Chuyên đề hình 9.k1.3

 Khi đường thẳng a tiếp xúc đường tròn O,R tại điểm H thì H gọi là tiếp điểm và đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn..  Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qu

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN

1 Vị trí tương đối giữa đường thẳng a và đường tròn (O,R).

Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng a Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đ.thẳng a 1) dR  đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm phân biệt

2) dR  đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O,R) tại một điểm

3) dR  đường thẳng a không cắt đường tròn (O,R)

 Khi đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm phân biệt A, B thì R2 d2a2

 Khi đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O,R) tại điểm H thì H gọi là tiếp điểm và đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn

 Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

 Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu của bán kính thì đường thẳng

đó là tiếp tuyến của đường tròn

1 Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm.

Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : 1) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

2) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đ.tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

3) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm

Cách dựng hai tiếp tuyến với đường tròn (O), qua điểm M nằm ngoài đường tròn.

 Dựng I là trung điểm của MO

 Dựng đường tròn tâm I bán kính IO, cắt đường tròn (O) tại A, B

 Các đường thẳng MA, MB là các tiếp tuyến cần dựng

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng nếu đường thẳng xy cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm AB thì mọi điểm nằm giữa A, B đều nằm trong đường tròn (O) các điểm còn lại trên đường thẳng xy nằm ngoài đoạn thẳng AB đều nằm ngoài đường tròn (O)

Bài giải

Giả sử đường thẳng xy cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm A, B Gọi H

là hình chiiếu vuông góc của O xuống đường thẳng xy Với mọi điểm M thuộc về đoạn thẳng AB thì

 điểm M nằm phía trong đường tròn (O)

Với mọi điểm M nằm trên đường thẳng xy và không thuộc về đoạn thẳng AB thì : HM HA OM OA R  điểm M nằm phía ngoài đường tròn (O)

Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I  3;2 Xác định vị trí tương đối giữa đường

tròn I;2 với các trục tọa độ.

Bài giải

Từ I kẻ IA vuông góc với trục Ox thế thì IA 2 R nên đường tròn

I;2 tiếp xúc với trục hoành Ox.

Từ I kẻ IB vuông góc với trục Oy thế thì IB  3 R nên đường tròn

I;2 không cắt trục tung Oy.

Ví dụ 3 : Hình thang vuông ABCD, vuông ở A, D biết AB4cm, BC 13cm,

9

CD cm a) Tính độ dài AD

b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Bài giải

a) Từ B kẻ BE//AD thì ABED là hình chữ nhật nên DE AB4cm; Xét BCE có E 900, BC13cm,

 

9 4 5

EC DC DE DC AB       cm

 BE BC2 EC2  132 52 12cm

b) Gọi I, H lần lượt là trung điểm của BC, AD thế thì IH  AD và

 

4 9

6,5

AB CD

2

BC

IB IC   cm  AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Ví dụ 4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M sao cho A nằm giữa B, M

Kẻ đường thẳng MC tiếp xúc đường tròn (O) tại C Từ O hạ đường thẳng vuông góc với

CB và cắt tia MC tại N Chứng minh đường thẳng NB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài giải

Vì OB OC ON , CB nên OBC cân đỉnh O  ON vừa là đường cao vừa là đường phân giác  NOB NOC

ONB, ONC có : OB OC NOB NOC ;  ; ON chung nên hai

90

OBN OCN   OB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Ví dụ 5 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Qua điểm

C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E, F lần lượt là chân đường cao các đường vuông góc kẻ từ A, B đến d Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến

AB Chứng minh rằng :

a) CE CF ;

b) AC là tia phân giác của BAE ;

c) CH2 AE BF

Bài giải

a) Do E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A, B xuống

đường thẳng d nên AEd , BF d và AE BF //

Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C nên OC d

 OC AE BF mà OA OB// //  nên CE CF

b) Vì OA OC nên OAC cân đỉnh O  CAOACO Mặt khác OC AE  // CAO CAE  CAE CAO hay AC là tia

phân giác của BAE c)  CAE =  CAH, (g.c.g)  AE AH , tương tự BF BH

 ABC có OC OA OB  nên ACB 900 CH2 HA HB AE BF .

Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao, M và N lần lượt là những

điểm đối xứng của H qua AB và AC

a) Chứng minh đường tròn đường kính BC tiếp xúc MN tại A

b) Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với BC tại H

c) Chứng minh đường tròn tâm B, bán kính BM tiếp xúc với MN và AH Tương tự đường tròn tâm C tiếp xúc với MN và AH

Bài giải

a) Vì M đối xứng với H qua AB nên BAM BAH,

AM AH Tương tự ta có CAN CAH , AH AN

90

BAC BAH CAH nên   0

90

BAM CAN 

 BAM BAH CAH CAN    1800 M, A, N thẳng hàng

Vì AM AN , OB OC và AMB 900 nên OA BM //

OA BM BMA  nên OAMN MN tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A

b) Do AM AH AN , AH BC nên đ.tròn đường kính MN tiếp xúc với BC tại H

90 ;

AHBAMB BH BM

 đường tròn tâm B bán kính BM tiếp xúc với MN và AH Tương tự đường tròn tâm C tiếp xúc với MN và AH

Ví dụ 7 : Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và các tiếp điểm trên các cạnh AB,

BC, CA lần lượt là M, N và S

a) Chứng minh : AB AC BC  2AM , viết các hệ thức tương tự ?

b) Cho AB4m; BC 7m và CA5m Tính các đoạn thẳng AM, BN, CS

Bài giải

a) Ta có :AM AS BM; BN CN CS;  , ( hai tiếp tuyến cùng .)

AB AC BC  AM BM BN   CS CN AM 2AM b) Vì 2AM AB AC BC    4 5 7 2  AM 1 m Tượng tự tính : BN, CS !

Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H Vẽ

đường tròn (O) đường kính AH, chứng minh rằng :

a) Điểm E nằm trên đường tròn (O);

b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài giải

90

HEA  mà OA OH nên OE OA OH  

E nằm trên đường tròn (O) đường kính AH

b)  BEC vuông ở E có ED là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

DE DB  E1B1; ta lại có   

E H H ;

 E1E 2 B1H 2 900 DE OE nên DE là tiếp tuyến của đtr(O)

Ví dụ 9 : Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy BI BA, ( I nằm giữa B và D) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt AD ở E

a) So sánh các đoạn AE, EI và ID

b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn tâm E bán kính EA

c) Biết ID d , tính cạnh hình vuông theo d

Bài giải

a) Ta có EA EI , (1) (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm)

Do ABCD là hình vuông nên ADB 450.

Do EI BD , (gt) nên DIE vuông cân đỉnh I nên IE ID , (2)

Từ (1) và (2) ta được : AE EI ID

b) Do BDEI nên BD là tiếp tuyến của đ.tròn tâm E bán kính EA

c) Biết ID d suy ra EA EI ID d

0

EID I IE ID d

     ED ID 2d 2

ADAE ED d d   2 d1 2

Ví dụ 10 : Cho đường tròn (O) bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm

Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O), tính độ dài AB

Bài giải

Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ABOB ABO900

AOB ABO OB OA

 AB OA2 OB2  102 62  82  8 Vậy : AB8cm

Ví dụ 11 : Cho đường tròn tâm O bán kính OA R , dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA

a) Từ giác OCAB là hình gì ? vì sao ? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng

OA tại E, tính độ dài BE theo R

Bài giải

a) Do M là trung điểm của OA R nên

2

R

MO MA 

VìBCOA, (gt) nên BCOA MB MC,   OCAB là hình thoi

2

R MOB OM OB R

cạnh R OBM BEO 300và OB R nên OE 2R

2

R

BE R

Ví dụ 12 : Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm phiá ngoài đường tròn Kẻ các tiếp

tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)

a) Chứng minh OABC

b) Vẽ đường kính CD, chứng minh BD OA//

c) Tính độ dài các cạnh của  ABC, biết OB 2cm; OA 4cm

Bài giải

a) Do AB, AC là hai tiếp tuyến xuất phát từ A đến đường tròn (O) nên ABAC

và OA là phân giác của góc BAC suy ra : OA OABC, ( đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác cân cũng là đường cao) b) Do CD là đường kính nên CBD  900  BDBC

Vì OABC và BDBC nên BD OA//

OAB OB OA

2

OB OA  OAB  300  BAC  600  BCAB2 3cm

Ví dụ 13 : Từ một điểm A ở phía ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với

đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Qua M thuộc cung nhỏ BC,

kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB, AC lần lượt tại D, E Chứng minh rằng chu vi ADE bằng 2AB

Bài giải

Vì DB DM , EC EM nên chu vi tam giác ADE bằng :

