CHUYÊN đề hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài

Trang 1

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Cho có a =12, b =15, c =13

a Tính số đo các góc của

c Tính S, R, r

d Tính

a Tính diện tích

b Tính cạnh BC và bán kính R

3 Cho có a = 8, b =10, c =13

a co góc tù hay không?

b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

c Tính diện tích

diện tích tam giác

5 Cho AC = 7, AB = 5 và tính BC, S, , R

6 Cho có và a = 3 tính độ dài cạnh AB,

AC

7 Cho có AB = 3, AC = 4 và diện tích

Tính cạnh BC

9 Tính của có các cạnh a, b, c thỏa

hệ thức

10 Cho CMR

a

b

c

d

e

f

a

b

12 Cho có b + c =2a CMR

a

b

Nguồn: ST

ABC



ABC



ABC



, ,

a b c

h h h ABC



ABC



ABC



ABC



ABC



ABC



ABC

ABC



ABC

cos

5

A  a

h ABC

4, 2

ABC

 3 3

S  ABC



A

ABC



b b  a c a  c

ABC



2 2 2

tan tan

 



 

 2

4 sin

C



2

2 sin sin sin

2 2 1

2

S                AB AC               AB AC

cos cos

a b C c B

2

bc

ABC



MA MB MC GA GB GC  GM

4 m a m b m c 3 a b c

ABC

 sinBsinC2sinA

h h h

Trang 2

Trang 2

13 Cho biết

a Tính các cạnh và các góc còn lại của

b Tính chu vi và diện tích

14 Cho biết Tính , cạnh b,c của

tam giác đó

15 Cho biết ; ; Tính và cạnh c.

16 Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến

vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí

C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là

Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?

17 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở

bên này bờ sông từ vị trí C ở bên

kia bờ sông Biết Hãy tính khoảng cách AC và BC

nhau Tính

Hướng dẫn giải:

Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc

với nhau thì

Mặt khác

Chứng minh rằng

a

b

c

a Trước hết chứng minh công bằng sử dụng tam giác cân tại đỉnh

A có thông qua công thức diện tích

để đi đến kết luận trên

,,

Mà

b

Nguồn: ST

ABC



4 3, 1 , 0,3 , 8 3,3

ABC



ABC



ABC



40, 6; 36 20', 73

ABC

 42, 4

a36,6m

 33 10'0

C   A B, 0 75

 87 ,0  620

A  SABC

2

3m b 3m c a

2

a

2 2 2

a b c  bc A

cos cos

2 1

2

ABC

, ,

A B C

l l l

2 cos 2

A

l

b c





l  l  l  a b c

l l l a b c 

sin 2sin cos

 

 2

A 

1 sin 2

ABC

S 1 bc A

sin

A

S 1cl

sin

A

S  bl

2 cos 2

b c

      



2

A

b c



Trang 3

Trang 3

Tương tự

c Ta có

Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi lần lượt

là độ dài các đường trung tuyến đi qua A,

B, C, Chứng minh rằng

Gọi D là điểm đối xứng của A qua

trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành

Dễ thấy

Mà có ba cạnh

Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn

có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d

Chứng minh rằng

Với

Do ABCD nội tiếp nên

Trong tam giác có Trong tam giác

có

Nguồn: ST

1 1 1

l  l  l l l l

, ,

a b c

m m m

2

3 4

S  m m m m m m m

1 3



3m a 3m b 3m c

2 2 3

 

3 3

4

ABCD

S  p a p b p c p d   

2

a b c d

P   

sinABCsinADC

cosABC cosADC

1

sin 2

ABCD ABC ADC

1

1 cos

ABC

2 2 2 2 cos

AC a b  ab B

ADC

2 2 2 2 cos

AC c d  cd D

2 2 2 cos 2 2 2

    2 2  2  2

cos

B

ab cd



B

C

A

D

a

b

c d

x

Trang 4

Trang 4

Do đó

Với

Bài 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng

Ta có

Bài 23 Cho tam giác ABC có ba

cạnh là a, b, c là chứng minh

rằng tam giác có một góc bằng

Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác

Với thì a > b và a > c nên a

là cạnh lớn nhất Tính

Bài 24 Chứng minh rằng với mọi tam

giác ABC ta có

a

b

a Sử dụng định lí sin và cosin

b Gọi O là tâm đường tròn noi tiếp

Ta có

Từ hình vẽ:

Từ (1) và (2)

Nguồn: ST

1

1 cos 2

ABCD

1

ab cd

4

 2  2  2  2

1

4  a b c d   c d a b 

a b c d   a b c d   a b c d   a b c d  

ABCD

2

a b c d

p   

2 2 2 cos cos cos 2

AB BC CA   2 0

2 2 2 2 2 2

                                                 

