TICH PHAN VA NG DNG

Đạo hàm của các hàm số cơ bản, thường gặp 2.Bảng các nguyên hàm cơ bản... Bảng nguyên hàm nâng cao Lưu ý: a ≠ 0Thực ra, ta đã áp dụng tính chất sau đây: Nếu Fx là một nguyên hàm của fx t

NGUYÊN HÀM

I CÁC CÔNG THỨC:

1 Đạo hàm của các hàm số cơ bản, thường gặp

2.Bảng các nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm nâng cao (Lưu ý: a ≠ 0)

Thực ra, ta đã áp dụng tính chất sau đây: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì:

3 Công thức lượng giác:

BÀI TẬP:

DẠNG 1: NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN:

1/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) 1 2x2

x

+

= thỏa F(-1) = 3 2/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) =x(2 −x) 2 thỏa F(-1) = 3

3/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) cos (2 3tan ) = x − x thỏa F(π ) = 1

4/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) (4 = x+ 1)e x thỏa F(1) = -e

DẠNG 2: CM F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA f(x)

1/ CMR F x( ) ( = x2 + 1)e x là một nguyên hàm của hàm số ( )2

( ) 1 x

f x = +x e

2/ CMR F x( ) =xlnx x− + 3 là một nguyên hàm của hàm số f x( ) ln = x trên ¡ +

3/ CMR F x( ) sin = 4x+ cos 4x và ( ) 1 cos 4

4

x

G x = −

là nguyên hàm của cùng một hàm số 4/ Tìm m để F x( ) =mx3 + (3m+ 2)x2 − 4x+ 3 là nguyên hàm của hàm số f x( ) 3 = x2 + 10x− 4

TÍCH PHÂN

b a

∫b

a f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a)

II CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP:

DẠNG 1: ĐA THỨC

Dùng hằng đẳng thức Đổi biến

VD: Tính

VD: Tính

1

7 ( 1)

x x− dx

∫

1 1

1 3

2 0

(2 1) (4 4 1)

2

x

= − + ÷ =

∫ ∫ Đặt t= − ⇒ =x 1 dt dx x t, = +1

Đổi cận:  = ⇒ = −x x= ⇒ =10 t t 01

Vậy:

( )

0

8 7

( 1) ( 1).

1

t t dt

−

∫

DẠNG 2: PHÂN THỨC HỮU TỈ

Loại 1: Mẫu là

đơn thức

Loại 2: Tử là đạo hàm của mẫu

Loại 3: Không thuộc loại 2 và mẫu có nghiệm

Loại 4: không thuộc loại 2 và mẫu vô nghiệm

Chia tử cho mẫu

VD: Tính

3 2

1

3

1

3 2

1

2

1

2 3

3 ln

14 ln 3

dx x

x

+ −

=  + − ÷

= −

∫

∫

Đổi biến đặt t = mẫu

VD: Tính I=

2 2 1

1

2 3

x

dx

−

− −

∫

Đặt

( ) ( )

1 2

dt

x dx

= − − ⇒ = −

⇒ − =

Đổi cận:

= ⇒ = −



 = ⇒ = −



Vậy:

3 4

1 2 2 1

ln 2 1

ln 3 ln 4 2

1 3 ln

2 4

dt

dt I

t

−

−

=

=

Tách thành tổng bằng A,B

VD: Tính

1 2 0 1 0

1

5 6 1 ( 2)( 3)

dx

=

− +

=

∫

∫

Xét: (nháp)

1

2 3 ( 2)( 3)

Vậy:

1

0

1 0

ln 2 ln 3

4

ln 2 ln 2 ln 3 ln

3

−

∫

VD: Tính

1 2 0 1

2 2

0

1 1 1

dx x

= + +

=

 

 +  +  ÷

∫

ặt:

1 3 tan , ;

x+ = t t∈ − π π 

2 2

3 1

2 cos 3

1 tan 2

t

t dt

=

Đổi cận:

