Chuyên đề hình 9.k1.1

Định lý Pitago : Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.. Định lý đảo : Nếu một tam giác có một cạnh nào đó bằng tổng các bình

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 Định lý : Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

2 Định lý Pitago : Trong một tam giác vuông bình phương

cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông

Định lý đảo : Nếu một tam giác có một cạnh nào đó bằng tổng

các bình phương của hai cạnh góc vuông thì góc đối diện với cạnh đó bằng 900

3 Định lý trung tuyến : Trong một tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa

cạnh huyền

2

BC

4 Định lý hình chiếu : Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân

giữa cạnh huyền và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

5 Định lý liên quan đường cao : Trong một tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền

là trung bình nhân giữa hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Trong một tam giác vuông tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền

Trong một tam giác vuông nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông

ABC A

6 Định lý liên quan tỷ số lượng giác :

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng :

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề;

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề

ABC A





7 Các hệ quả :

1) Đường chéo hình vuông cạnh a : d a 2 2) Đường cao của tam giác đều cạnh a : 3

2

a

Ví dụ 1 : Cho  0

ABC A BC a CA b AB c AM m AH h HB c HC b

Hãy viết các hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với ABC ?

Bài giải

Tam gác ABC vuông ở A ta có :

1) B C 900

a b c , định lý Pitago

3)

2

a

m 

4) b2 a b c '; 2 a c '

5) h2 b c' '

6) a h b c

7) 12 12 12

h b c .

8) b a sinB a cosC c tgB c  cotgC;

c a sinC a cosB b tgC b  cotgB

Ví dụ 2 : Tính x , y trong mỗi hình vẽ sau :

a) b) c)

d) e) f)

Bài giải

a) Vì x , y là độ dài các đoạn thẳng nên x  , 0 y  0 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

2 2

AB BC HB

AC BC HC









2 2

6 8

x y x

x y y









2 2

6 8

x xy

xy y







x2 y2 62 82x y x y     28, (1)

BC AB AC  x y 2 6282 102 10

10

x y

x y



Nếu x y 10, thay vào (1) ta được : 10x y  28 14

5

x y 

Ta có hệ phương trình :

10 14 5

x y

x y









x y

Nếu x y 10, thay vào (1) ta được : 10x y  28 14

5

x y 

Ta có hệ phương trình :

10 14 5

x y

x y













18 5 32 5

x y









 



x y

b) Vì x , y là độ dài các đoạn thẳng nên x  , 0 y  0

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

AB BC HB122 20.x 36

5

x 

BCHB HC x y 20 36 64

20

y   

x y

c) Vì x , y là độ dài các đoạn thẳng nên x  , 0 y  0

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

AB BC HBx  2 1 4 1 x  2 5 x  5;

2

AC BC HCy  2 1 4 4 y 2 5.4y 2 5. Vậy : x  5, y 2 5

d) Vì x , y là độ dài các đoạn thẳng nên x  , 0 y  0 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : BC2 AB2AC2y  2 52 72

y 2 74y  74;

HB BC AB AC x y 5.7 x 35

y

74

x 

74

e) Vì x , y là độ dài các đoạn thẳng nên x  , 0 y  0

Ta có : AH2 HB HC 22 1.xx  ;4

AC AH HC y2 22 x2y  2 22 42y 2 5. Vậy : x  , 4 y 2 5

f) Vì x , y là độ dài các đoạn thẳng nên x  , 0 y  0 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

AH HB HC122 16xx  ;9

AB BC HBy2 16x x y 2 16 9 9 

y 2 25.9y 15 Vậy : x9;y15

Ví dụ 3 : Trong tam giác vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy

tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền

Bài giải

a) Giải sử có tam giác ABC thỏa mãn AB3,AC 4

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

BC AB AC BC  2 32 42 BC   2 52 BC  5

Ta có : AB2 BC HB  32 5.HB  9

5

HB 

Tương tự : AC2 BC HC  42 5.HC  16

5

HC 

Ví dụ 4 : Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài là 3

và 4 Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này

Bài giải

Giải sử ABC vuông ở A thỏa mãn HB3,HC 4 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

2

AH HB HCAH 2 3.4 12 AH  3.4 2 3 Xét tam giác vuông AHB có :AB2 AH2HB2

12 9 21

AB     AB  21 Tương tự : AC2 AH2HC2 AC  2 12 16 28 AC 2 7

Ví dụ 5 : Cho một tam giác vuông biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền bằng

125cm Hãy tính các cạnh góc vuông và hình chiếu của chúng trên cạnh huyền.

