Bai tap quan he vuong goc trong khong gian & loi giai _02

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2 .1 Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.. c Dựng đường vuông góc chun

Bài 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2

1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông

2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD)

3) Tính góc giữa SC và mp (SAB)

4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)

Giải:

1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD

⇒ Các tam giác SAB, SAD vuông tại A

• BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B

• CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D 2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC) 3) • BC ⊥ (SAB) ⇒ (· SC SAB,( )) =· BSC

• ∆SAB vuông tại A ⇒ SB2 =SA2+AB2 =3a2 ⇒ SB = a 3

• ∆SBC vuông tại B ⇒ tan· BSC BC SB 1

3

= = ⇒ ·BSC=600

4) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

• Ta có: SBD( ) (∩ ABCD)=BD, SO ⊥ BD, AO ⊥ BD ⇒ · ((SBD ABCD),( )) =· SOA

• ∆SAO vuông tại A ⇒ · SOA SA

AO

tan = =2

Bài 2) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm

BC 1) Chứng minh rằng: (OAI) ⊥ (ABC)

2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI)

3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI)

4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB

Giải :

1) • OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (1)

• ∆OBC cân tại O, I là trung điểm của BC ⇒ OI ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI) 2) Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI)

3) • BC ⊥ (OAI) ⇒ (· AB AOI,( )) =· BAI

• BI BC a 2

= =

• ∆ABC đều ⇒ AI BC 3 a 2 3 a 6

• ∆ABI vuông tại I ⇒ · BAI AI · BAI

AB

0 3

2

= = ⇒ = ⇒ (· AB AOI,( )) =300 4) Gọi K là trung điểm của OC ⇒ IK // OB ⇒ ·(AI OB, ) =(· AI IK, ) =· AIK

• ∆AOK vuông tại O ⇒ AK2 OA2 OK2 5a2

4

• AI2 6a2

4

= • IK2 a2

4

= • ∆AIK vuông tại K ⇒ cos· AIK IK AI 1

6

= =

S

A

D O

A

B

C O

I

K

Bài 3) Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông tại A, góc µB = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC)

1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC)

2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC

3) Chứng minh: ∆BHK vuông

4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK)

Giải:

1) ( ) ( ) ( ) ( )



⊥





2) CA ⊥ AB, CA ⊥ SB ⇒ CA ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ BH Mặt khác: BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC

Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK) 3) Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆BHK vuông tại H

4) Vì SC ⊥ (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)

⇒ (· SA BHK,( ))=(· SA KH, )=· SHK

Trong ∆ABC, có: AC AB= tanµ B a= 3; BC2= AB2+AC2 =a2+3a2 =4a2

Trong ∆SBC, có: SC2 =SB2+BC2 =a2+4a2 =5a2⇒SC a= 5; SK SB a

SC

5

Trong ∆SAB, có: SH SB a

SA

2

Trong ∆BHK, có: HK2 SH2 SK2 3a2

10

= − = ⇒ HK a 30

10

=

⇒ ·(SA BHK ) · BHK HK

SH

60 15 cos ,( ) cos

10 5

Bài 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.

1) Chứng minh SAC( ) (⊥ SBD); SCD( ) (⊥ SAD)

2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC)

3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))

Giải:

1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)

• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD) 2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)

SA ⊥ (ABCD) ⇒ · (SD ABCD,( )) =· SDA

· SDA SA a

2 tan = = =2

• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)

AB ⊥ (ABCD) ⇒ ·(SB SAD,( )) =· BSA

· BSA AB a

1 tan

2 2

= = =

• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC)

BO ⊥(SAC) ⇒ (· SB SAC,( )) =· BSO

S

B

A

C H

K

0

60

S

C D

O H

2

= , SO 3 2 a

2

= ⇒ · BSO OB

OS

1 tan

3

= = 3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH

a AH

AH2 SA2 AD2 a2 a2

5 4

5

=

• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)

BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO = a 2

2

Bài 5) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·BAD=600 và SA = SB = SD = a.

