Chuyên đề Hình 9-Vũ Đức Cảnh

Nhng vì lí do các em cha đợc tiếp cận các công thức tính diện tích do vậy bài toán tạo thành một trở ngại lớn.. Nội dung đề tài cần có ba phần: Các công thức tính, một số kết quả thờng d

A-Đặt vấn đề:

Trong chơng trình Toán THCS, khi nói đến bài tập hình học thì học sinh thờng nghĩ đến các bài tập chứng minh quen thuộc nh các quan hệ bằng nhau, đồng dạng, vị trí tơng đối giữa các đối tợng hình học Những định lý nào đợc áp dụng thờng xuyên thì học sinh nhớ lâu Những vấn đề khoá và có hàm lợng kiến thức không nhiều dễ bị học sinh lãng quên dẫn đến khi vấp phải các dạng toán đó th-ờng cảm thấy khó khăn và không vợt qua đợc

Một thói quen của giáo vên dạy toán thờng ít khi quan tâm đến việc phát triển các định lý trong sách giáo khoa để đợc các kết quả khác mà nhiều khi chính các kết quả đó giúp cho học sinh giải đợc nhiều bài toán hóc búa

Bản thân tôi là một cán bộ quản lí nhng vẫn trực tiếp đứng lớp và cũng là một giáo viên toán Qua kinh nghiệm giảng dạy học sinh cuối cấp cũng nh trực tiếp bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, trong những năm qua tôi đã chứng kiến những vớng mắc của học sinh trong việc giải toán Đặc biệt là những bài toán sử dụng diện tích tam giác cũng nh một số bài toán thi nếu giải bằng phơng pháp sử dụng diện tích tam giác thì sẽ có lời giải đẹp Nhng vì lí do các em cha đợc tiếp cận các công thức tính diện tích do vậy bài toán tạo thành một trở ngại lớn Thực hiện kế hoạch của Sở giáo dục và đào tạo Hải phòng về việc tổ chức một

số hoạt động trọng tâm bộ môn Toán cấp THCS năm học 2006-2007 Tôi chọn

chuyên đề: “Diện tích tam giác và ứng dụng”nhằm trao đổi cùng các đồng

nghiệp về một nội dung hình học cụ thể và thông qua chuyên đề này xin đợc trao

đổi cùng các thầy cô giáo để chúng ta cùng hoàn thành tốt nhiệm vụ dạy học

B- nội dung đề tài:

1-Xây dựng nội dung đề tài:

Đây là một nội dung không có sẵn trong sách giáo khoa cả phần lý thuyết cũng nh bài tập do vậy việc chọn nội dung để xây dựng thành chuyên đề cần đặc biệt quan tâm Nội dung đề tài cần có ba phần: Các công thức tính, một số kết quả thờng dùng và một số bài tập điển hình minh hoạ cho ý nghĩa thực tiễn của các công thức cũng nh các kết luận đã nêu ở trên

1.1 Xây dựng công thức tính diện tích tam giác:

a.Trong chơng trình lớp 8, học sinh đã chứng minh đợc công thức tính diện tích của một tam giác bất kì: S =21 a.h (1) (trong đó a là cạnh đáy, h là độ dài

đ-ờng cao tơng ứng) Trong thực tế tính toán đòi hỏi học sinh cần nắm đợc một số công thức khác

Trong tam giác AHC ta có: AH = AC.SinàC ⇒h =b.SinàC

Thay vào (1) ta có công thức (2): 1 à

2

S= abSinC

Ta vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC đờng kính AA’=2R

Trong đuờng tròn (O) ta có:

ãACB = ã 'AA B(cùng = 21 Sđ ằAB)

Mà Sinà 'A = AA AB' = 2c R = SinàC Thay vào (2) ta có công thức (3): S=abc4R .

