Tài liệu chuyên toán THPT chuyên đề nguyên hàm – tích phân và ứng dụng (dùng cho luyện thi đại học) (bấm nút toàn màn hình để xem đầy đủ)

LỜI NÓI ĐẦU Tp theo Bộ sách Giải toán dành cho học sinh lớp chuyên, nhóm tác giả trường THPT chuyên Lê Hồng Phong biên soạn Bộ sách Tài liệu chuyên toán THPT theo chuyên đề nhằm giúp các

TRAN DUC HUYÊN - NGUYỄN DUY HIẾU

TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN

TRUNG HOC PHO THONG

chuyen de :

NCUVEN HAN -TICH PHAN VA UNG DUNC

NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM

LỜI NÓI ĐẦU

Tp theo Bộ sách Giải toán dành cho học sinh lớp chuyên, nhóm tác giả trường THPT chuyên Lê Hồng Phong biên soạn Bộ sách Tài liệu chuyên toán THPT theo chuyên đề nhằm giúp các em học sinh tự học để nắm được trọng

tâm kiến thức và luyện tập giải toán, qua đó giúp học sinh tự ôn thi vào đại

học đạt kết quả tốt

Cuốn sách Tài liệu chuyên Toán THPT chuyên đề : Nguyên hàm - Tích phân

và ứng dụng gồm hai phần chính :

Phần một: Lí thuyết và phương pháp giải toán, gồm 7 chương :

Chuong | NGUYEN HAM

Chương II MOT SO PHUONG PHAP TIM NGUYEN HAM

Chương Ill, TICH PHAN

Chương IV MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TICH PHAN

Chương V UNG DUNG TICH PHAN BE TINH DIỆN TÍCH HINH PHANG

Chương VI UNG DỤNG TICH PHAN BE TINH THE TICH VAT THỂ

Chuong Vil BE TOÁN TONG HOP

Phần hai: Ung dung để giải các đề thi tuyển sinh đại học

Phần này tập hợp các bài toán về Nguyên hàm - Tích phân trong các đề thi

tuyển sinh đại học từ năm 2005 đến nay cùng với lời hướng dẫn giải cho từng bài toán

Rất mong cuốn sách này giúp ích cho các em học sinh tự học và tự ôn thi vào đại học thành công

Mặc dù rất cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng những khiếm khuyết

là không thể tránh khỏi, chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp

của các quý thầy cô và các em học sinh yêu toán để các lần tái bản sau, cuốn sách được hoàn chỉnh hơn

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về theo địa chỉ :

Ban Biên tập Toán - Tin, Công ty CP Dịch vụ xuất bản giáo dục Gia Định - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam - 231 Nguyễn Văn Cừ, quận 5, TP Hồ Chí Minh

Nhóm Tác giả

Ƒ Li THUYET | -

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TDÁN

( CHƯƠNG I, NGUYEN HAM

A TOM TAT Li THUYET

I KHAI NIEM NGUYEN HAM

1 Dinh nghia

Cho hai hàm số F và f xác định trên K trong đó K là một khoảng, một đoạn

hoặc một nửa khoảng nào đó :

K=(a, b) hoặc K = [a, b] hoặc K = (a, b] hoặc K = [a, b)

Nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K thì hàm số F được gọi là một nguyên hàm

của hàm số f trên K

2 Định lí

Nếu hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K thì :

a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C

sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K

Như vậy, nếu F là một nguyên hàm của hàm số f trên K thì mọi nguyên hàm của

hàm sô f trên K đều có dạng F(x) + C với C € R Khi đó : F(x) + C, CC e R

được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, kí hiệu là J foodx :

Il BANG NGUYEN HAM CO BAN

5) |sinxdx =—cosx+C ; Jsinkxdx = ix

6) | cosxdx =sinx+C ; ƒcoskxdx = $m kx

Nếu £, g là hai hàm số liên tục trên K thì :

a) ÍIfx)+g@)Jdx = J foodx + Jecodx

b) Với ke RỶ : J kf(x)dx =k J f(x)dx

6

+C (k#0)

+C (k#0)

B CAC BAI TOAN VA PHUONG PHAP GIAI

nên F(x) là một nguyên hàm của hàm 86 f(x)

đài toán 2 Cho a # 0 Ching minh rang :

a) Ham sé F(x) = J P=]

2a a+x là một nguyên hàm của hàm s6 f(x) =

b) Ham s6 F(x) = In lx +yx2 +a2| là một nguyên hàm của hàm số f(x) =

nên F(x) la một nguyên hàm của hàm s6 f(x)

