PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG GIỚI HẠN DÃY SỐ ĐÁNH GIÁ CẬN TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯƠNG NGỌC HUYÊN Trường THPT Chuyên tỉnh Tuyên Quang Email: huyenlgng@gmail.com Tóm tắt
Trang 1PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG GIỚI HẠN DÃY SỐ ĐÁNH GIÁ CẬN TRONG
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM
LƯƠNG NGỌC HUYÊN Trường THPT Chuyên tỉnh Tuyên Quang
Email: huyenlgng@gmail.com
Tóm tắt Trong bài viết này, chúng tôi đưa ra một phương pháp hiệu quả khi đánh
giá các bất đẳng thức hàm đó là Phương pháp sử dụng giới hạn dãy số đánh giá
cận Nội dung cơ bản của phương pháp này là để chứng minh f x( )0 M ta sẽ làm
tăng f x lên một đại lượng vô cùng nhỏ, để chứng minh ( )0 f x( )0 m ta sẽ làm
giảm f x xuống một đại lượng vô cùng nhỏ bằng cách sử dụng giới hạn của dãy ( )0
số
1 Định nghĩa
Bất phương trình hàm là bất phương trình mà ẩn là các hàm số Giải bất phương trình hàm là tìm tất các các hàm số chưa biết đó
Cấu trúc cơ bản của một bài toán bất phương trình hàm gồm các thành phần chính sau:
+ Miền xác định và miền giá trị của các hàm số;
+ Bất phương trình, hệ bất phương trình hàm;
+ Các tính chất khác của hàm số (tính tăng, giảm, bị chặn, liên tục, khả vi, tuần hoàn )
+ Các yêu cầu của bài toán (xác định hàm số, chứng minh tính chất của hàm số, )
2 Phương pháp sử dụng giới hạn dãy số đánh giá cận
Nội dung cơ bản của phương pháp này là để chứng minh f x( 0)M ta sẽ làm
tăng f x( )0 lên một đại lượng vô cùng nhỏ; để chứng minh f x( )0 m ta sẽ làm
giảm f x( 0) xuống một đại lượng vô cùng nhỏ bằng hai cách cơ bản dưới đây:
Trang 2+ Cách 1: Để chứng minh f x( )0 M ta tìm một đánh giá f x( )0 M u n, với u n 0, limu n 0; để chứng minh f x( )0 m ta tìm một đánh giá 0
f x mv , với v n 0, limv n 0
+ Cách 2: Để chứng minh f x( )0 M ta tìm một đánh giá f x( )0 M u n, với u n 1, limu n 1; để chứng minh f x( )0 m ta tìm một đánh giá 0
( ) n
f x m v , với v n 1, limv n 1
3 Các bài toán minh họa
Bài toán 1 Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn
a) f x( y) f x( ) f y( );x y,
b) ( )f x e x 1, x
Lời giải Giả sử f là một hàm số thỏa mãn bài toán Ta có
f e cho nên (0)f 0
Ta thấy f x( )x là một hàm số thỏa mãn Do đó, trước hết ta sẽ so sánh ( )f x với
x bằng cách sử dụng giới hạn dãy số để đánh giá cận Cố định x , ta có
2
x
f x f f e
4
x
f x f f e
Quy nạp ta được ( ) 2 2n 1 , 1
x n
Vì
2
2
n n
x x
n
n
e
x
nên từ ( ) 2 2n 1
x n
suy ra ( )f x x, Vậy x
f x f x x x (1)
Mặt khác từ giả thiết a) suy ra f x( ) f(x) f(0) (2) 0
Trang 3Kết hợp (1) và (2) ta được f x( ) f(x) Do đó ( )0 f x x, Thử lại thấy x
đúng
Bình luận: Đây là một bài toán hay trong kì thi Olympic Trại hè Hùng Vương lần
thứ IX Có rất ít học sinh làm được bài toán này Theo chúng tôi, có 2 lí do chính ở đây:
+ Thứ nhất là kĩ năng giải bất phương trình hàm của học sinh chưa tốt
+ Thứ hai, đây là một phương pháp khá mới và tinh tế trong đánh giá các bất phương trình hàm có sự kết hợp với giới hạn dãy số Do đó, số học sinh được tiếp cận với phương pháp này chưa nhiều