Bài giải

Giải sử ABC vuông ở A có tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 nếu cạnh AB có độ dài là 3a thì cạnh AC có độ dài 4a

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

AB AC BC 3a24a2 125225a 2 1252

a 25 Suy ra hai cạnh góc vuông là :

 

AB a  cm , AC 4a4.25 100 cm

AB HB BC752 125.HBHB45cm Tương tự : HC 80cm

Ví dụ 6 : Cho ABC vuông ở A biết 5

6

AB

AC  và đường cao AH 30cm Tính HB, HC.

Bài giải

Hai tam giác vuông ABH, CAH đồng dạng nên :

AB AH

AC HC 

6HC  HC36cm Mặt khác AH2 HB HC 302 HB.36HB25cm

Ví dụ 7 : Cho ABC từ một điểm M bất kỳ trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông

góc với các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng BD2CE2AF2 DC2EA2FB2

Bài giải

Do MD vuông góc BC nên MDB 900.

Xét BDM có  0

90

D  nên BD2 BM2 MD2 Tương tự ta có : CE2 CM2 ME2, AF2 AM2 MF2

BD2CE2AF2 BM2 MD2CM2 ME2AM2 MF2

BD2CE2AF2 CM2 MD2AM2 ME2BM2 MF2;

BD CE AF DC EA FB

Định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn Cho tam giác ABC vuông ở A

_ sin

_

canh doi di canh huyen hoc

_

canh ke khong co

canh huyen hoc

_ tan

_

canh doi doan canh ke ket

_

canh ke ket canh doi doan

Ví dụ 8 : a) Dựng góc  biết sin 2

3

  ; b) Dựng góc  biết tan 3

7

 

Bài giải

a) Dựng góc vuông xOy , lấy một đoạn thẳng bất kỳ làm đơn vị đo.

Trên tia Oy lấy điểm M sao cho OM  , lấy M làm tâm vẽ đường tròn 2 tâm M bán kính R  ; đường tròn này cắt trục Ox tại điểm N.3

Thế thì :  ONM !

b) Dựng góc vuông xOy , lấy một đoạn thẳng bất kỳ làm đơn vị đo.

Trên tia Oy lấy điểm M sao cho OM  , trên tia Ox lấy N sao cho 3 ON  7

Thế thì :  ONM !

Ví dụ 9 : Cho ABC vuông ở A, AB6,cm và B Biết  5

tan

12

  , hãy tính a) cạnh AC; b) cạnh BC

Bài giải

ACAB tgC ABtg    cm ; Theo Pitago ta có : BC  AB2 AC2  622,52 6,5cm

Ví dụ 10 : Tính các tỷ số lượng giác của góc 30 , 0 45 , 0 60 So sánh các kết quả tìm được 0

có thể rút ra tính chất gì ?

Bài giải

 600

C  Trên tia đối của tia AC lấy C’ đối xứng với C qua A.