2

ADE

CV AE ED DA AE EC DB DA AC AB         ABVí dụ 14 : Cho nửa

đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By là đường thẳng vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AB và không trùng với A, B Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax, By lần lượt tại C, D Chứng minh rằng :

90

COD  .

b) CDAC BD

c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

d) Đường tròn qua C, D, O tiếp xúc AB tại O

Bài giải

a) CA, CM là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ C nên MC AC và

OC là phân giác của góc AOM , tương tự MD BD và OD là phân

giác của góc BOM , mặt khác AOM , BOM là hai góc kề bù nên

90

COD  .

b) Vì MCAC và MD BD nên MC MD AC BD

 CDAC BD

COD O OM CD

    MC MD OM  2 không đổi

d) Gọi I là trung điểm của CD  IC ID IO , (1)

Vì O, T lần lượt là trung điểm của AB, CD nên TOAB, (2)

Từ (1) và (2) : AB tiếp xúc đường tròn (T) tại O

Ví dụ 15 : Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính r Tính diện tích

tam giác ABC theo r ?

Bài giải

Giả sử ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính r

Ta có : OD r  BD3r

2

AC

3

ABC

S  AC BD r r  r

Ví dụ 16 : Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Vẽ đường tròn A AH Kẻ ; 

các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H) Chứng minh rằng : a) Ba điểm D, E, A thẳng hàng;

b) DE tiếp xúc đường tròn đường kính BC

Bài giải

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :

1 2

A A ,  

3 4

2 3

DAH HAE  A A  Vậy D, A, E thẳng hàng

b) Gọi O là trung điểm của BC; OA là đường trung bình của

hình thang vuông BDEC nên OA // BD  OADE

Mặt khác có OA OB OC  nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC DE tiếp xúc đường tròn đường kính BC

LUYỆN TẬP

Bài tập 1 : Chứng minh rằng nếu đường thẳng xy không cắt đường tròn (O,R) thì mọi điểm nằm trên đường thẳng xy đều nằm ngoài đường tròn (O)

Hướng dẫn … Bài tập 2 : Điểm A cách đường thẳng xy một khoảng bằng 12cm, vẽ đường tròn

 A;13cm 

a) Chứng tỏ đường tròn  A;13cm có hai giao điểm với đường thẳng xy.

b) Gọi hai giao điểm là B, C tính độ dài đoạn BC

Hướng dẫn … Bài tập 3 : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R Tính diện tích

tam giác ABC theo R ?

Hướng dẫn …

Bài tập 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn (B;BA) và đường tròn

(C;CA), chúng cắt nhau tại D, (D  A) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)

Hướng dẫn

Bài tập 5 : Cho đoạn thẳng AB với trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia

Ax, By vuông góc với AB Một góc vuông POQ quay xung quanh O cắt Ax, By tại P, Q.

Gọi P’ là giao điểm của các tia đối của các tia OP, By

a) Tam giác QPP’ là tam giác gì, tại sao ?

b) Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn luôn tiếp xúc với đường tròn (O,OA)

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp OPQ luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Hướng dẫn

Bài tập 6 : Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d không cắt đường tròn (O) Từ một

điểm M trên đường thẳng d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn, từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng d Dây AB cắt OH tại T, cắt OM tại K

Chứng minh : OT OH OK OM R2 Tư đó suy ra AB luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên d ( T là điểm cố định !)

Bài tập 7 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By ( Ax,

By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi

M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M cắt

Ax, By theo thứ tự ở C, D

a) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc AB;

b) Tìm vị trí của M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất;

c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm

Hướng dẫn

a) b) Chu vi hình thang ABDC bằng AB AC BD CD  

Ta đi chứng minh AC BD CM MD CD    để đi tới kết quả là :

2

AB AC BD CD   AB CD

Vì AB không đổi nên chu vi nhỏ nhất  CD nhỏ nhấtCD = AB

c) Đặt AC x , BD y ChviAB2CD 4 2x y  14

x y 5 Mặt khác xy MC MD OM  2 22   4 4

5

x x

  x2 5x 4 0

x 1 x 4   0 x  hoặc 1 x  kết luận 4

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

1 Vị trì tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,r) Gọi d OO 'là khoảng cách giữa hai tâm O, O’

1) R r d  R r  hai đường tròn cắt nhau, (có hai điểm chung)