Nh vậy, từ một công thức quen thuộc chúng ta đã xây dụng thêm đợc hai công thức mới cho phép ta có thể tính đợc diện tích tam giác khi biết dộ dài ba cạnh của tam giác và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.Vấn đề đặt ra là liệu ta

có thể tính đợc diện tích tam giác khi chỉ biết độ dài ba cạnh của tam giác.Ta xét bài toán sau:

b.Bài toán: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và bán kính đờng

tròn nội tiếp tam giác là r Gọi p là nửa chu vi tam giác,S là diện tích tam giác, gọi ra,rb,rc lần lợt là bán kính các đờng tròn bàng tiếp tam giác lần lợt nội tiếp các gócA,B,C Hãy chứng minh:

S = pr= (p-a)r a =(p-b)r b =(p-c)r c = p(p−a)(p−b)(p−c) = r.r a.r b.r c .

Chứng minh: Gọi I ,O lần lợt là tâm các đờng tròn nội tiếp , bàng tiếp tam giác

nội tiếp gócA Gọi D,E,F là các tiếp điểm của đờng tròn(I) với các cạnh

AB,BC,CA Nh vậy ta có:ID = IE = IF = r và S∆ABC =S∆IAB+S∆IBC+S∆ICA =12 AB.ID+21 BC.IE =21 CA.IF =21 a.r +21 b.r +21 c.r =12 (a+b+c).r =p.r

Tức là: S= p r. (4).

Từ O hạ OH⊥AB, OK⊥AC, khi ấy ta có: OH = OK= ra

và SABC=(SABO+SACO) – SBCO=(21 b.ra +12 c.ra ) -12 a.ra =12 (b+c-a) ra

=[

2

1

(b+c+a)- a ] ra =(p-a) ra.

Chứng minh tơng tự ta cũng có

S=(p-b) rb và S=(p-c) rc

Nh vậy ta có:S=(p-a).r a =(p-b).r b =(p-c) r c (5)

+Từ (4)và (5) ta có: S2 = pr(p-a)ra =p(p-a)rra

-Theo tính chất phân giác của hai góc kề bù ta có ãIBO =900 ⇒

ãIBD=ãBOH(cùng phụ với ãHBO), lại có ãIDB= ãBHO =900

Từ đó suy ra ∆BID ~∆OBH(g-g) ⇒

BH

ID

=OH BD

⇒ID.OH =BD.BH⇒rra=BD.BH

-Ta dễ dàng chứng minh đợc: 2BD = AB+BC –AC

⇒BD =

2

1

(a+c-b) = 12 (a+b+c)-b = p-b.(*) -Ta cũng chứng minh đợc: 2AH =AB+BC+CA

⇒AH=21 (a+b+c) =p⇒BH=AH-AB= p-c(**)

-Thay (*) và(**)vào  ta có rra=(p-b)(p-c) ❸

-Thay  vào  có:S2 = p(p-a)(p-b)(p-c)⇔S = p(p−a)(p−b)(p−c)(6)

(công thức Hê -rông)

+Từ (4) và (5) ta cũng có:

S4 =pr(p-a)ra(p-b)rb(p-c)rc = p(p-a)(p-b)(p-c) rrarbrc ⇔S4 =S2 rrarbrc ⇔S2 =

rrarbrc ⇒ S = r.r a.r b.r c (7).

Nh vậy sau khi giải đợc bài toán này, các em đợc tiếp cận với 4 công thức nữa Trong suy nghĩ của học sinh đã hình thành một phơng pháp tìm tòi: công thức tính diện tích tam giác không phải duy nhất, ta có thể tìm ra các công thức khác bằng cách vận dụng linh hoạt các kỹ năng toán học cần thiết.Và đến đây các em cũng đã đợc trang bị khá đầy đủ các công thức tính diện tích tam giác mà với trình độ của học sinh bậc THCS có thể nắm đợc

1.2.Một số kết luận quan trọng: Trong quá trình giải các bài tập có liên quan đến diện tích tam giác ta thờng sử dụng một số kết luận Ngoài các kết luận đã đợc trình bày trong sách giáo khoa, xin phép không trình bày lại, sau đây là các kết luận khác đợc rút ra từ các bài tập sau đây:

Bài tập1: Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trên cạnh BC.

