Chuyên đề Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác-L10

CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu 1.. Tính số đo các góc của V ABC.. Tính độ dài các đường trung tuyến của V ABC.. Tính độ d

CHUYÊN ĐỀ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC)

Câu 1. Cho V ABC có a = 12,b = 15,c = 13

a. Tính số đo các góc của V ABC

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của V ABC

Câu 3. Cho ∆ ABC có a = 8, b = 10, 13 c =

a) ∆ ABC có góc tù hay không?

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

c) Tính diện tích ∆ ABC

Câu 4. Cho ∆ ABC có các góc µ A = ° = ° 60 , µ B 45 , b = 2 Tính độ dài cạnh ,ac, bán kính đường tròn

ngoại tiếp và diện tích tam giác

Câu 5. Cho tam giác ABCcó AC = 7, AB = 5, · BAC = ° 60 Tính BC S , ∆ABC, , h Ra

Câu 6. Cho tam giác ABC có mb= 4, mc= 2, a = 3 Tính độ dài các cạnh AB AC ,

Câu 7. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 Tính cạnh BC

Câu 8 Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC biết AB = ,2 AC = ,3 BC = 4

Câu 9 Tínhh góc A của ∆ ABC có các cạnh a , , b c thỏa mãn hệ thức b ( b2− a2) ( = c a2− c2)

Câu 10 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

Câu 12. Cho ∆ ABC có b c a + = 2 Chúng minh rằng

a sin B + sin C = 2sin A.

a Tính các cạnh và các góc của ∆ ABC

b Tính chu vi và diện tích của∆ ABC

Câu 14. Cho ∆ ABC biết a = 40, µ 36 20 B = ° ′, C ¶ 73 = ° Tính µ A, cạnh b, c của tam giác đó

Câu 15. Cho ∆ ABC biết a = 42,4 m, b = 36,6 m, C ¶ 33 10 = ° ′ Tính µ A, µ B và cạnh c

Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi

nên người ta phải

nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 8km Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 75 ° Hỏi so với

việc nối thẳng từ A đến người ta tốn thêm bao nhiêu km dây?

Câu 17 Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông Biết

· = ° 87 ,

CAB CBA · = ° 62 Hãy tính khoảng cách AC và BC

Câu 18 Cho tam giác ABC có BC a = , µ A = α và hai đường trung tuyến BM CN , vuông góc với nhau

= +

Câu 26. Cho tam giác ABC Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, n i tiếp tam giác.ộ

Chứng minh rằng :

1 2

Câu 29. Cho ∆ ABC Chứng minh rằng a b c2+ + ≤2 2 2 ab bc ca + 2 + 2

Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương các

h + + h h ≥ r

Câu 33. Cho tam giác ABC có sin2B + sin2C = 2sin 2 A Chứng minh rằng A ≤ ° 60

Câu 34. Cho tam giác ABC có

4 4 4

3 3 3

a + = b c Chứng minh rằng tam giác có một góc tù

Câu 35. Tam giác ABC có a b c2+ + =2 2 36 r2 thì có tính chất gì?

GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC)

huyngocnguyen95@gmail.com

Câu 1. Cho V ABC có a = 12,b = 15,c = 13

a. Tính số đo các góc của V ABC

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của V ABC

c. Tính S,R,r

d. Tính ha,hb,hc

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy

a. Áp dụng định lí cosin trong V ABC ta có:

Câu 3. Cho ∆ ABC có a = 8, b = 10, 13 c =

a) ∆ ABC có góc tù hay không?

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC

c) Tính diện tích ∆ ABC

Lời giải

Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân

a) Vì a b c < < nên µ µ µ A B C < <

Câu 4. Cho ∆ ABC có các góc µ A = ° = ° 60 , µ B 45 , b = 2 Tính độ dài cạnh ,ac, bán kính đường tròn

ngoại tiếp và diện tích tam giác

6 sin 45

Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn

° BC2 = AB AC2+ 2− 2 cos AB AC BAC · = + − 7 5 2.7.5.cos60 392 2 ° = ⇒ BC = 39.

Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi

Ta có S = 3 3 ⇔ 1 2 AB AC . .sin BAC · = 3 3 ⇔ sin BAC · = 2 3

·

·

60120

BAC BAC

2 3 4

9 3 2

9 4 2

9 2

15 2

9 : 4

15 3

Câu 9 Tínhh góc A của ∆ ABC có các cạnh a , , b c thỏa mãn hệ thức b ( b2− a2) ( = c a2− c2)

2

0

0

2 2 2 2

2 2

⇔

=

− +

−

⇔

A A

bc A bc

bc a c b a

c bc b

Câu 10 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

= = = = Điều phải chứng minh.

Câu 11 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý CMR

Xuanmda@gmail.com , quankiet2@gmail.com

Câu 12. Cho ∆ ABC có b c a + = 2 Chúng minh rằng

a sin B + sin C = 2sin A.

Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe

a Áp dụng định lí Sin cho ∆ ABC ta có: 2

R

Suy ra: a = 2 sin R A, b = 2 sin R B, c = 2 sin R C

Theo giả thiết ta có:

=

.Theo giả thiết ta có:

(điều phải chứng minh)

Câu 13. Cho ∆ ABC biết A ( 4 3; 1 − ), B ( ) 0;3 , C ( ) 8 3;3 .

a Tính các cạnh và các góc của ∆ ABC

b Tính chu vi và diện tích của∆ ABC

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe

a Ta có: uuur AB = − ( 4 3;4 ) , uuur AC = ( ) 4 3;4 , BC uuur = ( ) 8 3;0

= = = − ⇒ = ° µ 120 A

Do AB AC = = 8 nên ∆ ABC cân tại A suy ra: µ µ 30 B C = = °

b Chu vi ∆ ABC bằng AB AC BC + + = + 16 8 3

Lời giải

Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa

857,167 969,472

Lời giải

Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu

Hai đường trung tuyến BM CN , vuông góc với nhau tại trọng tâm G nên ta có

Mặt khác a b c2 = + −2 2 2 cos bc A ⇒ 2 cos bc A a = 4 2⇒ 4 cot S α = 4 a2 ⇒ = S a2.tan α

Vậy diện tích tam giác ABC là S∆ABC = a2.tan α

Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi l l la b c, , lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A B C , , Chứng

minh rằng

a)

2 cos 2

= +

Gọi D là điểm đối xứng của A qua trọng tâm G P là trung điểm của BC, suy ra tứ giác

GCDB là hình bình hành (do hai đường chéo GD và BC cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường)

Ta có:

1 2

Trong ∆ ABC ta có: AC2 = + − a b2 2 2 cos ab · ABC.

Trong ∆ ADC ta có: AC c d2 = + −2 2 2 cos cd · ADC

+ +

Câu 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c , , và a x x = + +2 1, b = + 2 1, x c x = −2 1 chứng minh

Từ (1) và (2)

cos cot

ABC

S∆ = a b c a c b + − + − ⇔ 4 S∆ABC = + − ( a b c a c b ) ( + − )

Gọi C′ là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, H CC AB = ′ ∩

nvanphu1981@gmail.com, vanhuanhb@gmail.com

Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương

các cạnh bé nhất

Lời giải

Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan

Tam giác ABC với ba cạnh a, b, c có chu vi là a b c + + = 2 p không đổi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số ( ) 1;1;1 và ( a b c ; ; ) ta có:

Dấu " " = xảy ra khi và chỉ khi a b c = =

Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều

Câu 31. Cho tam giácABC Chứng minh rằng 2 2 2 2

Dấu " " = xảy ra khi a b c = = hay tam giác ABC đều.

Vậy tam giác có một góc tù

Câu 35. Tam giác ABC có a b c2+ + =2 2 36 r2 thì có tính chất gì?