0

6 1

3

π π

 = ⇒ =





 = ⇒ =



Vậy:

( 2 )

3 2 6

3

3 6 6

1 tan 3

2 tan

.

t dt I

t

π

π

π

π π π

π

+

=

+

∫

∫

nhận dạng làm bài

VD: Tính

( )

2

1

2 1

7 12 1

16 9 1

16ln 4 9ln 3 1 25ln 2 16ln 3

dx

−

∫

DẠNG 3: HÀM CHỨA CĂN

Loại 1:Biểu thức mgoài căn là dạng đạo hàm

của hàm trong căn

Loại 2: Không thuộc loại 1 Đặt t= căn và làm mất căn trước khi lấy dt

VD: Tính

1

x

x

=

+

∫

Đặt: t= 2x+ ⇒ = 1 t2 2x+ ⇒ 1 tdt dx=

Đổi cận: 1 3

 = ⇒ =



 = ⇒ =



2

3

2

1

t

t

t

−

TH1: a2 −x2 Đặt x a= sint

TH2: a2 +x2 Đặt x a= tant

VD: Tính

2 2 2

2

0 1

x

x

=

−

∫

Đặt: x= sint⇒dx= costdt

Đổi cận:

2

π







 = ⇒ =



Vậy:

2

2

4 0

cos

1 sin

1 cos 2

2

sin2t

t t

t

t

−

−

DẠNG 4: HÀM LƯỢNG GIÁC

1/ I sin cosn x m xdx

β α

= ∫

*) Nếu n = m = 1 ta dùng công thức biến đổi tích thành tổng

cos 4 cos3 cos 7 cos sin 7 sin

Loại 1: n,m chẵn

dương

Loại 2: n lẽ dương Loại 3: m lẽ dương Loại 4: n,m chẵn âm

Ta dùng công thức hạ

bậc

VD: Tính

Tách thành bậc chẵn và bậc 1 Đưa bậc chẵn và hàm cosx và đặt t = cosx

VD: Tính

Tách thành bậc chẵn

và bậc 1 Đưa bậc chẵn và hàm sinx và đặt t = sinx

VD: Tính

Đưa về tanx hoặc cotx

VD: Tính

4

0

2

2

0

cos

1 cos 2

2

x

dx

π

π

=

+

=  ÷

∫

∫

2

2 0

1

(1 2cos 2 cos 2 )

π

2

0

2cos 2 cos 4

π

=  + + ÷

∫

2 0

sin 2 sin4

3

16

π

=

sin sin sin

= ∫ =∫

2

2 0

(1 cos )sinx xdx

π

=∫ −

Đặt

t= x⇒ = −dt xdx

Đổi cận:

0 2

= ⇒ =





 = ⇒ =



Vậy:

( ) ( )

( )

0 2 1 1 2 0

1 3

0

1

1

2

t dt

t t

= − ÷ =

∫

∫

2

0 sin cos

π

= ∫

2

0 sin cos cosx x xdx

π

=∫

2

0

sin (1 sin )cosx x xdx

π

=∫ −

Đặt

Đổi cận:

1 2

= ⇒ =





 = ⇒ =



Vậy:

( ) ( )

1

0 1

4 6 0

1

5 7

0

1

2

5 7 35

t t dt

= − ÷ =

∫

∫

4 4 0 4

0

1 cos

cos cos

x

dx

π

π

=

=

∫

∫

4 2

2 0

1 tan 1

cos

x

π

Đặt:

2

1 tan

cos

x

= ⇒ =

Đổi cận:

1 4

= ⇒ =





 = ⇒ =



Vậy:

( )

1 2 0 1 3

0

1

4

t t

= + ÷ =

∫

2/ I f x ( ) sin ,cos ( x x dx )

β α

= ∫

( ).sin

β

α

β α

=∫

Tích phân từng phần

Đặt: u dv==f xsin( )xdx⇒v du= −= cosf x dx'( )x

VD: Tính 2

0

2 sin

π

=∫

Đặt: u dv==2sinx xdx⇒v du= −=2cosdx x

0 0

2 ( cos ) 2.( cos )