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Giải:

a) Vẽ SH ⊥ (ABCD) Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mặt khác ∆ABD có AB = AD và ·BAD=600 nên ∆ABD đều

Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên H∈AO⇒ ∈H AC

Như vậy, SH SAC SAC ABCD

SH ((ABCD) ) ( ) ( )

 ⊥

 b) Ta có ∆ABD đều cạnh a nên có AO a 3 AC a 3

2

Tam giác SAC có SA = a, AC = a 3

Trong ∆ABC, ta có: AH 2AO 1AC a 3 AH2 a2

Tam giác SHA vuông tại H có SH2 SA2 AH2 a2 a2 2a2

HC 2AC 2 3 HC2 4 2 SC2 HC2 SH2 4 2 2 2 2a2

SA2+SC2 =a2+2a2 =3a2=AC2 ⇒ tam giác SCA vuông tại S.

c) SH (ABCD) d S ABCD( ,( )) SH a 6

3

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao

của ∆SAB Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a

a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC)

b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC)

c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC)

Giải:

a) • AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB

• SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC) b) SI ⊥ (ABC) ⇒ (· SB ABC,( )) =· SBI

AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒ · SBI =450 c) SB ⊥ (AMC) ⇒ · (SC AMC,( )) =· SCM

Tính được SB = SC = a 2 = BC ⇒ ∆SBC đều ⇒ M là trung điểm của

SB ⇒ ·SCM =300

S

A

D O

H

S

M

Câu 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Gọi O là tâm của đáy

ABCD

a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC)

c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC

Giải:

a) • Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên SO AC BD⊥⊥(ABCD)



⇒ SO BD AC BD⊥⊥ ⇒BD⊥(SAC)

• SO (ABCD SO⊥⊂(SBD) )

 ⇒ (SBD) ⊥ (ABCD) b) • Tính d S ABCD( ,( ))

SO ⊥ (ABCD) ⇒ d S ABCD( ,( ))=SO Xét tam giác SOB có OB a 2,SB 2a SO2 SA2 OB2 7a2 SO a 14

• Tính d O SBC( ,( ))

Lấy M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOM) ⇒ (SBC) ⊥ (SOM)

Trong ∆SOM, vẽ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d O SBC( ,( ))=OH

Tính OH:

∆SOM có

a

OM

2

14

2

2



=



+

 =



c) Tính d BD SC( , )

Trong ∆SOC, vẽ OK ⊥ SC Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OK ⇒ OK là đường vuông góc chung của

BD và SC ⇒ d BD SC( , )=OK

Tính OK:

∆SOC có

a

OC

2

14

2

2 2



=



+

 =



Câu 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD=600, đường cao SO =

a

a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC Chứng minh rằng: BC⊥ (SOK)

b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD)

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB

Giải:

a) • AB = AD = a, ·BAD=600 ⇒∆BAD đều ⇒BD a=

• BC ⊥ OK, BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOK)

b) Tính góc của SK và mp(ABCD)

• SO ⊥ (ABCD) ⇒· (SK ABCD,( ))=· SKO

•∆BOC có OB a,OC a 3

a OK

OK2 OB2 OC2

4

= + ⇒ = ⇒ · SKO SO

OK

4 3 tan

3

= = c) Tính khoảng cách giữa AD và SB

S

C M

D

O

H K

S

C D

F H

0

60

• AD // BC ⇒ AD // (SBC) ⇒ d AD SB( , )=d A SBC( ,( ))

• Vẽ OF ⊥ SK ⇒ OF ⊥ (SBC)

• Vẽ AH // OF, H ∈ CF ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d AD SB( , )=d A SBC( ,( ))=AH

• ∆CAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF

• ∆SOK có OK = a 3

4 , OS = a ⇒

a OF

OF2 OS2 OK2

19

19

Câu 9): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥(ABC), SA= a M là một điểm trên cạnh AB, · ACM =ϕ, hạ SH ⊥CM

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB

b) Hạ AK ⊥ SH Tính SK và AH theo a và ϕ.

Giải:

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB

• SA ⊥ (ABC) ⇒ AH là hình chiều của SH trên (ABC)

Mà CH ⊥ SH nên CH ⊥ AH

• AC cố định, ·AHC=900 ⇒ H nằm trên đường tròn đường kính

AC nằm trong mp(ABC)

Mặt khác: + Khi M → A thì H ≡ A

+ Khi M → B thì H ≡ E (E là trung điểm của BC)

