CMR: AM . AN có giá trị không phụ thuộc M

Bài 11 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB có AC, BD là hai dây

thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E

Chứng minh rằng: AE ACBE BDAB 2 Bài 12 Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC.

Chứng minh rằng:

4

1 MA

2 2

2

2

1 AH MA

Bài 13 Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C Chứng minh rằng:

0 AB MC CA MB BC

) Tính tích vô hChứng Tính tích vô hminh Tính tích vô htính Tính tích vô hvuông Tính tích vô hgóc Tính tích vô h- Tính tích vô hthiết Tính tích vô hlập Tính tích vô h

điều Tính tích vô hkiện Tính tích vô hvuông Tính tích vô hgóc Bài 14 Chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy Bài 15 Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngoài các tam

giác vuông cân đỉnh A là ABD, ACE Gọi M là trung điểm BC Chứng minh rằng: AMDE

Bài 16 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: ABCD

2 2 2

2 BD AD BC



Bài 17 Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đờng

cao AB=h Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:

a BDCI b ACDI c.BMCN với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD

Bài 18 Cho tứ giác ABCD biết

0 DA DC CD CB BC BA AD

ABCD là hình gì? Vì sao?

)Điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hiểm Tính tích vô hthoả Tính tích vô hmãn Tính tích vô hđẳng Tính tích vô hthức Tính tích vô hvề Tính tích vô htích Tính tích vô hvô Tính tích vô

hh-ớng Tính tích vô hhay Tính tích vô hđộ Tính tích vô hdài Bài 19 Cho tam giác đều ABC cạnh a Tìm tập hợp những điểm

M sao cho:

4

a MA MC MC MB MB MA

2







Bài 20 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a MAMB  MAMC0

b 2 MB 2 MB MCa 2 với BC=a

Bài 21 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M sao cho:

a AM . ABAC . AB