Bài toán 2 (China) Tìm tất cả các hàm số f : [1; ) [1; thỏa mãn )
a) f x( )2(1x), x [1; ; )
b) x f (1x) f2( ) 1,x x [1; )
Lời giải Giả sử f là một hàm số thỏa mãn bài toán Cố định x [1; , ta có )
1 2
( ) 1
x
2
1
1
Quy nạp ta được
1 1 2
f x x (*) Lấy giới hạn hai vế (*) khi cho n n
ta được ( )f x (1) Mặt khác x
2 (1)
2 2
2
f x x f x x x x f x x x
Quy nạp ta được ( ) 1 1 , 1
2k
f x x (**) Lấy giới hạn hai vế (**) khi cho k
k ta được f x( )x (2) 1
Ta lại có
)
( ) 1 ( 1) 1 (2( 2)) 2( 1) ( ) 2( 1)
a
nạp ta được
1 ( ) 2 (m 1), 1
f x x m (***) Lấy giới hạn hai vế (***) khi cho
Trang 4m ta được f x( )x (3) Từ (2) và (3) suy ra 1 f x( )x 1, x [1; ) Thử lại thấy đúng
Bài toán 3 (VMO 2003) Đặt F f : | (3 )f x f f( (2 ))x x, x Tìm giá trị lớn nhất của sao cho với mọi f F ta luôn có f x( ) x
Lời giải Ta thấy ( ) max 1
x
f x F Mặt khác, với mọi x ta có
1
3
Với mỗi f F , cố định x và đặt 1 1 ( ) 1
Khi đó
2
1
3
Đặt
2
1
( )
Quy nạp ta được f x( ) n x, với (n 1 n) xác định bởi
1
2
1
1 3
3
n
Vì lim 1
2
n
nên từ f x( ) n x suy ra ( ) 1 max 1
f x x Vậy max 1
2
Bài toán 4 (Belarus 1997) Cho hàm số f : thỏa mãn
(2 ) ( ( )),
f x x f f x x
Chứng minh rằng ( )f x x, x
Lời giải Từ giả thiết ta có ( ) 1 ,
2
f x x Cố định x x và đặt 1 1
2
a thì
1
( )
f x a x Khi đó
2 1
1
f x f f a f xa x
với
2 1 2
1 2
a
Trang 5Quy nạp ta được f x( )a x n , với (n 1 a xác định bởi n)
2
1 1
n n
a
Vì lima nên từ ( ) n 1 f x a x n suy ra ( )f x Vậy ( )x f x x, x
Bài toán 5 (China 1998) Cho hàm số f : thỏa mãn
a) 2( ) 2 2 , ;
2
x
f x x f x
b) ( ) 1,f x x ( 1;1)
Chứng minh rằng
2
2
x
f x x
Lời giải Dễ thấy f(0) Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trên với 0 0
x
Với x ta có 0
2
( ) 2
2
2
2
2 ( )
2
x
(1) Ta sẽ chứng minh g x( ) 1, x
n
n
g x g g x g n
(2)
Chú ý rằng f x( ) 1, x ( 1;1) g x( ) 22
x
2n
x
Do đó, từ (2) ta
được
2 1 2 2
2
2 ( )
2
n n
n
n
x
x
nếu ( 1;1)
2n
x
(3)
Cố định x và lấy giới hạn hai vế (*) khi cho n ta được 0
1
2 1
0 2
2
n
n
n
g x
x
x
Trang 6Từ (4) suy ra ( ) ,
2
x
f x x
Mở rộng ý tưởng ban đầu, ta có thể sử dụng giới hạn dãy số để đánh giá cận cho biến số như bài toán dưới đây:
Bài toán 6 Cho hàm số f : [0;1] thỏa mãn:
a) f(1) 1 ;
b) ( )f x 0, x [0;1];
c) f x( ) f y( ) f x( y);x y, [0;1] :x y [0;1]
Chứng minh rằng ( )f x 2 ,x x [0;1] (6)
Lời giải Cho x y thì 0
) (0) 0 (0) 0
b
f f Kết hợp với a) thì (6) đúng với {0;1}
2
Quy nạp ta được
*
,
2n 2n
f n
(1)
Với x (0;1), xét dãy số 1 *
, 2
x n Vì x n (0;1] và limx nên tồn tại n 0
*
2
x (*) Chọn x n là giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn (*), khi 0
đó
2n x 2n Đặt
0 1
1
[0;1]
2n x
Khi đó
Vậy f x( )2 ,x x [0;1]
Trong bài toán dưới đây, để chứng minh không tồn tại một hàm số, chúng ta sẽ
sử dụng giới hạn dãy số để chỉ ra sự tồn tại của một điểm nào đó chứa đựng mâu thuẫn
Trang 7Bài toán 7 (Bulgaria 1998) Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f :