Thế thì BCC’ là tam giác đều, cạnh a

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

3

BC a AC  AB

sin 30

2

a AC

BC a

0

3 3 2

s30

2

a AB co

BC a

tan 30

2

a AC

AB a

0

3 2

2

a AB

a AC

0

3 3 2

sin 60

2

a AB

BC a

s60

2

a AC co

BC a

0

3 2

2

a AB

a AC

cot 60

2

a AC

AB a

Giải sử có tam giác ABC thỏa mãn A90 ,0 B450thì có ngay C 450

Thế thì ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, cạnh a thì cạnh huyền a 2

sin 45

2 2

AC a

BC a

cos 45

2 2

AB a

BC a

0

AB a

   0

AC a

 00   9000 sin   ; 01 cos  1

 Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia; và ngược lại

Ví dụ 11 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết AB  , 6 AC  Tính tỷ số lượng giác của 8 góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc C

Bài giải

a) Ta có : BC  AB2 AC2  8262  102 10

sin

AC B BC

s

AB

co B

BC

tan

AC B AB

cot

AB B AC

5

C  B ; cos sin 3

5

Ví dụ 12 : Cho tam giác ABC vuông ở A kẻ đường cao AH Tính sin B , sin C trong mỗi

trường hợp sau ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ):

a) AB  , 13 BH  5 b) HB  , 3 HC  4

Bài giải

a) Ta có AH  AB2HB2  13252  122 12

12

13

AH B AB

2

AB BC

HB

2

13

5

5

AB C BC

b) Ta có AH  HB HC  3.4  12 2 3

3 4 7

BC HB HC   

AB BC HB   ;

21

AH B AB

AC  BC HC   ;sin 12 12 3 0,6547

28

AH C AC

Ví dụ 13 : Hãy tìm sin, cos ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ); nếu biết :

3

  b) cot 3

4

 

Bài giải

a) Giả sử ABC có  0

90

A  , tgC tg  13

BC  AB AC    

1

3,1623

AB BC

3,1623

AC BC

b) Giả sử ABC có  0

90

A  , cotgC cotg  34

Ta có BC  AB2AC2  4232  52  5

4

5

AB BC

5

AC BC

Việc tính tỷ số lượng giác của các góc đặc biệt (0 , 0 30 , 0 45 , 0 60 , 0 90 ) dựa vào tam giác 0

vuông nói chung là tương đối dễ Tính tỷ số lượng giác của một góc bất kỳ không đơn giản chút nào Ngày nay với sự hỗ trợ của máy tính chúng ta có thể tính tỷ số lượng giác của một góc bất kỳ một cách nhanh và tương đối chính xác

Mở máy bằng cách nhấn phím : SHIFT + ON

Chọn chế độ hiển thị : MODE 3 + 1

Chọn số (4) chữ số thập phân đứng sau dấu phẩy : MODE4 + 1 + 4

Ví dụ 1 : Nhập vào máy một góc bằng 27 0 19’ 36’’ ta nhấn các phím sau :

2 + 7 + 0’’’ + 1 + 9 + 0’’’ + 3 + 6 + 0’’’ + = có kết quả 0

27 19'36''

Ví dụ 2 : Tìm tỷ số lượng giác của một góc nhọn cho trước :

a) Giả sử tìm sin17 0 18’ 25’’ ta nhấn các phím sau :

sin + 1 + 7 + 0’’’ + 1 + 8 + 0’’’ + 2 + 5 + 0’’’ + = có kết quả 0, 2975

b) Giả sử tìm cotg32 0 18’ 25’’ trên máy không có phím cotang nên ta biến đối đưa về hàm

1 cot 32 18'27 ''

t 32 18'27''

g

g

1 +  +  + tan + 3 + 2 + 0’’’ + 1 + 8 + 0’’’ + 2 + 7 + 0’’’ +  + = có kết quả.

Ví dụ 3 : Tìm góc nhọn x khi biết một tỷ số lượng giác của nó :

a) Giả sử tìm góc nhọn x biết cos x 0, 2736 ta nhấn các phím sau :

SHIFT + cos -1 + 0 + + 2 + 7 + 3 + 6 + = + 0’’’ có kết quả.

b) Giả sử tìm góc nhọn x biết tgx 2,6750 ta nhấn các phím sau :

SHIFT + tan -1 + 2 + + 6 + 7 + 5 + 0 + = + 0’’’ có kết quả.