Chứng minh rằng:

ADC

ABD

S

S

∆

∆ = DC BD

Chứng minh: A

B H D C

Kẻ đờng cao AH⊥BC, Ta có:SABD =21 AH.BD, SACD =21 AH.DC ,

suy ra:

ADC

ABD

S

S

∆

∆ =

DC AH

BD AH

2 1

2

1

= DC BD (đpcm)

Từ bài toán trên ta có kết luận:Đờng thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và một điểm bất kỳ trên cạnh đối diện chia tam giác đã cho thành hai tam giác có diện tích tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh còn lại

Trờng hợp đặc biệt 1: Đờng trung tuyến chia một tam giác thành hai tam

giác có diện tích bằng nhau.

Trờng hợp đặc biệt 2: Phân giác của một tam giác chia tam giác đã cho

thành hai tam giác có diện tích tỷ lệ với hai cạnh của góc đó.

Bài tập2:Cho tam giác ABC, O là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng Đờng

thẳng AO cắt BC tại M Chứng minh:

OBC

ABC

S

S

∆

∆ =OM AM

Chứng minh: A

Kẻ AH⊥BC,OK⊥BC,

khi đó:SABC =12 AH.BC, SOBC =21 OK.BC O

⇒

OBC

ABC

S

S

∆

∆

=

BC OK

BC AH

2 1

2

1

=OK AH  B H K M C

Mặt khác ta lại có:AH//OK⇒

OK

AH

=OM AM 

Từ và  ta suy ra:

OBC

ABC

S

S

∆

∆ =OM AM (đpcm)

Bài tập 3:Cho tam giác ABC có BC=a,CA=b,AB=cvà c≤b≤a Gọi S là diện tích tam giác.Chứng minh:S≤12 bc

Chứng minh:Xét các trờng hợp xảy ra của góc A

+Nếu àA=900 ⇒S =12 AB.AC = 21 b.c

+Nếu àA<900 hoặc àA>900 Khi ấy ta hạ BH⊥AC thì ta luôn có BH<AB(Quan

hệ hình chiếu và đờng xiên)

⇒ S =

2

1

AC.BH<12 AB.AC = 12 bc

Tóm lại: S≤12 bc,dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi àA =900

Qua bài toán này ta rút ra kết luận:Diện tích tam giác không lớn hơn nửa

tích hai cạnh bất kỳ của tam giác.

1.3.Một số bài tập ứng dụng các công thức tính diện tích tam giác:

Ví dụ1: Một cách chứng minh khác về định lí Ta lét

Xét tam giác có DE//BC,(D∈AB,E∈AC) ta có: DB AD =

BDE

ADE

S

S

∆

∆ ;EC AE =

CDE

ADE

S

S

∆

∆

Mà DE//BC nên S∆BDE =S∆DCE, từ đó suy ra: DB AD =EC AE

Ví dụ 2: Một cách chứng minh khác về tính chất phân giác.

Xét tam giác ABC,

phân giác AD,ta có

ACD

ABD

S

S

∆

∆ =DC BD

Hạ DH⊥AB,DK⊥AC

ta có DH=DK,

Mà SABD=21 DH.AB,

SADC =21 DK.AC,

Do đó:

ACD

ABD

S

S

∆

∆ = AC AB

Từ đó suy ra:DC BD = AC AB (đpcm)

Ví dụ3: Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM Kẻ MH vuông

góc với AB, MK vuông góc với AC

Chứng minh: MH.BD = MK.DC

Cách 1: (Không dùng kết quả của

bài toán diện tích):

Trên tia đối của tia AB lấy điểm E

sao cho AB=AE

Ta có tứ giác AHMK là tứ giác nội

tiếp

( ãAHM +ãAKM =1800), do đó ãHMK =

ãEAC  và ãMHK =ãMAK

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK),

mà AM//CE(AM là đờng trung bình của tam giácBCE)

nên ãMAK =ãACE.

