Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác l10

Tính số đo các góc của ABC .. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC .. Tính độ dài các cạnh AB AC,.. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi

CHUYÊN ĐỀ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC)

Câu 1. Cho ABC  có a  , 12 b  , 15 c  13

a. Tính số đo các góc của ABC 

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC 

Câu 3. Cho ABC  có a8,b10,c13

a) ABC  có góc tù hay không?

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC 

c) Tính diện tích ABC 

Câu 4. Cho ABC  có các góc  A  60 ,   B  45  , b  Tính độ dài cạnh 2 a c , , bán kính đường tròn

ngoại tiếp và diện tích tam giác.

Câu 5. Cho tam giác ABC có AC  7, AB  5,  BAC   Tính 60 BC S, ABC, h R a,

Câu 6. Cho tam giác ABC có m b4, m c2, a3 Tính độ dài các cạnh AB AC,

Câu 7. Cho tam giác ABC có AB3,AC4 và diện tích S 3 3 Tính cạnh BC

Câu 8 Tính bán kính đường tròn nội tiếp Δ ABC biết AB=2, AC=3, BC=4.

Câu 9 Tínhh góc A của Δ ABC

Câu 12. Cho ABC  có b c   2 a Chúng minh rằng

a sin B  sin C  2sin A .

b Tính chu vi và diện tích của ABC 

Câu 14. Cho ABC  biết a  40 ,  B  36 20   , C   Tính  73  A , cạnh b , c của tam giác đó.

Câu 15. Cho ABC  biết a 42,4 m, b 36,6 m, C  33 10    Tính  A ,  B và cạnh c

Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên

người ta phải

nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến

vị trí B dài 8 km Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 75 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến người ta tốn thêm bao nhiêu km dây?

Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông Biết

  87 , 

CAB CBA   62  Hãy tính khoảng cách AC và BC

Câu 18 Cho tam giác ABC có BC a ,    A  và hai đường trung tuyến BM CN, vuông góc với nhau

Tính SABC

.

Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi l l la, ,b c

lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A B C, , Chứng

minh rằng

a)

2cos2

Câu 29. Cho ABC  Chứng minh rằng a2b2c2 2ab2bc2ca

Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2 p không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương

Câu 32. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

h  h  h  r

Câu 33. Cho tam giác ABC có sin2Bsin2C 2sin2 A. Chứng minh rằng A   60

Câu 34. Cho tam giác ABC có

a b c Chứng minh rằng tam giác có một góc tù.

Câu 35. Tam giác ABC có a2b2c2 36r2 thì có tính chất gì?

GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC)

huyngocnguyen95@gmail.com

Câu 1. Cho ABC  có a  , 12 b  , 15 c  13

a. Tính số đo các góc của ABC 

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC 

c. Tính S , R ,r.

d. Tính h ,a h ,b hc

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy

a Áp dụng định lí cosin trong ABC  ta có:

Câu 3. Cho ABC  có a8,b10,c13

a) ABC  có góc tù hay không?

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC 

Câu 4. Cho ABC  có các góc  A  60 ,  B   45  , b  Tính độ dài cạnh 2 a c , , bán kính đường tròn

ngoại tiếp và diện tích tam giác.



2

2

b R

Câu 5. Cho tam giác ABC có AC  7, AB  5, BAC   Tính  60 BC S, ABC, h R a,

Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn

 BC2  AB2 AC2 2 AB AC cos  BAC 72 52 2.7.5.cos 60 39



1

BAC BAC

tan Atan B



= VT b.VP=

2 2

21

Điều phải chứng minh.

Câu 11 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý CMR

Câu 12. Cho ABC  có b c   2 a Chúng minh rằng

a sin B  sin C  2sin A .

Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe

a Áp dụng định lí Sin cho ABC  ta có: sin sin sin 2

R

Suy ra: a  2 sin R A , b  2 sin R B , c  2 sin R C

Theo giả thiết ta có:

Suy ra:

2

a

S a h

 ,

2

b

S b h

 ,

2

c

S c h

 Theo giả thiết ta có:

(điều phải chứng minh)

Câu 13. Cho ABC  biết A  4 3; 1  

Mặt khác ta lại có

 A   B  C  180     B 180      A  C    B 180   87 40 33 10      59 10 B   

luuhuephuongtailieu@gmail.com

Trungkienta1909@gmail.com

Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải

nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 8

km Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 75 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến người ta tốn

thêm bao nhiêu km dây?

Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa

0108

Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu

Hai đường trung tuyến BM CN, vuông góc với nhau tại trọng tâm G nên ta có

Mặt khác a2 b2c2 2 cosbc A 2 cosbc A4a2 4 cotS  4a2  S a2.tan

Vậy diện tích tam giác ABC là

2.tan

ABC 

.

Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi l l la, ,b c

lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A B C, , Chứng

minh rằng

a)

2cos2

D

Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu

a) Ta chứng minh được sin 2 sin cos

Gọi D là điểm đối xứng của A qua trọng tâm G P là trung điểm của BC , suy ra tứ giác GCDB là hình bình hành (do hai đường chéo GD và BC cắt nhau tại trung điểm P của mỗi

đường).

Ta có:

12

Trong ABC  ta có: AC2  a2 b2 2 ab cos  ABC

0108

Trong ADC  ta có: AC2  c2 d2 2 cd cos  ADC

x x

 2 2 2 cot  R a  b  c C

C B

A

O E

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: , 2

Tam giác AOE vuông tại E nên: tan   tan

Câu 26. Cho tam giác ABC Gọi R , r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Chứng minh rằng :

1 2

 ,

4 4

b 3S 2R2sin3Asin3Bsin3C

, áp dụng định lí sin sin sinBsinC2

R A

Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn

Gọi C là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , H CC    AB

12

Câu 29. Cho ABC  Chứng minh rằng a2b2 c2 2ab2bc2ca

Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan

Tam giác ABC với ba cạnh a , b , c có chu vi là a b c  2p không đổi.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số  1;1;1 

Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều.

Câu 31. Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 2 2 2 2

Dấu " "  xảy ra khi a b c   hay tam giác ABC đều.

0108

Vậy tam giác có một góc tù

Câu 35. Tam giác ABC có a2 b2c2 36r2 thì có tính chất gì?

0108

Vậy tam giác ABC có a2b2 c2 36r2 thì ABC  đều.

0108