Tắt máy bằng cách nhấn phím : SHIFT + AC

Ví dụ 14 : Giả sử có hai chiếc thuyền đang ở vị trí A, B chọn hai vị trí trên bờ A, D sao cho

khoảng cách AD380mvà A, B, C thẳng hàng, từ D đo được ADB 500, BDC 150

Tính khoảng cách giữa hai thuyền B và C

Bài giải

ABD A AD m ADB

 ABAD.tanD380.tan 500ta nhấn các phím sau :

380 + x + tan + 5 + 0 + 0’’’ + = có kết quả 452,8664.

Xét ACD A: 90 ,0 AD380, m ADC, ADB BDC 500150 650

380 + x + tan + 6 + 5 + 0’’’ + = có kết quả 814,9126.

 

362,0462

BC AC AB  m

Ví dụ 15 : Tính cạnh x trong các hình vẽ sau :

Bài giải

a) Giả sử ABC có A 900, AB  , 63 C 47 26'0 .

xAC AB cotgB cotg ; dùng máy tính tìm 0

47 26' 0,9185

Suy ra : x63.cotg47 26' 57,860 

b) Giả sử ABC có  0

90

A  , AC  , 16 0

31 27 '18''

16

18,76

AC

C

Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng tọa độ, các đỉnh tam giác ABC có tọa độ như sau : A1;1;

5;1

B ; C7;9 Hãy tính :

a) Giá trị của tg BAC , ( làm tròn đến 4 chữ số thập phân );

b) Độ dài cạnh AC

Bài giải

a) Ta có :

 H C2  H C2 7 72 1 92 8

CH  x  x  y  y      ;

 H A2  H A2 7 12 1 12 6

AH  x  x  y  y     

6

CH

tg BAC

AH

b) Vì AC  AH2CH2  6282  102 10

Ví dụ 17 : Trong hình vẽ sau hãy tính sin L , ( làm tròn đến số thập phân thứ tư ).

Bài giải

Từ L kẻ đường cao MH với cạnh LN; ta có : Xét HMN có  0

90

H  ,  0

30

N 

HM MN.sinN 2,8.sin 300 Xét HML có  0

90

H  HM ML.sinL4,2.sinL

2,8sin 30 4, 2sin L

0

2,8sin 30

4, 2

Ví dụ 18 : Trong hình vẽ sau biết AB  , 9 AC 6, 4, AN 3,6;  0

90

AND  ,  0

34

DAN  .

Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN d) AD.

Bài giải

a) CN  AC2 AN2  6,42 3,62 5, 2915.

9

ABN    ABN 23 34'41''0 .

6, 4

AN CAN

AC

    CAN 55 46'16''0 .

AN

Ví dụ 19 : Trong hình vẽ sau biết ACE 900, AB BC CD DE   2

Hãy tính : a) AD, BE b) DAC c) BXD

Bài giải

a) Xét ACD có  0

90

C  , ACAB BC   2 2 4;

AD AC CD     Tương tự : BE 4,4721

4

CD

tg DAC

AC

    DAC 26 33'54''0 c) BXD XDC DCB CBX   3600

BXD   XDC CBX   XDC;

Mà XDC900 DAC900 26 33'54'' 63 26'6''0  0

270 126 52'12' 143 7 '48''

Ví dụ 20 : Trong hình vẽ sau biết QPT 180,

150

PTQ  , QT  , 8 TR  5

Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR

Bài giải

PQT    

0

TK TQ Q ; TK PT.sinP PT sin180 PT.sin180 8.sin120;

0 0

8.sin12

5,3825 sin18

b) Ta có PR PT TR  5,3825 5 10,3825  cm;

Kẻ đường cao RH, ta có 0

0

QK QT Q    PQ PK KQ  5,1191 7,6085 12,7276 

PQR

Ví dụ 21 : Trong hình vẽ sau biết tam giac BCD đều cạnh bằng 5cm và DAB 400

Hãy tính : a) AD b) AB

Bài giải

BC

Xét ADE có E 900, A 400, DE 4,3301 nên : DE AD.sinA

DE

A

b) Xét ADE có E 900, A 400, DE 4,3301

Nên :AEDE.cotgA4,3301.cot 40g 0 5,1604;