thỏa mãn
f x f xy f x y x y (6)
Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn điều kiện đã cho Từ (6) ta có
( ) ( ) ( ) 0
( )
y f x
Suy ra f là hàm số giảm trên
Cố định x và thay y f x( ) ta được ( ( )) ( )
2
f x
f x f x (1) Đặt
0 , n 1 n ( n),
x x x x f x , n
ta được
n
x và
(1) (1) (1) (1)
2
Mặt khác
(2)
1 1
1
2
n
n
( n) ( ( )) 0,
f x f x f x (3) n
Hơn nữa lim ( ) 0
2n
f x
và f x( 0 f x( ))0 nên từ (2) suy ra tồn tại 0 n đủ lớn thỏa 0
mãn
( )
2
f x
f x f x f x Điều này là vô lí với (3) Vậy không tồn tại hàm số f thỏa mãn
Trang 8Nhận xét Ta có thể thấy rằng dãy (x trong lời giải trên tăng Do đó có thể chỉ ra n)
sự mâu thuẫn dẫn tới không tồn tại hàm f bằng cách chỉ ra tồn tại n đủ lớn *
để ( )f n như sau: 0
Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn điều kiện đã cho Từ (6) suy ra f là hàm số
giảm (không ngặt) trên Cố định x
, khi đó với mọi n , ta có *
1 ( ) 1
1 ( )
f x n
n
f x
f x
1
n
n n
f x
Chọn n sao cho f x( 1) 1
n
Vì f giảm nên f x( ) f x 1 f x( 1) 1
Do tính tăng của hàm số
1 ( ) 1
t n
g t
t n
trên nên
1 1
; 2
2
n n
n
Trang 9Cộng các bất đẳng thức trên suy ra ( ) ( 1) 1 (1) ( ) 1
n
Chọn n * thỏa mãn 1 (1)
2
n
f
ta được f n ( ) 0, vô lí
Ta cũng có thể mở rộng ý tưởng của Bài toán 7 cho bài toán dưới đây
bằng cách sử dụng giới hạn hàm số để chỉ ra sự tồn tại của một điểm chứa
đựng mâu thuẫn
Bài toán 8 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f : thỏa mãn
a) f(0) ; 0
b) (f xy) f x( ) y f f x ( ( ));x y,
Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn điều kiện đã cho
Nếu f f x( ( ))0, thì khi đó (x f xy) f x( ) y f f x ( ( )) f x( ), và y 0
do đó f là hàm giảm (không ngặt) trên Từ f(0)0 f f x( ( )) kết hợp với tính giảm của hàm f suy ra ( ) f x ; do đó ( ( ))0 f f x 0, (*) Từ b) và (*) x
ta được f x( y) f x( ) f y( ) f(0)0, , điều này trái với khẳng định y
( ( )) 0,
f f x Do đó tồn tại z sao cho ( ( )) x f f z 0
Mặt khác, từ b) ta có f z( x) f z( )x f f z ( ( )) Suy ra
lim ( )
x f x
và lim ( ( ))
(**)
Từ (**) suy ra: tồn tại x y sao cho , 0
1
( ( )) 1
x
f f x
Khi đó f x( y) f x( )y f f x ( ( )) x y (d) Vậy 1
Đây là điều vô lí
Trang 10Có thể nói, phương pháp sử dụng giới hạn của dãy số đánh giá cận là một
phương pháp hay trong các bài toán về bất phương trình hàm Việc tìm ra các bất đẳng thức đánh giá tăng hay giảm giá trị của hàm số tại một điểm (bằng cách thêm vào hoặc bớt đi một đại lượng vô cùng nhỏ) là một kĩ thuật đẹp theo cả nghĩa đại số
và giải tích của nó
4 Bài tập tự luyện
Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn
f x( )x và (1 f x y) f x f y( ) ( );x y,
Bài 2 Cho hàm số f : thỏa mãn
f x y f x f xy f y x y Chứng minh rằng 2 f x( )0, x
Bài 3 Tìm tất cả các hàm số f : [0; thỏa mãn ) *
( 1) 2 3 ( )
x
x
f x
x
Trang 11Tài liệu tham khảo
[1] B J Venkatachala, Funtional Equations Prism Books Pvt Ltd, 2002
[2] Titu Andreescu, Iurie Boreico, Funtional Equations Electronic Edition 2007
Các trang web: diendantoanhoc.net, http://mathscope.org/,