(x-7/

2 CAC BAI TOAN

Bai todn 1 Tim cac ho nguyén ham sau :

=—-Leos13x—.Leosx~-L-eosl Ix~-Leos3x+C

Ð) ƒ Seos* x=3cot* x | 2sin” x+4tan “Jace f(7- 3,4 Ja

=7x+3cotx+4tanx+C

1+sin 2x (sin x +cos x)? sin x +cos xX "

11

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả mãn điều kiện F(a) = b

“Ta thực hiện hai bước sau :

— Tim ho nguyén ham cua f(x) la : F(x) = G(x) + C

~ Giải điều kiện F(a) = b © G(a) + € =b C =b - G(a)

~ Kết luận F(x) = G(x) + C, với C tìm được ở trên

đài toán 2 Cho f(x) = 6x” ~ (2m - 4)x + m Xác định m để nguyén ham F(x)

của f(x) thoả mãn điều kiện F(0) = 3 và F(2) = I

A TOM TAT Li THUYET

I PHƯƠNG PHÁP DOI BIEN SO

Định lí 1 Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u)

liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K Khi đó :

Nếu F là một nguyên hàm của f, tức là : jr(@)du =F(u)+C thi:

Íf[uŒ)lu'G)dx =F[u()]+C

II PHUONG PHAP NGUYEN HAM TUNG PHAN

Định lí 2 Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì :

ju@)v)4x = u(x)v(x)= Í v(x).u (x)dx

Công thức trên có thể viết gọn dưới dạng : fuav =uv- Ỉ vdu

13

B CAC BAI TOAN VA PHUONG PHAP GIAI

WET ics

| Phương pháp đổi biến số

Biết [f(u)du = F(u)+C Tính [f(u(x)).u{x)dx- (1)

© Truong hop diac biét: u=ax +b (a¥0):

Dùng phương pháp đồi biến số và áp dụng kết quả sau :

Nếu jf&)&x =F(x)+C thi ffx +b)dx = | Bay + b)+C

+ Lin ch phan ich: t= if F l ) Vk #0

A(A+k) k\A A+k

a) flee Jax: Đ[[x2+3 e9:

Giải

17

=t~3In|t|+C =3+eŠ ~3In(3+eX)+C

đài toán 2 Tìm các họ nguyên hàm sau :

c) Dat t= cosx + 1 => dt =—sinxdx

=> ƒesxn sin xdx = -fetdt =~et +C=e£05X†] + C,

Ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x) rồi biến đổi f(x) về tổng (hiệu)

các hàm sô đơn giản và tìm nguyên hàm

y=fx)= (P(x), Q(x) là đa thức)

Lưu ý cách phân tích sau :

e Nếu tam thức ax? +bx +e có hai ngiém XỊ› Xq thi:

ax?+bx+c= a(x—xI)(X—X¿)

19

si ——L _—w-š(_——a Tư =n lene

"gpÌ|cag Tan let ea

DANG 4 Nguyên hàm của ham căn thức

1 PHƯƠNG PHÁP

Một số lưu ý khi tính nguyên hàm có chứa dấu căn như sau :

a

=un (u>0)

~ Khử dấu bằng bằng cách nhân lượng liên hợp

~ Thường đồi biến : đặt t = Nu(x) > t =u(x)= n.tfÌđt =0 1{x)dx Với u là hàm số theo X, ta CÓ :

Ea x3dx

* fsin udu =-cosu+C

af 4 du = f (1+ tan? udu = tanu+C

> Tinh J£coax với

(aA —bB)sinx +(Ab+aB)cosx= asinx+PBcosx, Vxe Dự

cosa.cosb = 7 [eos(a —b) + cos(a £ )]

® sina.sinb =2 [eos(a ~b)~cos(a+ )]

° sina.cosb =2 [sin(a —b)+ sin(a + b)

sin4 x cosx sint x(l- sin? x)

sin? x cosx “lage

c) Dat t= 1+ cosx => dt =— sinxdx > [sinxIn(I+eosx)dx = -fin tdt

d) Dat : t= sinx => dt = cosx.dx

= Joss xdx =[d-sin? x)2.cos x.dx =[d-24t =[d-?2 +t#)dt

“ng "li Ni eosx +V2|" X]+cosx ng

€) J xsinx.cos?xdx = ;Í xsin x(I+ cos2x)dx

= 4 fxsinxdx +4 fxsin x cos 2xdx

e) ftan® xdx = | (tan® x +1)dx — Í dx

=[(tan? x+1)(tan4 x—tan? x+1)dx—[ax

= f(tan4 x —tan? x+1)d(tan x)-fax

Đồng nhất hệ số : (A—2B)sinx + (2A +B)cosx = sinx —cosx

1= Ssin x.cos x lạ anally 1)