 ABAE BE 5,1604 2,52,6604 cm

CÁC BÀI TOÁN CÓ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

1 Dạng bài toán biết cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh huyền BC a và góc nhọn B 

Tính các cạnh góc vuông và góc nhọn còn lại

Bài giải

Ta có : AC BC.sinB a sin;

AB BC co B aco  s  s C900 B900 

Bài 1 : Thang AB dài 6,7 m tựa vào tường làm thành góc 630 với mặt đất Hỏi chiều cao của

thang đạt được so với mặt đất ?

Bài giải

Xét ABH biết AB6,3m,  0

63

B  :

0

AH AB B   m

Bài 2 : Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt

nước biển một góc 210

a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu ? Khi

đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu ?

b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu 1000m ?

Bài giải

a) Xét ABH biết AB300m, A 210: Khi đó tàu ở

độ sâu :BH AB.sinA300.sin 210 107,5104m

b) Muốn ở độ sâu 1000m thì tàu phải chạy quãng

HB

A

2 Dạng bài toán biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông

Bài toán 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh góc vuông AB c và góc nhọn B 

Tính cạnh huyền, cạnh góc vuông kia và góc nhọn còn lại

Bài giải

Ta có : ACAB tgB c tg.  .  ;

AB BC co B s 

AB c BC

 0  0

C   B  

Bài 1 : Tìm chiều dài của dây kéo cờ, biết bóng của cột cờ

( chiếu bởi ánh sáng mặt trời ) dài 11,6 m và góc nhìn mặt trời là

36050’

Bài giải

Xét ABH biết BH 11,6m,  0

36 50'

B  :

0

Sợi dây dùng để kéo cờ dài : 2AH 2.8,6884 17,3769 m

Bài 2 : Một máy bay đang ở độ cao 10km Khi nó hạ cánh xuống đất đường đi của máy bay

tạo một góc nghiêng so với mặt đất

a) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 30 thì cách sân bay bao nhiêu km phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh ?

b) Nếu cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu ?

Bài giải

a) Xét ABH biết BH 10km, A  :30

0

AH BH A  km b) Xét ABH biết AH 300km, HB10km:

10

300

HB A HA

Bài 3 : Điểm hạ cánh của máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B Biết khoảng

cách giữa hai người 300m, góc “nâng” để nhìn thấy máy bay tại vị trí A là 400 và tại vị trí B

là 300 Hãy tìm độ cao của máy bay ?

Bài giải

Nếu HA x x , 0 thì HC 300 x;

BH HA gA x tg Xét BCH biết HC 300 x, C 300: BH HC.tanC300 x.tan 300;

Suy ra : 300 x.tan 300 x.tan 400

0

300.tan 30

122, 2811 tan 30 tan 40

3 Dạng bài toán biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông

Bài toán 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh huyền BC a và cạnh góc vuông

AB c Tính các góc nhọn và cạnh góc vuông còn lại

Bài giải

BC a

   B   C900 B900 

AB BC2 AC2

Bài 1: Một chú mèo ở độ cao 6,5m Muốn cho mèo từ từ đi xuống thì người

ta cần đặt một cái thang dài 6,7m từ độ cao đó xuống đất Hỏi cái thang đó tạo với mặt đất một góc là bao nhiêu ?

Bài giải

Xét ABH biết AB6,7m, AH 6,5m:

6,5

6,7

AH B AB

4 Dạng bài toán biết hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

Bài toán 4 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết hai cạnh góc vuông AB c và AC b Tính cạnh huyền và hai góc nhọn

Bài giải

AB c

   B   C 900 B 900   ;

a BC  AC AB  b c

Bài 1: Khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7cm được chiếu một chùm tia Gamma Để

tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u trên mặt da 8,3cm

a) Hỏi góc tạo bởi chùm tia với mặt da bệnh nhân ?

b) Chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u ?

Bài giải