Từ đó suy ra ãMHK =ãACE

Từ  và ta suy ra ∆HMK~∆CAE (g-g)

⇒

AB

KM AE

KM CA

AB

CA KM

HM = (*) Mặt khác theo tính chất phân giác ta có:AC AB =DC BD (**)

Từ (*) và (**) ta có HM KM =CD BD ⇒MH.BD =MK.CD(đpcm)

Cách 2:

Theo tính chất phân giác, với AD là phân giác của ãBAC ta có:AC AB =DC BD (*) Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh BC nên S∆ABM = S∆ACM , do đó ta có: HM.AB =KM.AC ⇒

AB

CA KM

HM = (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra: KM HM =CD BD ⇒MH.BD =MK.CD(đpcm).

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là BC=a,CA=b,Ab=c G là trọng tâm

của tam giác Gọi x,y,z lần luợt là khoảng cách từ G đến các cạnh a,b,c

Chứng minh: bc x = ac y = ab z (*)

Giải: -Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của BC, CA và AB thì theo tính chất

trọng tâm của tam giác ta có:GM AM = 31 ;GN BN =31 ;GP CP =31

Nh vậy ta có GM AM =GN BN =CP GP

Theo kết quả bài tập 2:

GBC GCA GAB

ABC ABC ABC

= =

SGBC = SGCA = SGAB, từ đây ta lại

có:a.x =b.y = c.z => ax by cz

abc =abc = abc =>

bc =ac = ab

Sau khi giải đợc bài toán nay thì cũng suy ra ngay cách giải của bài toán sau:

“Cho tam giác ABC có ba cạnh là BC=a,CA=b,Ab=c G là một điểm nằm trong tam giác Gọi x,y,z lần luợt là khoảng cách từ G đến các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức: bc x = ac y = ab z Chứng minh G là trọng tâm của tam giác”.(bài toán ngợc của bài toán trên).

Ví dụ5: Cho tam giác ABC vuông tại A,phân giác trong AD và phân giác

ngoài AE.Cho biết AB < AC Chứng minh các hệ thức:



AD AC

AB

2 1

1

= + AB1 −AC1 = AE2

Phân tích: Đây cũng là một bài toán khó đối với đa số học sinh Khi vẽ hình

và phân tích yêu cầu của bài toán này các em học sinh có một số phát hiện ban

đầu : ãDAE = 900, ãEAB =ãBAD =ãDAC =450 Khi quan sát đề bài ở đây có 2 gần gũi với Sin450( = 22 )

Nếu sử dụng công thức(2) ta có thể tính diện tích của các tam giác EAB,BAD

và DAC theo góc 450.Điều này sẽ làm nảy sinh hệ số 2

Giải: Ta có:SABC =SABD +SACD ⇔

2

1

AB.AC =21 AB.AD.Sin450 +21 AC.AD.Sin450 ⇔AB.AC =

2

1

(AB+AC).AD

⇒

AD AC

AB

2 1

1

= + (chia cả hai vế cho 12 AB.AC.AD)

Phần  chứng minh tơng tự

Lời bàn: Chúng ta thử hình dung, nếu học sinh cha đợc trang bị công thức (2)

cùng với phơng pháp tiếp cận bài toán trên cơ sở khai thác hiệu quả công thức tính diện tích thì liệu rằng có bao nhiêu học sinh đủ khả năng vợt qua đợc bài toán này!

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB lần lợt tại P,Q,R

CR

OR BQ

OQ AP

OP

 + + ≥ 9

OR

CR OQ

BQ OP

AP

Phân tích: Đây là một bài toán điển hình về việc sử dụng diện tích tam giác.

Khi xem xét bài tập này thì đồng thời ta cũng giải đợc các trờng hợp riêng khi O

là các điểm đặc biệt của tam giác Phơng pháp giải bài tập đã đợc gợi mở thông qua ví dụ 4 Để chứng minh hệ thức  học sinh có thể sẽ nghĩ đến việc biểu diễn các tỉ số giữa hai đoạn thẳng thông qua tỉ số diện tích của hai tam giác sau

đó có thể thực hiện đợc phép tính cộng các tỉ số có cùng mẫu Nh vậy nếu đặt bài toán này vào thời điêm phù hợp thì chắc chắn các em sẽ giải đợc phần  một cách nhẹ nhàng

