Chuyên đề hình 9.k2

 Trong một đường tròn :  Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau..  Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn một cung thì bằng nhau..  Các góc nội tiếp có s

* GÓC Ở TÂM  SỐ ĐO CUNG *

 Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm

Cung bên trong góc gọi là cung bị chắn

 Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn

 Trong một đường tròn :

o Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

o Hai cung không bằng nhau, cung nào có số đo lớn hơn

thì nó lớn hơn

 C là một điểm nằm trên AB   sd AB sd AC sdCB   

 Trong một đường tròn :

o Hai cung bằng nhau nếu hai dây căng cũng bằng nhau và ngược lại

o Hai cung không bằng nhau, cung nào lớn hơn thì dây căng cũng lớn hơn và ngược lại

Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) nội tiếp ABC ( A B C  )

a) Gọi I, J, K lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O) với các cạnh BC, CA, AB So

sánh các góc ở tâm IOJ , JOK , KOI

b) Chứng minh rằng với đỉnh A thì  900 

2

A BOC   , tìm các hệ thức tương tự với đỉnh B, C

a) Vì đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng BC

nên OI BC  OIC 900

Xét OIC có I  900 IOC OCI 900, tương

tự ta có JOC OCJ 900

Từ đó ta có : IOJ 1800 C

Tương tự : JOK 1800 A và KOI 1800 B

Vì A B C   nên JOK KOI IOJ

b) Với đỉnh A :

IOC = JOC (vì có  0

90

I  J , OI OJ và

OC chung )   1

2

Tương tự  1

2

IOB KOI mà

Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính

Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau

Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180 0

Hai tam giác vuông có một cạnh huyền

và một cạnh góc vuông bằng nhau thì chúng bằng nhau

 1   1 0  0  

2

Ví dụ 2 : Cho hai đường tròn đồng tâm O hai đường thẳng qua tâm O cắt hai đường tròn đó

tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q như hình vẽ

a) Có nhận xét gì về số đo của các cung AB , CD , MN , PQ

b) Trong các cung CD , MN , PQ có cung nào bằng cung AB ?

Bài giải

a) AOB POQ và COD MON

 AB , CD , MN , PQ có số đo bằng nhau.

b) Trong các cung CD , MN , PQ có chỉ có

cung PQ bằng cung AB

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Hai góc bằng nhau thì hai dây căng tương ứng bằng nhau

Vì hai cung trên một đường tròn cùng chắn hai góc bằng nhau thì bằng nhau

Ví dụ 3 : Trên đường tròn (O) có cung AB bằng 1400; cung lớn AD nhận B làm điểm chính giữa; cung lớn BC nhận A làm điểm chính giữa Tính số đo cung nhỏ CD, cung lớn CD

Ta có AB 1400; gọi A’, B’ lần lượt là hai điểm đối xứng với hai

điểm A, B qua tâm O

Thế thì sd AB 'sd A B ' 1800 sd AB 1800 1400 400

Vì B là điểm giữa của cung lớn AD nên B’ sẽ là điểm giữa của

Vì A là điểm giữa của cung lớn BC nên A’ sẽ là điểm giữa của

Cung nhỏ

Cung chắn nửa đường tròn bằng 180 0

Do tính chất đối xứng của đường tròn

Vì đường tròn là một hình tự đối xứng với tâm đối xứng chính là tâm của đường tròn

Khi đó cung lớn CD sẽ có số đo 300 0

Ví dụ 4 : Cho hình thoi ABCD cạnh a, BAD 600; AC và BD cắt nhau tại O.

1 Chứng minh rằng O là tâm đường tròn tiếp xúc với cả 4 cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại E, F, G, H Tính bán kính R của đường tròn này theo a

2 Tính số đo của các cung EH, EF, các góc EOH, EOF Từ đó suy ra HF là đường kính của đường tròn (O,R) và EFGH là hình chữ nhật