π π

2

0

0 2sinxπ 2

Tích phân từng phần Đặt: u dv==f xcos( )xdx⇒du v==sinf x dx x'( )

VD: Tính I 0 (1 x)cosxdx

π

= ∫ −

Đặt: u dv= −=1cosx xdx⇒du v== −sindx x

Vậy:

0 0

0

(1 )sin sin ( )

0 ( cos ) 1 ( 1) 2

x

π π π

−

−

−

= + − = − + − = −

∫

DẠNG 5: HÀM SỐ MŨ

1/ DẠNG ef x( ) tương tự như đối với hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hàm căn thức

2/ DẠNG g x e ( ). f x( )

Loại 1: g(x) là dạng đạo hàm của f(x) Loại 2: g(x) không là dạng đạo hàm của f(x) Đổi biến bằng cách đặt t= f(x)

VD: Tính 2

1 0 x

I =∫x e dx

2

dt

t=x ⇒ =dt xdx⇒xdx=

Đổi cận: 0 0

= ⇒ =



 = ⇒ =



Vậy:

1 1

t

t dt e e

Tích phân từng phần

'( ) ( )

f x

f x

du g x dx

u g x

=



=

⇒

VD: Tính

1

2 1 0 x

I =∫x e −dx

Đặt: 2 1 1 2 1

2

x x

du dx

u x

=



=

⇒

Vậy:

1 1

0 0

.

I =x e − −∫ e −dx

2 1 0

x

e

DẠNG 6: HÀM SỐ lôgarit

Loại 1: lnx nhân kèm 1

x Loại 2: lnx không nhân kèm 1

x

Đổi biến bằng cách đặt t= lnx

VD: Tính

1

1 (1 ln )

e

e

=

−

∫

Đặt: t lnx dt 1dx

x

Đổi cận:

1 2 1

1

e

 = ⇒ =





 = ⇒ = −



Vậy:

1

2 1 1

1

ln 1 ln ln 2 ln 4

dt

−

−

∫

Tích phân từng phần Đặt:

1 ln

( )

( )

x

dv f x dx

v f x dx

 =

=

VD: Tính

2 2 1

ln x

x

=∫

Đặt:

2

1 ln

1

1

x

v



Vậy:

2 2

1 1 2

1

ln

x

= − ÷ − − ÷

−

= − − = − − − =÷

∫

III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau

1/

2

0

(x +1) dx

0

2 1

x x− dx

ln 2 0 (3 5)

e e− − dx

∫

4/

6

1

2

dx x

+

2

0 4

x dx x

−

2 2 2 1

3 1

dx

+ + +

∫ (KB-2014)

7/ 1( )2

2

0

1

1

x

dx

x

+

+

∫ (KD-2013) 8/

1 0

2 3 2

x dx x

+

−

2 2 1

2x 1

dx

+ +

∫

10/

1

0

1

x −xdx

1

0 1

x −x dx

1

2 0

2

x −x dx

∫ (KB-2013) 13/

4

2 7

1

9 dx

x +x

7 3 0

1

x x+ dx

4 0

4 1

2 1 2

x

dx x

− + +

16/ 2 2

0

sin xdx

π

0

cos xdx

π

0 cos x 1 cos xdx

π

−

19/ 2

3

1

sinx dx

π

π

0 cos cos 4x xdx

π

0

1 sin 2

π

+

22/ 4

0

(x 1)sin 2xdx

π

+

∫ (KD-2014) 23/ 2

0

sin 2 3sin 1

x dx x

π

+

3 0

cos sin cos

dx x

π

+

∫

25/

0

2

1 2

x

dx e

+ −

+

ln 3 0

1 1

x dx

e +

0 sin 2

4

.cos 2

x

π

∫

28/

1

0

(4x+ 1)e dx x

3

1 x 1

dx

e −

∫ (KD-2009) 30/ 3( 2 ) 2

0

1 x

x + e dx

∫

31/

1

3

2 ln

e

x

 − 

∫ (KD-2010) 32/

2 3 1

ln x

dx x

∫ (KD-2008) 33/ ( )