2 2 2 cos cos cos 2

2 1, 2 1, 2 1

a x  x b1200x c x 

2

1 0

x

  







1

2

A  A

2 2 2 cotA cotB cotC a b c R

abc

sin 2

bc



 

1 sin = sin cos 1

ABC

S pr bc A bc

ABC S

p



 2

( ) tan sin cos

ABC

p



( )sin

2

bc p a p

B

A

C O

Trang 5

Trang 5

Bài 25 Tam giác ABC có tính

chất gì khi

Theo Hê rong

Tam giác ABC vuông tại A

giác Chứng minh rằng:

Ta có

Mà

Bài 27 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

a

b

c

d

a BĐT

b

Nguồn: ST

sin 2

bc

1 4

ABC

S  a b c a c b   

ABC

S                    

a b c 2 a c b2 a b c a b c a b c      a b c

a b c a c b   a b c  a b c b2 c2 a2

1 2

r

R 

, 4

2

p a p b     

2

p a p c     

2

p b p c     

8

abc

p a p b p c

2

r R

cot cot



3S2R sin Asin Bsin C

3

p  p a  p b  p c  p

2 1 4 4 4 16

S  a b c

1

sin A sin B 2 sin A sin B

3S2R sin Asin Bsin C

2

3

2

R

3 3 3

3abc a b c

Trang 6

Trang 6

c Từ Nên x, y,z dương thì áp dung vào CM

+ +

d

Bài 28 Cho tam giác ABC.

Chứng minh rằng

Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB

Xét các trường hợp + B là góc nhọn hay vuông,

+ B là góc tù

Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng

minh rằng

Ta có

Nguồn: ST

x y z  2 x2y2z22xy2yz2zx

x y z2 x2 y2 z2

2 2 2

x y z   x y z

p a  p b  p c  p a p b p c      p

 p a  p b  p c 2 3 p a p b p c      3p

2 ( )( )( )

S p p a p b p c  

a b c  a b c  a b c  a b c 

16 b c a  a b c  16 b c a a

1 sin 2 sin 2 4

ABC

2 2 2 2 2 2

a b c  ab bc ca

a b  c a b c  a b  c  ab

C

A

C’

B

C

A

C’

B

C’

C

Trang 7

Trang 7

Bài 30 Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi chỉ ra tam giác có tổng lập phương các

cạnh bé nhất

khi tam giác đều

Bài 31 Cho tam giác

ABC Chứng minh rằng

Tương tự

Nên

Bài 32 Cho tam

giác ABC Chứng minh rằng

a

b

c

a

Mà

b

Nguồn: ST

a b c  2 3(a2b2c2)

a b c a  3 b3 c3

4

a b c

 

2 2 2 2

4

a b c  r

 

,

b b  c a c c  a b

a b c a  b c b  c a c  a b

2 2

1

3

b c a a c b a b c        

h h h r

2 2 2

1

h h h r

2

b c a c a b

b c a c a b          c

2

c a b a b c

c a b a b c          a

2

b c a b a c

b c a b a c          b

abc

a b c a c b b c a abc

a b c a c b b c a

b c a   a c b   a b c   b c a a c b a b c      

1

 1 1 1 1 

h h h r

Trang 8

Trang 8

c

Ta có

Tương tự ,

Công lại ta có

Bài 33 Cho tam giác ABC có

Chứng minh rằng

Bài 34 Cho tam

giác ABC có Chứng minh rằng có một góc

tù

Mà

Bài 35 Tam giác ABC có

thì có tính chất gì?

Ta có

Mà

Vậy tam giác ABC có thì tam giác

ABC đều

HẾT _

Nguồn: ST

2 2 2 2 2 2 2

2

p

2 2

b

b c

c  

2 2

c

c a

a  

2 2 2

2

sin BsinA  C600 2sin A

sin Bsin C2sin Ab c 2a

2 2

0 1

2

A



 

3 3 3

a b c

3

a b c  c a b  a b  a b a b 

4 4 4 4 4 4 2 2

4 4 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3

2

4 4 2 2 2 2

2 2

2 2 2

0

2

ab

 

2 2 2 36 2

a b c  r

2

2 2 2

2

2 (p b p c )(  ) 2p b 2p c a

8

9

abc

a b c

 

2 2 2

a b c ab bc ca 

a b c ab bc ca   9abc

2 2 2 36 2

a b c  r

Trang 9

Trang 9

* Learning is the eye of the mind *

Nguồn: ST

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	565,89 KB