3 AC cắt đường tròn (O,R) tại I, K Chứng minh IEFKGH là lục giác đều

4 Tính diện tích của ABFH theo a

1 Vì ABCD là hình thoi cạnh a nên giao điểm O

của hai đường chéo AC và DB sẽ cách đều bốn

cạnh AB, BC, CD, DA

Vì BAD 600 nên ABD là tam giác đều cạnh a

Vì OE AB nên  0

90

0 0

30

BAO BAD  suy ra AOE là

nửa tam giác đều cạnh AO 

a

2.sd EH sd EOH 1800 A1800 600 1200

60

EF, FK, KG, , IE bằng nhau hay EFKGHI là

lục giác đều

4 Do ABCD là hình thoi nên AD BC //

//

thang vuông

2

Hai đường chéo của hình thoi vuông góc nên hai đường chéo chia hình thoi thành

4 tam giác vuông bằng nhau

Tam giác cân có một góc bằng 60 0

Đường cao của tam giác đều 3

2

a

Đường chéo hình thoi là đường phân giác của góc tại đỉnh đó

Đường cao của tam giác đều 3

2

a

Các cung tương ứng bằng nhau thì các dây căng các cung đó cũng bằng nhau

Hình thoi ( hình bình hành ) có các cạnh đối song song với nhau

Diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với đường cao

Ví dụ 5 : Cho tam giác cân ABC, ( ABAC ) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

a) So sánh các cung DB, BC và DC

b) Từ O hạ OI, OH, OK lần lượt vuông góc với DC, DB, BC So sánh các đoạn OI, OH, OK

a) Vì ABC cân đỉnh A nên BAC 900

  0

90

Do B nằm trên cung nhỏ CD nên

DB BC DC BD DC và BC DC

nên BD DC và BC CD  OI OH và

OI OK

b) Vì D nằm trên tia đối của tia BA nên :

Nếu BD BC thì BD BC và OH OK

Nếu BD BC thì BD BC và OH OK

Nếu BD BC thì BD BC và OH OK

Tính chất của tam giác cân : góc ở đỉnh không quá 90 0

Do tổng không đổi

Cung nào nhỏ hơn thì dây căng nó cũng nhỏ hơn

Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn; dây nào nhỏ hơn thì xa tâm hơn

Bài tập 1: Gọi MN là đường kính của đường tròn (O,R) AB, CD là hai dây vuông góc với

bán kính OM lần lượt tại I và K, ( OI OK ) và tạo thành tứ giác lồi ABCD

a) Chứng minh M là điểm giữa hai cung nhỏ AB, CD và sd BC sd AD   ; BC AD, ABCD

là hình thang cân

b) Chứng minh cung nhỏ AB lớn hơn cung nhỏ CD

c) So sánh AND và BNC ; AOC và BOD

d) Trường hợp

2

R

2

R

OK  tính độ dài hai dây AB, CD theo R và các số đo các góc AOB, COD Chứng tỏ NAB đều

Hướng dẫn

a) Đường kính vuông góc dây cung AB, CD suy ra BC AD

b) OI < OK  AB > CD

d) AB R 3, CD R 2, AOB 1200, COD 900 Mặt khác NAB cân và ANB 600

* GÓC NỘI TIẾP – GÓC GIỮA TIẾP TUYẾN VÀ MỘT DÂY *

 Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai

cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó

 Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

 Trong một đường tròn :

 Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

 Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng

chắn một cung thì bằng nhau

 Các góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm

cùng chắn một cung

 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

 Hai góc nội tiếp bằng nhau hoặc chúng cùng chắn một cung hoặc chúng chắn hai cung bằng nhau

Ví dụ 1 : Cho ABC, vẽ hai đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau ở điểm thứ hai D.

a) Chứng minh rằng ba điểm B, C, D thẳng hàng

b) Đường thẳng AC cắt đường tròn đường kính AB tại E và đường thẳng AB cắt đường tròn đường kính AC tại F Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

a) Do AB là đường kính nên ADB 900.

Do AC là đường kính nên  0

90

 BDC BDA ADC  1800hay B, C, D

thẳng hàng

b) Do AB là đường kính nên ABE 900

 BEAC

Tương tự CF AB , mà ADBC chứng

tỏ AD, BE, CF đồng quy

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90 0

Hai cạnh của một góc bẹt nằm trên một đường thẳng

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90 0

Vì ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm

Ví dụ 2 : Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R’) cắt nhau tại hai điểm A, B Qua A kẻ cát

tuyến cắt các đường tròn (O), (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai C, D Tia BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M Các tia OB, BO’ lần lượt cắt đường tròn (O’) tại các điểm thứ hai N, P

a) So sánh ACB ,  BOO '

b) So sánh CAM , PAN

Bài giải

Bài giải Giải thích

b) Tương tự ta có ADB BO O ' do đó :

2

2

Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung tương ứng

Số đo của góc ở tâm bằng

số đo của cung tương ứng

Ví dụ 3 : Cho ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ), gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

và M là điểm chính giữa cung nhỏ AB, từ M vẽ dây cung MN // BC cắt AB, AC lần lượt tại