"m.i THÔI co,

9 ieee a! oos{ x + Ầ mst 1-sin?(x+2) T1

Dat: tsin( +2) a = oos{ +2 dy

Ta có : judv = uy= [ vdu

DANG 1 Tim nguyên hàm : [P(&«).mQ()dx

Bai todn 1 Tinh :

a) fvxin xdx; b) Íx.Ind+x2)dx Ệ €) jx? In(2x)dx

35

=-cot x In(sin x+ƒd +cot2 x)dx — [dx

=~cot x Ïn(sin x)— cotx—x+€

5 dụ=atŒ&+Ù u=ln“(x+l) ss x+l

dv =(sin x,cosx,e*)dx = v= fsinxdx (v=[cosxdx,v= [e*dx }

° fPco,(sin X,COS x,0% dx = uy= [ vdu

37

> ) =e%x3 —3e%x? +6[xe* ~Jerax]

=eXx3 ~3eXx2 + 6xeX — 6eX +C

b) Í (x2 —1)cos2 xdx =5 Joe =J(I+eos2x)dx

1 €0SX cos? x cos X 1-sin? x

1 I| cosx dx l cosx I£ dx

=J =e sin xdx =—e* cosx+ [e* cos xdx =—e* cosx +1 9%

(*) = I=e* sinx-(-e* cosx +1) =>I=

A TOM TAT Li THUYET

I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Định nghĩa

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số thực bắt kì trên K

Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F(b) — F(a) được gọi là ích

CÁC TÍNH CHAT CUA TiCH PHAN

Giả sử các hàm số f, g là các hàm số liên tục trên K và a, b, c e K Khi đó ta có :

B CAC BAI TOAN VA PHUONG PHAP GIAI

mm

| Tính tích phân bằng công thức Newton - Leibniz

1 PHƯƠNG PHÁP

b Dùng công thức Jfeodx = Fox? = F(b)— F(a) (cong thite Newton — Leibniz)

a

2 CAC BAI TOAN

Bai todn 1 Tính các tích phân sau :

c) (sin x sin 2x sin3x)dx ;

c) | (sinx sin 2x sin3x)dx = in x (cosx —cos5x) dx

1

2

-‡Ìt sin 2x —sin 6x +sin4x)dx

a) Nếu hàm số f liên tục trên [a ; b] và f(x)>0,Vx € [a ; b] thi Jfoodx >0

b) Nếu hai hàm số f và g liên tục trên [a ; b] và f(x)> g(x), Vx e [a; b] thì:

Ïf@&04x > f goddx

46

c) Néu ham số f liên tục trên [a ; b] và m < f(x) < M, Vx €[a ; b] thi:

b

m(b~a)< | f(x)dx < M(b~a)

2 CAC BAI TOAN

đài toán 1 Chứng mỉnh các bắt đẳng thức sau :

A TOM TAT Li THUYET

I PHƯƠNG PHAP DOI BIEN SO

48

Ta có công thức đổi biến số : J f[u(x)]u'(x)dx = J f(u)du

u(a)

trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = fu) liên tục

sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K và a, b là hai số thuộc K

Có hai quy tắc đổi biến số :

© Quy tắc đổi biến số loại 1

Để tính tích phân : I= Jflucolu'oodx ta làm như sau :

a

1 Dat t = u(x) > dt = u'(x)dx

2 Đồi can : Rea GMa) so

x=b=>t=u(b)=p

3 Thay vao I, ta duge I= [f[uG)lu'G)dx = jt(0a (*)

4 Tính tích phan (*) ta duge tich phan I can tim

e Quy tắc đổi biến số loại 2

II PHƯƠNG PHAP TiCH PHAN TUNG PHAN

Nếu các hàm u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b € K thi:

Công thức (1) và (2) đều gọi là công thức tích phân từng phần

B CÁC BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Wenn

| Phương pháp đổi biến loại 1

1 PHƯƠNG PHÁP

Dùng quy tắc đổi biến số loại 1

Chú ý : Trong một số trường hợp việc tính dt khá khó khăn, ta có thẻ dùng

“phương pháp thê” như sau :

b Tính tích phân dạng I = Jfooax ta lam nhu sau :

a

1, Dat t = u(x) Tim x theo t rồi tính dx theo dt

2 Đổi cận :x=a =t=u(a) = œ

Đặt: t = VÄ tanu => dt = V3(L+ tan” u du, ve(-3:4

a) Dat: x =2sint, te[- mi le 2costdt

2 CAC BAI TOAN

x=4>t=— 4

4 fmt eo

od 24

x Đổi cận : 4

Ween | Phương pháp tích phân từng phần

b DANG 1 Tinh tich phan : I =[Pœ).In xdx

2 CAC BAI TOAN

đài toán 1 Tính các tích phân sau :

xế |” 2x2

e c)I= fox +2x)In xdx

e Nếu mẫu số có nghiệm kép là xo thì ta đưa mẫu số về hằng đẳng thức a(x — xo)”