2) Hai đường tròn tiếp xúc nhau, (có một điểm chung)

a) d    hai đường tròn tiếp xúc ngoài.R r

b) d  R r hai đường tròn tiếp xúc trong

3) Hai đường tròn không giao nhau, (không có điểm chung)

a) d R r  hai đường tròn ở ngoài nhau

b) d R r  hai đường tròn đựng nhau

 Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm

 đường nối tâm là trung trực của dây chung

 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

2 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,r)

Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O’) đường kính OA.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C; Chứng minh CA CD

c) Chứng minh ' //O C OD

Bài giải

a) Gọi O’ là trung điểm của OA  OA O O O A '  ' 

OO OA O A

 đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc nhau tại A

b) Do OA là đường kính của đường tròn (O’) nên

O O O A O C  suy ra OCA 900 Trong đường tròn (O) có

OCA   OC AD  CA CD

c) Ta có OA OD nên ODA OAD , mặt khác 'O C O A ' nên

OAD O CA , suy ra ODA O CA ' O C OD ' //

Ví dụ 2 : Cho hai đường tròn đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn

nhỏ ở C, D Chứng minh rằng : AC BD

Bài giải

Gọi H là trung điểm của AB thế thì HA HB OH ; AB

Ta có : AC HA HC HB HD BD    

Ví dụ 3 : Cho đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A, kẻ tiếp tuyến

chung ngoài BC, ( B O C; O' Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I

a) Chứng minh rằng : BAC 900

b) Tính số đo góc OIO '

c) Tính độ dài BC, biết OA9cm, OA' 4 cm

Bài giải

a) Đối với đường tròn (O) ta có IB IA , đối với đường tròn

(O’) ta cũng có IA IC BAC có IA IB IC  

BAC  .

90

BAI OIA  , tương tự : AIO'IAC 900 mà BAC 900 OIO ' 900.

OIO OIO IA OO

IA OA OA ' 9.4 6 cm

Vậy : BC 2IA2.6 12 cm

Ví dụ 4 : Cho hai đường tròn (O) và đường tròn (O’) cắt nhau tại A, B Kẻ các đường

kính AOC, AO’D Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng và AB vuông góc với CD

Bài giải

Do AOC là đường kính của đường tròn (O) nên CBA 900

90

DBA     0 0 0

CBA DBA   

 CBD 1800 C, B, D thẳng hàng

CBA  và C, B, D thẳng hàng nên AB CD

Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH Gọi T và K lần lượt là tâm

của hai đường tròn đường kính HB, HC

1) Chứng tỏ hai đường tròn (T), (K) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với đường tròn qua A, B, C

2) Đường tròn (T) cắt AB tại D, đường tròn (K) cắt AC tại E, chứng minh ADHE là hình chữ nhật và AD AB AE AC Suy ra hai tam giác ABC, AED đồng dạng

3) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của (I) và (K)

4) Chứng tỏ tứ giác BDEC có các góc đối diện bù nhau

5) Biết AH  và 4 HB  tính diện tích của tứ giác BDEC.3

Bài giải

1) Vì T là tâm đường tròn đường kính HB nên TB TH , tương tự : KH KC

Mà TK TH KH   chứng tỏ hai đường tròn (T), (K) tiếp xúc ngoài nhau

Ta có OC OK KC   OK OC KC   đường tròn (K) tiếp xúc trong với đường tròn qua A, B, C

Tương tự cho phần còn lại

90

BACDAE 

Do BH là đường kính của đường thẳng (T) nên BDH 900

90

HDA  , tương tự  0

90

HEA   ADHE là hình chữ

nhật

AH AB

AD AB AH2 AEH  AHC vì CAH chung  AE AH

AH AC 

2

AE ACAH

AD AB AE AC

Vì AD AB AE AC và ABC chung nên hai tam giác ABC, AED đồng dạng.

3) ABC  AED  ADE ACB, mà ADHE là hình chữ nhật nên ADE DEH Suy ra : ACB DEH , (1) Mặt khác KHE cân, ( vì KH KE) EHK HEK ,(2)

HEC E EHK ECH

90

DEH HEK   DE EK DE là tiếp tuyến của (K) Tương tự DE là tiếp tuyến của (I)

180 AED DEC ABC DEC Tương tự ta có : 1800 ACB EDB  tứ giác BDEC có các góc đối diện bù nhau

HAB H AH HB