Hệ thức  có một đặc điểm dễ phát hiện: mỗi tỉ số trong  đều là nghịch đảo của các tỉ số trong .Để chứng minh đợc hệ thức chỉ cần học sinh đã đợc tiếp cận bất đẳng thức quen thuộc:









c b a

1 1 1

≥ 9

Từ đây ta có lời giải nh sau:

Giải: Ta có:

ABC

OBC

S

S

∆

∆ =OP AP ;

ABC

OAC

S

S

∆

∆ =OQ BQ ;

ABC

OAB

S

S

∆

∆ =CR OR ⇒

CR

OR

BQ

OQ

AP

OP

+

ABC

OBC

S

S

∆

∆ +

ABC

OBC

S

S

∆

∆ +

ABC

OAB

S

S

∆

∆

=

ABC

OAB OAC

OBC

S

S S

S

∆

∆

∆

=

ABC

ABC

S

S

∆

∆

CR

OR BQ

OQ

AP

OP

(đpcm)

 áp dụng bất đẳng thức(a + b+c) 









c b a

1 1 1









CR

OR BQ

OQ AP

OP











OR

CR

OQ

BQ

OP

AP

CR

OR BQ

OQ AP

OP

OR

CR OQ

BQ OP

AP

,dấu “=” xảy ra khi và chỉ khiOP AP = OQ BQ =CR OR = 13 ⇔O là trọng tâm của tam giác (đpcm).

(Việc chứng minh bất đẳng thức: (a + b+c) 









c b a

1 1 1

≥ 9 xin không trình bày

ở đây)

Ví dụ 7:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, gọi r là bán kính đờng tròn nội

tiếp; ha ,hb,hc lần lợt là các đờng cao của tam giác

Chứng minh:ha+hb+hc ≥9r

Giải: Ta có :a.ha =2S =r(a+ b+c)⇒ha = (1+a b +a c )r

Tơng tự ta cũng có :hb = (1+b a +b c )r ; hb = (1+b c +c a )r

Từ đó ta có: ha+hb+hc=(1+a b +a c )r +(1+b a +b c )r +(1+c b +a c )r = (1+b a +a c +1+b a +b c +1+b c +a c )r =(3 +b a +a c +b a +b c +b c +c a )r ≥9r

( vì a b +a c +b a +b c +c b +a c =(b a +b a )+(a c +a c )+(b c +b c )≥ 2+2+2 =6)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c ⇔Tam giác ABC là tam giác đều

1.4 Các bài tập tự giải:

Bài tập 1: Cho (O;R),vẽ hai dây cung bất kỳ cắt nhau tại I là AB và CD.I nằm

trong dờng tròn Gọi M là trung điểm của BD MI kéo dài cắt AC tại N Chứng minh hệ thức:NC AN = 22

IC AI

(HD:sử dụng công thức (2))

Bài tập 2:Cho tam giác ABC có AB =2AC,phân giác AD Gọi r, r1, r2 lần lợt là bán kính các đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, ACD và ABD và p là nửa chu vi tam giác ABC

Chứng minh: AD = pr3 









2 1

2 1

r

r -p

(HD:sử dụng công thức (4)).

Bài tập 3:Trong tất cả các tam giác có cùng chiều dài là a, cùng chiều cao

t-ơng ứng là h, hãy tìm tam giác có bán kính đờng tròn nội tiếp trong tam giác ấy

là lớn nhất

(HD:Sử dụng công thức(1) và công thức(4))

Bài tập 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn tâm O, bán kính r Kẻ tiếp tuyến của đờng tròn tâm O, song song với ba cạnh của tam giác ABC Ba tam giác nhỏ có diện tích lần lợt là: S1, S2, S3 Gọi S là diện tích tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất: S1 S2 S3

S

+ +

(HD: Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác và bất đẳng thức Bunhia Copxki).

Bài tập 5:Cho tứ giác ABCD và một điểm O bên trong tứ giác.Gọi S là diện

tích tứ giácABCD.Chứng minh rằng:OA2+OB2+OC2+OD2 ≥2S Dấu “=” xảy ra khi nào?