D, E, vẽ đường cao BH

a) Chứng minh : CAN BAM ; ECM và EAN cân

b) Chứng minh BCNM, AMCN là những hình thang cân

c) Chứng minh các tam giác DAN, DMB đồng dạng với nhau, suy ra DA DB DM DN 

120

90

a) MN // BC nên MB NC  CAN BAM

Vì M là điểm giữa của AB nên  MB MA

Vì MB NC và MB MA

 MA  NC ACM NMC hay ECM cân đỉnh E, tương

tự EAN cân đỉnh E

b) Vì MN // BC nên MB NC

 MB NC  BCNM là hình thang cân Vì MA NC nên

c) Vì AND MBD ( cùng chắn MA ).

D1 D 2 ( đối đỉnh )  DAN  DMB

Hai cung của một đường tròn chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau Hai góc nội tiếp của một đường tròn chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau

Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Bài giải Giải thích

c) Vì AND MBD ( cùng chắn MA )  

D D ( đối đỉnh )

 DAN  DMB

DM DB  DA DB DM DN.  . .

d) Ta có  

0 0

60

45

Còn ABC 1800 BAC BCA   1800 600 450750

Vì MA MB NC  nên

22 30'

Vì MA MB NC  nên

22 30' 2

Suy ra

Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau từng đôi một thì chúng đồng dạng

Tỷ số các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng

Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm

Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180 0

Bài tập : Trên cạnh CD của hình vuông ABCD lấy điểm M bất kỳ

( khác C, D ) Các đường tròn đường kính CD, AM cắt nhau tại điểm thứ 2 là N Tia DN cắt BC tại P Chứng minh AC vuông góc với PM

Ví dụ 4 : Từ một điểm T ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến TP,

( P là tiếp điểm ) và cát tuyến TBA đi qua tâm O của đường tròn ( B,

A thuộc đường tròn , B nằm giữa O và T )

Vì TP là tiếp tuyến với đường tròn (O) nên

Do OP TP nên  0

90

 BTP TOP 900

Góc giữa tiếp tuyến và một dây bằng nửa góc

ở tâm cùng chắn một cung

Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính

Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau

Ví dụ 5 : Cho A, B, C là 3 điểm trên một đường tròn Người ta vẽ một đường thẳng song

song với tiếp tuyến tại A, đường thẳng song song này cắt đường thẳng AB ở M và cắt đường thẳng AC ở N Chứng minh rằng AB AM AC AN

Vì MN // AT nên TAM AMN

TAM ACB ( cùng chắn AB ) 

Do TAM ACB và A chung

nên AMN ACB

Suy ra AM AN

AC AB  AB AM. AC AN. .

Các góc so le trong bằng nhau

Góc giữa tiếp tuyến và một dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau thì chúng đồng dạng

Bài tập : Cho đường tròn (O) đường kính AB và một dây cung AP Tia AP cắt tiếp tuyến tại

B của đường tròn ở T Chứng minh :

a) AOP2ATB

b) APO BPT

Ví dụ 6 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Qua A vẽ cát tuyến CAD.

a) Chứng minh rằng khi cát tuyến qua xung quanh điểm A thì CBD ( có số đo ) không đổi.

b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc không đổi

a) Khi cát tuyến CAD thay đổi thì

2

sd BCD sd AB không đổi và

2

sdCDB sd AB không đổi nên CBD

không đổi

Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

b) Do CBD CBA ABD  và CBA ACT ( cùng chắn AC ).

ABDADT ( cùng chắn AD ).

Nên hai góc ACT ADT CBD không đổi  CTD không đổi.

Ví dụ 7 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A Qua A kẻ một cát tuyến

cắt đường tròn (O) ở B và cắt đường tròn (O’) ở C Kẻ các đường kính BOD, CO’E của hai đường tròn trên

a) Chứng minh BD song song CE

b) Chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng

c) Nếu đường tròn tâm (O) bằng đường tròn tâm (O’) thì tứ giác BDCE là hình gì ? Ch minh

a) Ta có :  

1

CEA A ( cùng chắn AC ).