Vậy quĩ tích các điểm H là cung ¼ AHE của đường tròn đường kính

AC nằm trong mp(ABC)

b) Tính SK và AH theo a vàϕ

• ∆AHC vuông tại H nên AH = AC.sin· ACM a= sinϕ

• SH2 =SA2+AH2 =a2+a2sin2ϕ⇒SH a= 1 sin+ 2ϕ

• SAH∆ vuông tại A có SA SK SH SK SA SK a

SH

2 2

2

1 sin ϕ

+

Câu 10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD =

5

2

a

Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD

a) Chứng minh rằng: SO⊥ (ABCD)

b) Chứng minh rằng: (SIJ) ⊥ (ABCD) Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC)

c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

Giải:

a) Vì SA = SC nên SO ⊥ AC, SB = SD nên SO ⊥ BD

⇒ SO ⊥ (ABCD)

b) • I, J, O thẳng hàng ⇒ SO ⊂ (ABCD)

SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SIJ) ⊥ (ABCD)

• BC ⊥ IJ, BC ⊥ SI ⇒ BC ⊥ (SIJ) ⇒ (SBC) ⊥ (SIJ)

⇒ · ((SBC SIJ),( ))=900 c) Vẽ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d O SBC( ,( ))=OH

∆SOB có SB a 5,OB a 2

= = ⇒ SO2 SB2 OB2 3a2

4

∆SOI có

OH2 SO2 OI2

1 = 1 + 1

⇒ OH2 3a2

16

= ⇒ OH a 3

4

=

Bài 11: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và

khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH 1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

S

A

B

C

K

ϕ

S

C D

J

H

a

a 5

2

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

Giải:

1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a

∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI ⊥ (ABC)

• AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm

AH nên DI ⊥ AH

• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI

⇒ DI ⊥ (ABC) 3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD (1) Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra d AD BC( , )=HK

• Xét ∆DIA vuông tại I ta có:

 

= − = − ÷÷ = =

 

• Xét ∆DAH ta có: S = AH DI1

2 = AD HK

1 .

2 ⇒

d AD BC HK

3

( , )

4

Câu 12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA =

a 3 Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD) Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là

hình gì? Tính diện tích thiết diện đó

Giải:

• Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH ⇒ AH ⊥ SD (1)

• SA ⊥ (ABCD) ⇒ CD ⊥ SA CD⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH (2)

• Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ (SCD)

⇒ (ABH) ⊥ (SCD) ⇒ (P) (ABH)

• Vì AB//CD ⇒ AB // (SCD), (P) ⊃ AB nên (P) ∩ (SCD) = HI

⇒ HI // CD ⇒ thiết diện là hình thang AHIB

Hơn nữa AB ⊥ (SAD) ⇒AB HA⊥ Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB

• SD= SA2+AD2 = 3a2+a2 =2a

• ∆SAD có SA SH SD SH SA a SH a

2 2

a

3

2

a AH

AH2 SA2 AD2 a2 a2 a2

2

• Từ (3) và (4) ta có: S AHIB (AB HI AH) 1 a 3a a 3 7a2 3

+

Bài 13: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, ·AOB AOC=· = 60 , 0 BOC· = 90 0

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông

I

H

C

D

K

I

O A

B

S

H

b) Chứng minh OA vuông góc BC.

c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC

Giải:

a) CMR: ∆ABC vuông

• OA = OB = OC = a, ·AOB AOC=· =600 nên ∆AOB và ∆AOC

đều cạnh a (1)

• Có ·BOC=900 ⇒ ∆BOC vuông tại O và BC a 2= (2)

• ∆ABC có AB2+AC2 =a2+a2 =2a2 =(a 2)2 =BC2

⇒ tam giác ABC vuông tại A b) CM: OA vuông góc BC

• J là trung điểm BC, ∆ABC vuông cân tại A nên AJ ⊥BC

∆OBC vuông cân tại O nên OJ⊥BC ⇒BC OAJ⊥ ⇒OA BC⊥

c) Từ câu b) ta có IJ⊥BC ABC OBC c c c( ) AJ OJ

Từ (3) ta có tam giác JOA cân tại J, IA = IO (gt) nên IJ ⊥ OA (4)

Từ (3) và (4) ta có IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B AB = BC =

a, · ADC=45 ,0 SA a= 2

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)

c) Tính khoảng cách giữa AD và SC

Giải:

a) CM các mặt bên là các tam giác vuông

( ) SA AB

SA ABCD SA AD⊥

⇒ ∆SAB và ∆SAD vuông tại A

•BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SB

⇒ ∆SBC vuông tại B

• SB SA AB a a a

2 2 2 2 2 2 3 2

• hạ CE ⊥ AD ⇒ ∆CDE vuông cân tại E nên

EC = ED = AB = a ⇒CD a 2=

SD2 SA2 AD2 a2

2 6

•SC2+CD2 =4a2+2a2=6a2 =SD2 nên tam giác SDC vuông tại C

b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)

