BÀI GIẢNG (phần 2 laplace)

BÀI GIẢNG ÔN THI LÝ THUYẾT MẠCH Chương IV: Phân tích mạch bằng phương pháp toán tử Laplace Đặt vấn đề Trong thực tế tác động lên mạch điện hoặc sự thay đổi cấu trúc của mạch thường bắt đầu từ một thời điểm t0 nào đó (thường qui ước t0  0), khi đó mạch điện trải qua hai chế độ:  Chế độ quá độ  Chế độ xác lập Ở chế độ quá độ, phản ứng trong mạch có qui luật KHÁC với tác động và phụ thuộc vào cấu trúc cũng như tính chất các phần tử mạch. Quá trình quá độ liên quan tới việc tích lũy hoặc giải phóng năng lượng của các điện cảm và điện dung trong mạch. Sau khi kết thúc chế độ quá độ, mạch chuyển sang chế độ xác lập, khi đó phản ứng trong mạch có qui luật GIỐNG với qui luật của tác động. Hoạt động cấp nguồn cho mạch hoặc thay đổi cấu trúc của mạch được mô hình hóa bằng hoạt động ĐÓNG hoặc MỞ một khóa

BÀI GIẢNG ÔN THI LÝ THUYẾT MẠCH Chương IV: Phân tích mạch bằng phương pháp toán tử Laplace

Đặt vấn đề

Trong thực tế tác động lên mạch điện hoặc sự thay đổi cấu trúc của mạch thường bắt đầu từ một thời điểm t0 nào đó (thường qui ước t0 0), khi đó mạch điện trải qua hai chế độ:

 Chế độ quá độ

 Chế độ xác lập

Ở chế độ quá độ, phản ứng trong mạch có qui luật KHÁC với tác động và phụ thuộc vào cấu trúc cũng như tính chất các phần tử mạch Quá trình quá độ liên quan tới việc tích lũy hoặc giải phóng năng lượng của các điện cảm và điện dung trong mạch Sau khi kết thúc chế độ quá độ, mạch chuyển sang chế độ xác lập, khi đó phản ứng trong mạch có qui luật GIỐNG với qui luật của tác động

Hoạt động cấp nguồn cho mạch hoặc thay đổi cấu trúc của mạch được mô hình hóa bằng hoạt động ĐÓNG hoặc MỞ một khóa K Ví dụ:

L

C

R

E

+

K

( )

u t

Biết khóa K đóng tại thời điểm t=0, tìm điện áp u(t)?

Phương pháp toán tử Laplace là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết bài toán loại này

Liên quan tới hoạt động ĐÓNG hoặc MỞ khóa K, có hai định luật gọi là các định luật “đóng-mở”:

Định luật 1: Dòng điện qua điện cảm không thể đột biến mà phải biến thiên liên tục từ giá trị vốn có của nó ngay trước thời điểm đóng mở

Giả sử thời điểm “đóng-mở” t=0, khi đó định luật này được mô tả gọn như sau:

( 0)  ( 0)

i i , trong đó i L( 0) là dòng qua điện cảm NGAY TRƯỚC KHI

“đóng-mở”, i L( 0) là dòng qua điện cảm NGAY SAU KHI “đóng-mở”

Định luật 2: Điện áp trên điện dung không thể đột biến mà phải biến thiên liên tục từ giá trị vốn có của nó ngay trước thời điểm đóng mở

Giả sử thời điểm “đóng-mở” t=0, khi đó định luật này được mô tả gọn như sau:

( 0)  ( 0)

u u , trong đó u C( 0) là điện áp trên điện dung NGAY TRƯỚC KHI

“đóng-mở”, u C( 0) là điện áp trên điện dung NGAY SAU KHI “đóng-mở”

Điều kiện ban đầu của mạch: Các dòng điện qua điện cảm hoặc điện áp trên điện dung tại thời điểm “đóng-mở” gọi là ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU của mạch

4.1 Giới thiệu phép biến đổi Laplace:

Cho hàm f(t) thỏa mãn điều

kiện sau:

1 f t( )0, t0

2 f t liên tục hoặc liên tục ( )

từng đoạn khi t0

Xét tích phân:

0



Nếu tích phân (1) tồn tại, ta

nói (1) là phép biến đổi thuận

Laplace cho hàm f(t)

Ký hiệu:

0





F P f t e dt

F(P) gọi là ẢNH LAPLACE của f(t) Hàm f(f)

gọi là hàm gốc Quan hệ ảnh-gốc được qui ước như một trong các biểu diễn sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )





L

Khi biết hàm ảnh, có thể tìm lại hàm gốc nhờ bảng tra hàm ảnh- hàm gốc

Lưu ý: Để thuận tiện làm bài tập, trong đề sẽ cho sẵn quan hệ hàm ảnh – hàm gốc

Một số tính chất của phép biến đổi Laplace

1 Tính đơn ánh:

Mỗi hàm gốc chỉ có một hàm ảnh và ngược lại

2 Tính chất tuyến tính:

Nếu f t1( )F P f t1( ), 2( )F P2( ) thì af t1( )bf t2( )aF P1( )bF P2( )

3 Tính chất ảnh của đạo hàm:

Nếu ( )f t F P thì ( ) df t( )  PF P( ) f(0)

dt

4 Tính chất ảnh của tích phân:

Nếu ( )f t F P thì ( )  f t dt( )  F P( )G(0)

trong đó G t( ) f t dt( ) và G(0)G t( )t0

Bảng quan hệ ảnh- gốc của một số hàm Hàm ảnh F(P) Hàm gốc f(t) ( t0)

A

P

A

 

A

P

et

A

(  )

A







t

A e

2

A

P

At

2  2

AP

P

os( )

2  2

A



A

t

0

A

P    2 P

t 1 1

A

e sint

    

0

AP

1

Ae cos t  sint

    

4.2 Các định luật ở dạng toán tử Laplace:

4.2.1 Định luật Ôm:

3.2.1.1 Định luật Ôm cho điện trở:

Biểu thức của

định luật Ôm cho

điện trở trên miền

thời gian:

( )

( ) R (1)

R

u t

i t

R

Thực hiện biến đổi Laplace cả 2 vế của (1) ta có:

( )U P  ( )U P (2)

(2) là định luật Ôm cho điện trở ở dạng toán tử

Nhận xét: Đối với điện trở, dạng biểu thức của định luật Ôm trên miền thời gian và

miền toán tử là như nhau: Từ (1) nhận được (2) hoặc (3) bằng cách thay thế dòng điện

và điện áp tức thời bằng ảnh toán tử của chúng

Sơ đồ tương đương của điện trở trên miền toán tử Laplace:

R( )

I P

R( )

R

4.2.1.2 Định luật Ôm cho điện cảm:

Biểu thức của định

luật Ôm cho điện

cảm trên miền thời

gian:

( ) ( ) L (1)

L

di t

dt

Thực hiện biến đổi Laplace cả 2 vế của (1) ta có:

( ) (0) ( ) (0)

( )

L

L

I P

Trong đó Z P L( )PL gọi là trở kháng toán tử của điện cảm, đơn vị đo là Ôm () Thành phần Li L(0) gọi là sức điện động đặc trưng cho điều kiện ban đầu

(2) là định luật Ôm cho điện cảm ở dạng toán tử

Sơ đồ tương đương của điện cảm trên miền toán tử:

( )

L

I P

( )

L

( )

L

I P

( )

L

( )

L

a) Khi điều kiện đầu khác 0 b) Khi điều kiện đầu “0”

(0)

L

Li

3.2.1.3 Định luật Ôm cho điện dung:

Biểu thức của định

luật Ôm cho điện cảm

trên miền thời gian:

( ) ( ) C (1)

C

du t

dt

Thực hiện biến đổi Laplace cả 2 vế của (1) ta có:

C

C

PC

Trong đó Z C( )P  1

PC gọi là trở kháng toán tử của điện

dung, đơn vị đo là Ôm () Thành phần u C(0)

P gọi là sức

điện động đặc trưng cho điều kiện ban đầu

(2) là định luật Ôm cho điện dung ở dạng toán tử

Sơ đồ tương đương của điện dung trên miền toán tử:

( )

C

( )

C

( )

C

( )

C

( )

C

(0) /

3.2.2 Định luật Kiếc-khốp 1:

Trên miền thời gian, xét

một nút bất kì ta có:

1

( ) 0





N k

k

i t (1)

Biến đổi Laplace 2 vế của (1) ta có:

1

( ) 0





N k k

I P (2) (2) là định luật Kiếc-khốp 1 ở dạng toán tử

Nhận xét: Từ (1) nhận được (2) bằng cách thay thế giá trị tức thời của các dòng

bằng ảnh toán tử của chúng

3.2.3 Định luật Kiếc-khốp 2:

Trên miền thời gian, xét

một vòng bất kì ta có:

( ) ( )



u t e t (1)

Biến đổi Laplace 2 vế của (1) ta có:

Cy x

(0)

i

P (2)

(2) là định luật Kiếc-khốp 2 ở dạng toán tử, trong đó

có chứa các nguồn đặc trưng cho điều kiện ban đầu của mạch

4.2.4 Sơ đồ tương đương của mạch điện trên miền toán tử Laplace:

Các định luật trên miền biến phức cho phép xây dựng sơ đồ tương đương của

mạch trên miền toán tử bằng cách:

 Thay thế các dòng, áp, các nguồn bằng ẢNH LAPLACE của chúng

 Thay thế các điện trở, điện cảm, điện dung bằng SƠ ĐỒ TƯƠNG

ĐƯƠNG của chúng

Ví dụ xây dựng sơ đồ tương đương của mạch trên miền biến phức

Mạch trên miền thời gian:

1

e

1

R

3

R

1

L

2

C

V1

V2

1

i

2

i

3

i

2

e

Mạch trên miền toán tử:

1 ( )

E P

1

R

3

R

1 ( )

L

2 ( )

C

Z P

1 ( )

I P

2 ( )

I P

3 ( )

I P

2 ( )

E P

3 ( )

E P

1 L1(0)

L i

2 (0)

u C P

Nhận xét: Sơ đồ mạch trên miền biến phức có dạng GIỐNG mạch thuần trở!

 Có thể sử dụng tất cả các phương pháp đã học để phân tích mạch trên miền toán tử!

Lưu ý: Có thể giữ nguyên kí hiệu cho điện cảm và điện dung (không cần thay

bằng các khối chữ nhật), chỉ cần hiểu rằng các điện cảm và điện dung được đại

diện bằng TRỞ KHÁNG TOÁN TỬ của chúng!

3.2.5 Trở kháng phức và tổng dẫn phức của đoạn mạch (mạng 2 cực) không nguồn:

Do cấu trúc mạch trên miền toán tử giống mạch thuần trở nên cách tính trở kháng toán tử hoặc tổng dẫn toán tử của đoạn mạch giống như hệ các điện trở thuần Sau đây là một số ví dụ:

b

1

PC

1

a b Z Pab( )  Z PTD( )  Z P1( )  Z P2( )   Z PN( )

Z

2

Z

N

Z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3.3 Các phương pháp phân tích mạch bằng phương pháp toán tử:

Cũng do cấu trúc mạch trên miền toán tử giống với mạch thuần trở nên các phương pháp phân tích cũng tương tự như cho mạch thuần trở với chú ý như sau:

Mạch thuần trở Mạch trên miền biến phức

Điện trở tương đươngR TD Trở kháng toán tử tương đương Z TD( )P

Điện dẫn tương đương G TD Tổng dẫn toán tử tương đươngY TD( )P

Điện trở Rij Trở kháng toán tử Z Pij( )

Điện dẫn G ij Tổng dẫn toán tử Y Pij( )