 

2

ADBA ( cùng chắn AB ).

mà  

A A ( đối đỉnh )

Nên CEA ADB  BD // CE

b) Do BD là đường kính của đường tròn (O)

nên BAD 900, tương tự CE là đường kính

của đường tròn (O’) nên CAE 900mà A, B,

C thẳng hàng thì D, A, E sẽ cũng thẳng hàng

c) Nếu (O) bằng (O’) thì OA = O’A 

ABD = ACE  AB = AC và AD = AE 

BDCE là hình bình hành

Góc giữa tiếp tuyến và một dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Hai góc ở vị trí so le bằng nhau nên hai đường thẳng song song

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90 0

Khi hai đường tròn bằng nhau thì hai bán kính của chúng bằng nhau

Tính chất của hình bình hành là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Bài tập 1 : Cho đường tròn (O,R) và điểm A năm ngoài đường tròn với OA R 2 Đường tròn tâm I có đường kính OA cắt đường tròn (O) tại B, C

1 Chứng minh AB, AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) và tứ giác ABOC là hình vuông

2 OA cắt đường tròn (O) tại D và E; AMN là một cát tuyến bất kỳ của (O) chứng minh

2

3 Tìm tập hợp các trung điểm K của MN

4 AK cắt BC tại J, chứng tỏ 4 điểm I, O, K, J cùng nằm trên đường tròn và AJ AK AB2

Hướng dẫn

1 ABOACO900 ABO vuông và AO R 2 nên nó là tam giác vuông cân

2 ABD AEB ; ABM ANB ; ADN AME

3 K di động trên cung BOC của đường tròn (I).

4 ABJ AKB AJ AK AI AO AB2

Ví dụ 8 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm

C chạy trên nửa đường tròn Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc đường tròn (O) tại C và tiếp xúc đường kính AB tại D, đường tròn này cắt lần lượt CA, CB tại các điểm thứ hai là M, N Chứng minh rằng :

a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng

b) ID vuông góc MN

c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định

d) Suy ra cách dựng đường tròn (I)

a) Do AB la đường kính đường tròn (O) nên

ACB   MCN ACB900 MN là

đường kính của đường tròn (I)  M, I, N

thẳng hàng

b) Vì đường tròn (I) tiếp xúc đường tròn (O)

tại C nên OC AC và IC AC hay O, I, C

thẳng hàng

Do IC IN nên CIN cân đỉnh I,

suy ra : OCN INC ,tương tự OCN OBC

 INC OBC  MN // AB

Mặt khác IDAB nên ID MN

c) DM DN  MCD NCD ; gọi E là giao

điểm của CD với (O), ta có EA EB  E là

điểm chính giữa của đường tròn (O) 

đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố

định E

d) Cách dựng đường tròn (I) :

 Dựng OEAB (E ở nửa không chứa C)

 Nối CE cắt AB tại D

 Từ D dựng đt vuông góc AB cắt OC tại I

 Đường tròn (I) bán kính ID cần dựng

Góc nột tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90 0

Qua một điểm có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho

Tính chất tam giác cân là hai góc ở đáy bằng nhau

TỨ GIÁC NỘT TIẾP – ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP

 Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn; ( khi đó

ta cũng bảo đường tròn ngoại tiếp tứ giác)

Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn :

 Tứ giác nội tiếp đường tròn có tổng số đo của hai góc đối diện bằng 1800

 Hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc không đổi

 Hai đỉnh đối diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông

 Bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cố định

 Chứng tỏ tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông

Ví dụ 1 : Cho ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.

a) Chứng minh tứ giác AEHF, BFEC nội tiếp đường tròn Kể tên các tứ giác có thể nội tiếp đường tròn trong hình vẽ của bạn

b) Chứng minh các tam giác ABC, AEF, DEC, BFD đồng dạng

c) Chứng minh rằng : HA HD HB HE HC HF  

d) Gọi G là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh ABGC là tứ giác nội tiếp được

a) Do BE là đường cao của ABC nên

BEAC BEC 900.

Tương tự : BFC 900 chứng tỏ tứ giác

BCEF nội tiếp đường tròn

Do CF là đường cao của ABC nên

90

Tương tự : HEA 900 AEHF nội tiếp

Trong hình vẽ trên có 6 tứ giác nội tiếp

đường tròn đó là : AEHF, BCFE, BDHF,

ACDF, CDHE, ABDE

b) Ta có BFE AFE 1800;

180

Suy ra : ACBAFE

Đường cao của tam giác vuông góc với cạnh đối diện

Tứ giác có hai đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc không đổi

Tứ giác có hai đỉnh đối diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông

Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp

Hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với góc thứ

ba thì bằng nhau