(HD:sử dụng kết quả của bài tập 3)

Bài tập 6:(cho máy tính bỏ túi): Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a=

5,35674cm, b =6,89745cm,c =8,12437cm Hãy tính:

.chu vi tam giácABC

.Diện tích tam giácABC

.Các đờng cao của tam giác

 Các góc của tam giác

.Bán kính các đờng tròn nội tiếp,ngoại tiếp,bàng tiếp tam giác

2.Các giải pháp phổ biến đề tài trong thực tế:

Chúng tôi đã triển khai đề tài này từ năm học 2002- 2003, dới hình thức dạy lồng ghép vào chơng trình ôn tập và bồi dỡng học sinh giỏi Từ năm học

2005-2006, khi có chơng trình giảng dạy môn học tự chọn, chúng tôi đã đa chuyên đề

này vào giảng dạy chủ đề nâng cao ở học kỳ II lớp 9 Việc triển khai đã có nhứng kết quả ban đầu rất đáng khích lệ

3.Một số kết quả đã đạt đ ợc:

Từ năm học 2002-2003 chúng tôi đã triển khai chuyên đề này trong toàn trờng một cách hoàn chỉnh ngay từ đầu năm học đến toàn thể giáo viên toán trong nhà trờng Qua quá trình giảng dạy chúng tôi đã thu đợc ý nghĩa thực tiễn cao của chuyên đề Trong quá trình giảng dạy chúng tôi thấy: Hầu hết học sinh khi đợc tiếp cận với chuyên đề này đều tỏ ra rất phấn khởi và ngạc nhiên nhận thấy rằng chính các em cũng có thể tự tìm ra những kết luận mới, những phơng pháp giải quyết vấn đề mới Các thầy cô giáo khi đợc sử dụng chuyên đề này đều thừa nhận giá trị thực tiễn cao của chuyên đề và từ đó đã dấy lên một phong trào nghiên cứu tìm tòi những “trục” kiến thức tiềm ẩn trong chơng trình mà cha đợc sách giáo khoa xây dựng hoàn chỉnh Một kết quả rất rõ ràng là bằng phơng pháp nghiên cứu tìm ra những “trục” kiến thức tơng tự nh chuyên đề này mà trong những năm qua học sinh của trờng đã đạt đợc những kết quả cụ thể:

- Năm học 2003-2004: Có một em đoạt giả khuyến khích môn Toán cấp thành phố lớp 7

- Năm học 2004-2005: Có 1 em đoạt giải khuyến khích cấp thành phố môn Toán lớp 9

-Năm học 2005-2006: Có 1 em đoạt giải khuyến khích môn MTBT lớp 9 -Năm học 2006-2007: Hiện có 1 em đợc vào đội tuyển môn Toán lớp 9 dự thi thành phố và 2 em dự thi môn MTBT cấp thành phố Trong những năm qua học sinh dự thi vào lớp 10 hằng năm đều có học sinh đạt điểm giỏi về môn toán và khi học lên các em đều đã phát huy tốt những hiểu biết đã đợc tiếp cận và đó là

điều kiện cần giúp cho việc chiếm lĩnh kiến thức của các em có nhiều thuận lợi

C-Kết luận:

Việc thực hiện chuyên đề chuyên sâu hình học 9 đã đem lại những thành công ban đầu rất đáng khích lệ.Nó đã khẳng định một việc làm đúng đắn trong phơng pháp giảng dạy toán ở trờng THCS Phát huy những thành công ban đầu chúng tôi sẽ tiếp tục hoàn chỉnh hơn các chuyên đề có tính chất bao quát hơn để việc giảng dạy môn toán ngày càng có hiệu quả cao

ý tởng xây dựng chuyên đề này hoàn toàn xuất phát từ thực tiễn dạy và học toán ở trờng THCS Vinh Quang trong những năm qua Đối với tập thể giáo viên của trờng thì việc ứng dụng chuyên đề này là việc làm thiết thực và có tính thực tiễn rất cao Trong quá trình áp dụng chúng tôi đã phát hiện ra những hạn chế và

đang từng bớc khắc phục.Chúng tôi tin tởng rằng nếu có thể xây dựng thêm các