3

2 1

3 ln 1

x dx x

+ +

∫ (KB-2009)

1

ln

(2 ln )

e

x

dx

∫ (KB-2010) 35/

3

2 1

1 ln(x 1)

dx x

∫ (KA-2012) 36/

2 2 2 1

1 ln

x

xdx x

−

∫ (KA-2013)

ỨNG DỤNG

I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

DẠNG 1: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI TRỤC ĐỒ THỊ y= f x( ) VÀ TRỤC

HOÀNH.

Trường hợp 1: Đã có cận x = a; x = b

B1: Giải nghiệm pt f(x)=0

B2: Dùng công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

S =∫ f x dx=∫ f x dx+∫ f x dx= ∫ f x dx + ∫ f x dx với c là nghiệm pt f(x) = 0 và c∈[ ]a b;

B3: Tính tích phân trong giá trị tuyệt đối Trường hợp 2: Chưa có cận

B1: Giải nghiệm f(x) = 0 và dùng nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất làm cận B2: Dùng công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

S =∫ f x dx=∫ f x dx+∫ f x dx= ∫ f x dx + ∫ f x dx với c là nghiệm pt f(x) = 0 và c∈[ ]a b;

B3: Tính tích phân trong giá trị tuyệt đối

DẠNG 1: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI TRỤC 2 ĐỒ THỊ y= f x( ) VÀ y g x= ( )

Trường hợp 1: Đã có cận x = a; x = b

B1: Tính f(x) – g(x) B2: Giải nghiệm pt f(x) - g(x) =0 B3: Dùng công thức

S=∫ f x −g x dx=∫ f x −g x dx+∫ f x −g x dx= ∫ f x −g x dx + ∫ f x −g x dx

với c là nghiệm pt f(x) = 0 và c∈[ ]a b;

B4: Tính tích phân trong giá trị tuyệt đối Trường hợp 2: Chưa có cận

B1: Tính f(x) – g(x) B2: Giải nghiệm pt f(x) - g(x) =0 B3: Dùng công thức

S=∫ f x −g x dx=∫ f x −g x dx+∫ f x −g x dx= ∫ f x −g x dx + ∫ f x −g x dx

với c là nghiệm pt f(x) = 0 và c∈[ ]a b;

B4: Tính tích phân trong giá trị tuyệt đối

II THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY KHI XOAY HÌNH PHẲNG QUANH Ox:

DẠNG 1: HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ y= f x( ) và trục hoành :

2( )

b a

V =π ∫ f x dx

Nếu chưa có cận thì cận là nghiệm pt f(x) = 0

DẠNG 2: HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI 2 ĐỒ THỊ y= f x( ) VÀ y g x= ( ) :

2( ) 2( )

b a

Nếu chưa có cận thì cận là nghiệm pt f(x) –g(x) = 0

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

1/ y x= 2 − 2 ;x y= 0 2/ ln ; 0;

2

x

x

3/ y x= 1 +x2 ; y= 0; x= 0; x= 1 4/ y xe y= x; = 0; x= − 1; x= 2 5/ 3 1; 0; 1; 0

x

x

− +

−

Bài 2: (Diện tích dạng 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

x

5/ y x= − 3 1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2

Bài 3: Tính Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng quanh Ox)

1/ y= − 1 x y2 ; = 0 2/ y= cos ;x y= 0; x= 0;x= π

3/ tan ; 0; 0;

4

y= x y= x= x=π

4/ y= ln ;x y= 0;x e=

5/ y x e y= ;x = 0;x= 0; x= 1 6/ y= − 2 x y2 ; = 1

7/ y= 2x x y x− 2 ; =