đài toán 2 Tinh các tích phân sau :

Tinh I, : Dat : x—3=tant > dx =(1+tan’ tdt, te(-Š:3]

và dat : t= sinx => dt = — cosxdx

® Trường hợp n và m đều lẻ, đặt t = sinx hoặc t = cosx

® Trường hợp n và m đều chin, ta thường dùng công thức hạ bậc, hoặc đưa về hàm theo tanx và đôi biên, đặt t = tanx

Bai todn 2 Tinh tích phân sau :

1 PHƯƠNG PHÁP

Ta thường đặt an phu t=Yu(x) > t=u(x)> nt” dt = u'(x)dx để đưa tích

phân về dạng tích phân hàm hữu tỉ

68

đài toán 2 Tinh các tích phân sau :

72

(1) và (2) > l= Jfeoax =vé phải (đpem)

0

b) Xét Ñx) = xỶ trên đoạn [~I ; 1]

“Ta có f liên tục và là hàm số chẵn trên (-1;1]

+ T

me

Đôi cận :

T T x=—=t=—

Để thiết lập công thức truy hồi của tích phân, ta phân tích hàm số dưới dấu

tích phân một cách thích hợp rôi áp dụng phương pháp tích phân từng phân

CHUONG V UNG DUNG TICH PHAN

®

A TOM TAT Li THUYET

1 Công thức I

Nếu hàm số y = f{x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích S của hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thang x =a, x =b

| B CAC BAI TOAN VA PHUONG PHAP GIAI

(sinx +cosx)* 0 sin x +cosx)*

Dat t = sinx + cosx => dt = (cosx — sinx)dx

Chú ý:

b

Muốn tính S= J |f(<)|dx thì thường phải xét dấu f(x) trên đoạn [a ; b] để khử

a

dau tri tuyệt đối

Tuy nhién cé thé dya vao tinh chat : “Néu ham sé f /ién tuc trén doan [a ; b] va phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên (a ; b) thì f(x) không đổi dấu trên

(a; b)” dé tinh S đơn gian hon

Ta thực hiện như sau :

Giải phương trinh f(x) = 0 trên (a ; b)

Giả sử các nghiệm thuộc (a ; b) của phương trình là

đài toán 5 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

0 VI+tan? t 9 cos: t 9 COS” X Đặt t = sinx => dt = cosxdx

Wem Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bốn đường gồm đồ thị của hai hàm số liên tục f, g và hai đường thang x = a,

x =b luôn xác định được một hình phẳng Tuy nhiên, đôi khi chỉ với hai đồ thị

của hai hàm số liên tục f và g cũng đủ xác định một hình phẳng, chẳng han như trong hình vẽ bên Trong trường hợp nay thi hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị f và g

y=g(x)

84

Muốn tính diện tích hình phẳng như vậy ta thực hiện các bước sau :

~ Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

Công thức (2) chỉ sử dụng dé tính điện tích của hình phăng được xác định bởi

đô thị của hai hàm sô f, ø và hai đường thăng x = a, x = b

Trong trường hợp hình phẳng (H) được xác định bởi nhiều hơn hai đồ thị của

Dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng là :

3 2 9 2 3

S= fj x?-= lax +f 27 _X Jax =| 26 | +|2zinlx| 3L 27 3 x 27 81 |,

= ^ +21in9~27In3~9+2 = 271n3 (đvdt)

Bai toán 2 Tinh điện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị (P): y= x°—2x

và hai tiêp tuyên của (P) vẽ từ điêm A( ; -9)

Giải

(P) : y =x? — 2x va hai tiếp tuyến của (P) vẽ từ điểm A(2 ; -9)

Gọi (xo; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến (đ) với (P)

Trong các bài toán ở các vấn đề 1, 2, 3, 4 Diện tích hình phẳng được biểu thị

băng các tích phân mà biên tích phân là x

Tương tự với các trường hợp ta đã biết ở trên, trong nhiều trường hợp nếu ta coi x là hàm của biến y thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x = g(y), x = h(y) và hai đường thang y = a, y = b (a < b) là