DS c3 NGUYEN HAM

Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi

CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) K thì với mỗi hằng số C ,

hàm số G x( ) =F x( ) +C cũng là một nguyên hàm của f x trên ( ) K

2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) K thì mọi nguyên hàm của

( )

f x trên K đều có dạng F x( )+C , với C là một hằng số.

Do đó F x( ) +C C, ∈¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên ( ) K Ký hiệu

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên ( ) K đều có nguyên hàm trên K

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp(u u x= ( ) )

x dxα = xα+ +C α ≠ −

α +

11

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu ∫ f u du F u( ) = ( )+C và u u x= ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( )

( ) '( ) ( ( ) )

f u x u x dx F u x= +C

∫

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

3 2

f x = +x x+ là hàm số nào trong các hàm sốsau?

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F x ta được kết quả.( )

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= +x 1) (x+2)

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

x d

2

x

f x dx= − +C

4

x

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.

Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x x

f x = −e e−

A ∫ f x dx e( ) = +x e−x+C B ∫ f x dx( ) = − +e x e−x+C

C ∫ f x dx e( ) = −x e−x+C D ∫ f x dx( ) = − −e x e−x+C

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

f x dx= − − x − x C+

1 3 1 34

f x dx= − − x − x C+

C ( ) 1( )3

1 3 1 34

3 2

x e

A. ( ) sinF x = x x− cosx C+ B ( )F x =xsinx−cosx C+

C ( ) sinF x = x x+ cosx C+ D ( )F x =xsinx+cosx C+

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u

( )

3

x x

F x = + e +C

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với

3,

A.F x( )=xtanx+ln | cos |x +C B ( )F x = −xcotx+ln | cos |x +C.

C ( )F x = −xtanx+ln | cos |x +C D ( )F x = −xcotx−ln | cos |x +C

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với

2

1co

Câu 31.Tính F x( )=∫x2cosxdx Chọn kết quả đúng

A. F x( ) (= x2−2)sinx+2 cosx x C+ B F x( ) 2 sin= x2 x x− cosx+sinx C+

C F x( )=x2sinx−2 cosx x+2sinx C+ D F x( ) (2= x x+ 2) cosx x− sinx C+

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2

lần với u x dv= 2; =cosxdx, sau đó u1 =x dv; 1 =sinxdx

Phương pháp tự luận: Tính '( )F x có kết quả trùng với đáp án chọn.

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa

'( ) ( ) '( ) ( ) 0

F x = f x ⇔F x − f x =

Câu 39.Hàm số ( ) 7sinF x = x−cosx+1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f x( ) =sinx+7 cosx B. f x( ) = −sinx+7 cosx

C. f x( ) =sinx−7 cosx D.f x( ) = −sinx−7 cosx

Hướng dẫn giải: '( ) 7 cosF x = x+sinx

Câu 40.Kết quả tính 2 1 2

sin xcos x dx

A.tanx−cotx C+ B cot 2x C+

C tan 2x x C− + D tan− x+cotx C+

sin xcos x dx cos x sin x dx x x C

Hướng dẫn giải: ( ) cos5 15 (sin ) 14

A.e sin x+C B cos x esinx+C C e cos x+C D e−sin x+C

Hướng dẫn giải: Ta có∫esinxcosxdx=∫esinx d(sin )x e= sinx+C

=

− là

x C x

x C

3

x

C x

C 1ln

x C

1ln

x C

f x

x x

=+ − là

Câu 56.Biết F x là một nguyên hàm của hàm số( ) ( ) 2 ln

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

cos sin cos (cos )

C ∫ f x dx( ) =2cos4 x+3cos2x C+ D ∫ f x dx( ) =3cos4x−3cos2x C+

Hướng dẫn giải: 2sin cos3 (sin 4 sin 2 ) 1cos 2 1cos 4

( ) sin cos3 cos sin 3

(sin cos33x x+cos sin 3 3x x dx)

ln 12

x

2

ln 12

e

f x e

=+ .

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 73.Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1

1

f x

x

=+ .

f x dx= x + +C

3 23

f x dx= − x + +C

3 26

f x dx= x + +C

3 23

f x dx= − x + −x +C

8 43

f x dx= x + −x +C

43

f x dx= − −x +C

8 43

4

34

t tdt

t x

A −3 B 3 C 0 D 5

Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.

u và đạo hàm của u

F x = e x e+ x +C.Vậy A B+ =1

Câu 80.Tính F x( )=∫2 (3x x−2)6dx A x= (3 −2)8+Bx x(3 −2)7+C Giá trị của biểu thức

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u

2 x

-3 22

( 1)

15 x−

28

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm củav

x e

1 xe (nhận 2 x từ u ) x2

2

x e

-C.3sin cos2x x C+ D.cos3 cos

A.e tan x+C B tan x etanx+C C e−tan x+C D.−e tan x +C

Hướng dẫn giải: tan tan tan

x x+

3ln(x + +1) C D

3

4

x C

A ln x4+ + +x2 3 C B.2ln x4+ + +x2 3 C

− + B (5 9 )13

117

x C

− + . C (5 9 )13

13

x C

− + . D (5 9 )13

9

x C

Câu 101. Tính 2

1(cosx+sin )x dx

++

2 1

x x dx x

−+

A.−cosx+tanx C+ B cosx+tanx C+

Hướng dẫn giải: Ta có '( ) (sin cos ) ' cos sin

sin cos sin cos

Hướng dẫn giải: ∫ (3x2+10x−4)dx x= +3 5x2−4x C+ , nên m=1.