•(SBC) (∩ ABCD)=BC SB BC AB BC, ⊥ , ⊥ ⇒· ( SBC ABCD ) · SBA · SBA SA

AB

( ),( ) = ⇒tan = = 2 c) Tính khoảng cách giữa AD và SC

• Ta có SC⊂(SBC BC AD), P ⇒d AD SC( , )=d A SBC( ,( ))

2

3

• Vậy d AD SC( , ) a 6

3

=

Câu 15: Cho hình hộp ABCD.EFGH có uuur r uuur r uuur rAB a AD b AE c= , = , = Gọi I là trung điểm của đoạn BG Hãy

biểu thị vectơ AIuur qua ba vectơ a b cr r r, ,

O

I

B

C J

A

( )

AI 1(AB AG) 1 AB AB AD AE

uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( a b c) a b c

= r r r+ + = +r r+ r

Câu 16: Cho tứ diện đều cạnh a Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện

Tứ diện ABCD đều, nên ta chỉ tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện AB và CD

·

a

d AB CD

0

2

2

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA a= 6

1) Chứng minh : BD SC SBD⊥ , ( ) ( ⊥ SAC).

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

3) Tính góc giữa SC và (ABCD)

Giải:

a) Chứng minh : BD⊥SC SBD,( ) (⊥ SAC).

• ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC, BD⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SC

• (SBD) chứa BD ⊥ (SAC) nên (SBD) ⊥ (SAC)

b) Tính d(A,(SBD))

• Trong ∆SAO hạ AH ⊥ SO, AH ⊥ BD (BD⊥ (SAC)) nên AH ⊥ (SBD)

• AO a 2

2

= , SA = a 6( )gt và ∆SAO vuông tại A

nên

AH2 SA2 AO2 a2 a2 a2

c) Tính góc giữa SC và (ABCD)

• Dế thấy do SA⊥ (ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC ⇒ góc giữa SC và (ABCD) là

·SCA Vậy ta có:

6

2

O

S

H

Câu 18:

Đặt AB e AD e AE euuur ur uuur uur uuur uur= 1, = 2, = 3

AB EG e EF EH 1 e e e1 1 2 e e e e1 1 1 2 a2

⇒uuur uuur ur uuur uuur= + =ur ur uur+ =ur ur ur uur+ =

Cách khác:

AB EG EF EG EF EG = = cos EF EG, =a a 2.cos450 =a2

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Xác định đường vuông góc chung và

tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′C

Giải:

Gọi M là trung điểm của B′C, G là trọng tâm của ∆AB′C

Vì D′.AB′C là hình chóp đều, có các cạnh bên có độ dài

a 2 , nên BD’ là đường cao của chóp này ⇒ BD′ ⊥ (AB′C)

⇒ BD′ ⊥ GM

Mặt khác ∆AB′C đều nên GM ⊥ B′C

⇒ GM là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C

•Tính độ dài GM = 1AC 3 1a 2 3 a 6

3 2 =3 2 = 6

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với

(ABCD) Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK)

c) Tính góc giữa SC và (SAB)

d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD)

Giải:

a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

• SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt)

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.

• SA ⊥ (ABCD) ⇒SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt)

⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D

• SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD

⇒ các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A

b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK)

• SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC)

• ∆SAB và ∆SAD vuông cân tại A, AK ⊥ SA và AI ⊥ SB nên I và K là các trung điểm của AB và AD ⇒IK//BD

mà BD ⊥(SAC) nên IK ⊥ (SAC) ⇒(AIK) ⊥ (SAC) c) Tính góc giữa SC và (SAB)

• CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu của SC trên (SAB) là

SB ⇒(SC SAB,( )) (= SC SB, )=· CSB

• Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a ⇒SB a= 2⇒tan· CSB= BC = 2

A

B

C

D

E

H

C D

C’

D’

O

G

M

O

I K

A

B

S

H

d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD do BD ⊥ (SAC) ⇒AH ⊥ (SBD)

AH2 SA2 AO2 a2 a2 a2

3

( )

3