Câu 116. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số( ) f x( ) =sin 24( )x thoả mãn ( )0 3

Câu 119. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số ( )( ) f x =xcosx thỏa mãn F( )0 =1 Khi

đó phát biểu nào sau đây đúng?

sin 2

ln ln sin 3sin 3

Hướng dẫn giải: 4 2 4 sin 2

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

sin cos sin cos sin 1 sin

−

2 1 sin sin 2 1 sin

cos 2 sinx x+cos x dx

∫ =∫cos 2x(sin2x+cos2x)−2sin cos2x 2 x dx

Câu 126. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=(tanx e+ 2sinx)cosx.

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.

Câu 128. Hàm số ( ) ln sinF x = x−cosx là một nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn giải: '( ) (sin cos ) ' cos sin

sin cos sin cos

12

∫ bằng:

A.e tan x+C B tan x etanx+C C e−tan x+C D.−e tan x +C

Hướng dẫn giải: tan tan tan

A.e sin x2 +C B e sin 2x+C C e cos x2 +C D e 2sin x+C.

Hướng dẫn giải: ∫esin2xsin 2xdx=∫esin2x d(sin ) e2 x = sin2x+C

Câu 133. Kết quả ∫ecosxsinxdx bằng:

A.−e cos x+C B e cos x+C C −e−cos x+C D e−sin x+C

Hướng dẫn giải: cosxsin cosx (cos ) cosx

e xdx= − e d x = −e +C

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 134. Biết hàm số ( )F x = −x 1 2− x+2017 là một nguyên hàm của hàm số

F x = x − +x +C

Hướng dẫn giải: 3 ( 2 )

22

32

31

t x

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàmcủa v

2

2

23

x

x +

2 32

x +

1(Chuyển 22

Câu 141. Tính ∫x2cos 2xdx ax= 2sin 2x bx+ cos 2x c+ sinx C+ Giá trị của a b+ +4c bằng

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và

nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Câu 146. Cho hàm số ( )F x =∫xln(x+1)dx có (1) 0F = Khi đó giá trị của (0)F bằng

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp từng phần.

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

f x

x

=+ và có đồ thị đi qua điểm (0;1)A Chọn

kết quả đúng

A. ( )

1

x e

(Chuyển (x+1)e x qua dv )

11

x

−+

1

x e

f x

x

=+

Câu 149. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( ) ln= (x+ x2+1) thỏa mãn (0) 1F =

Chọn kết quả đúng

+

F x là hàm số nào dưới đây?

A. ( )F x =xtanx+ln | cos | 2017x + B ( )F x =xtanx−ln | cos | 2018x +

C ( )F x =xtanx+ln | cos | 2016x + D ( )F x =xtanx−ln | cos | 2017x +

Vì ( ) 2017F π = nên C =2017 Vậy ( )F x =xtanx+ln | cos | 2017x +

Câu 151. Tính F x( )=∫x(1 sin 2 )+ x dx Ax= 2+Bxcos 2x C+ sin 2x D+ Giá trị của biểu thức

cos sin 1 (sin 1)(sin 1) sin 1

A F x( )= −cosx+tanx+ 2 1− B ( ) cosF x = x+tanx+ 2 1−

C ( )F x = −cosx+tanx+ −1 2 D ( )F x = −cosx+tanx

2 1

F  = ÷π ⇔ =C −

  Vậy ( )F x = −cosx+tanx+ 2 1−

Câu 154. Một nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) 2sin 5 3

5

f x = x+ x+ thỏa mãn đồ thị củahai hàm số ( )F x và ( ) f x cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là

Câu 159. Cho hàm số f x( ) tan= 2 x có nguyên hàm là ( )F x Đồ thị hàm số y F x= ( ) cắt

trục tung tại điểm (0;2)A Khi đó ( )F x là

A.F x( ) tan= x x− +2 B ( ) tanF x = x+2

( ) tan 23

F x = x+ D. F x( ) cot= x x− +2

Hướng dẫn giải

2( ) ( ) tan tan

F x =∫ f x dx=∫ xdx= x x C− +

Vì đồ thị hàm số y F x= ( ) đi qua điểm (0;2)A nên C=2

Vậy ( ) tanF x = x x− +2.

Câu 160. Cho hàm số ( )F x là một nguyên hàm của hàm số 2

( ) tan

f x = x Giá trị của(0)