Đường thẳng trong kg(Oxyz)

Lập phương trình đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng P- Tìm điểm M' là hình chiếu của M trên P như bài 3... Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M, vuông góc với d và cắt d’:- L

LẬP PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG THẲNG

1 Đường thẳng qua điểm M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vectơ chỉ phương

u(a;b;c) r

PT tham số:

0 0

0











+

=

+

=

+

=

ct z

z

bt y

y

at x

x

PT chính tắc

c

z

z b

y

y a

x

x − 0 = − 0 = − 0

u

CABRI

2 Lập phương trình đường thẳng qua một điểm và

vuông góc với hai đường thẳng phân biệt không

song song cho tr Ư ớc:

d'

d

∆

M

d' d

∆

M

d và d' cắt nhau d và d' chéo nhau

CABRI CABRI

A (P)

M'

∆

d' M

3 Lập phương trình hỡnh chiếu của đường thẳng d trờn mặt phẳng (P)

- Lấy M bất kỡ trờn d, lập phương

trỡnh ∆ qua M và vuụng gúc với (P).

- Tỡm giao điểm M' của ∆ và (P).

- Lập phương trỡnh d' qua A và M'.

a) Nếu d cắt (P) tại A:

(P)

(Q) d

d’

A

- Lập phương trỡnh mặt phẳng (Q) qua d và vuụng gúc với (P):

- Lập phương trỡnh giao tuyến d' = (P) ∩ (Q)

(P)

b) Nếu d // (P):

 Lấy M bất kì trên d, lập

phương trình ∆ qua M và

vuông góc với (P).

 Tìm giao điểm M' của ∆ và (P).

 Lập phương trình d' qua M'

và song song víi d.

(P)

(Q) d

d’

C¸ch 2:

C¸ch 1:

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua d và vuông góc với (P):

- Lập phương trình giao tuyến d' = (P) ∩ (Q).

4 Lập phương trình đường thẳng đối xứng với d qua mặt phẳng (P)

- Tìm điểm M' là hình chiếu của M trên (P) như bài 3.

- N đối xứng với M qua (P) thì M' là trung điểm của MN ⇒ toạ độ N.

- Lập phương trình d' qua A và N.

a) Nếu d cắt (P) tại A:

M

A

N

M’

(P)

d

d'

b) Nếu d//(P):

M

M’

N

d

d'

- Tìm điểm M' là hình chiếu của M trên (P) như bài 3.

- N đối xứng với M qua (P) thì M' là trung điểm của MN ⇒

toạ độ N.

- Lập phương trình d’ qua N

và song song với d.

CABRI

CABRI

5 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M, vuông góc với d và cắt d’:

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d.

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua M và d’.

- Lập phương trình giao tuyến

∆ = (P) ∩ (Q)

CABRI

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d.

- Tìm giao điểm N của d’ và (P).

- Lập phương trình ∆ qua MN.

∆

N

Cách 1

Cách 2

6 Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

(P), cắt d và d’ chéo nhau cho trước:

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua d 1 và vuông góc với (P).

- Tìm giao điểm A của d 2 và (Q).

- Lập phương trình d qua A và vuông góc với (P).

- Trong (Q): d và d 1 không cùng phương nên cắt nhau ⇒ d thỏa

mãn điều kiện.

CABRI

(P)

∆

(d 1 )

(d 2 )

Cách 1:

Cách 2:

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua d 1 và vuông góc với (P).

- Lập phương trình mặt phẳng (R) qua d 2 và vuông góc với (R)

- Lập phương trình d là giao tuyến của (Q) và (R).

- Chứng minh d cắt d và d’.

7 Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng

a cho trước, cắt d và d’ chéo nhau cho trước:

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua d và song song với a.

- Tìm giao điểm M của d’ và (P).

- Lập phương trình ∆ qua M và song song với a, chứng minh ∆ cắt d.

CABRI

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua d và song song với a.

- Lập phương trình mặt phẳng (Q)

qua d’ và song song với a.

- Lập phương trình giao tuyến ∆ của (P) và (Q), chứng minh ∆ cắt d.

Cách 1:

Cách 2:

∆

M

8 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M,

cắt d và d’ chéo nhau cho trước

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và d.

- Tìm giao điểm N của d’ và (P).

- Lập phương trình ∆ qua M và

N, chứng minh ∆ cắt d.

CABRI

∆

Cách 1:

Cách 2:

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và d.

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua M và d’.

- Lập phương trình giao tuyến

∆ = (P) ∩ (Q) , chứng minh ∆

cắt d và d’

9 Lập phương trình đường vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau d và d’ cho trước

Cách 1

Cách 2

- Chuyển phương trình d, d’ về dạng tham số.

- Lấy A(x 1 + at; y 1 + bt; z 1 + ct) ∈d;

- Lấy B(x 2 + a’t’; y 2 + b’t’; z 2 + c’t’) ∈d’.

Giải hệ phương trình:

⇒ tọa độ A, B ⇒ phương trình đường thẳng qua

AB.









=

= 0

0

'

d

d

u AB

u AB

Gọi (∆) là đường vuông góc chung của d và d’ thì:

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua ∆ và d.

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua ∆ và d’.

- Lập phương trình giao tuyến ∆ = (P) ∩ (Q) , chứng minh ∆ cắt d và d’.

[ ] ud , ud'

u∆ =

10 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M, nằm trên mặt

phẳng (P) cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước:

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với d.

- Lập phương trình giao tuyến ∆ = (P) ∩ (Q), chứng minh ∆ nằm trên (P) và vuông góc với d.

CABRI

11 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M, vuông góc và cắt

đường thẳng d cho trước:

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d.

- Tìm giao điểm I của d và (P).

- Lập phương trình ∆ = MI.

∆

CABRI

Cách 2:

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M

và vuông góc với d.

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua

M và d.

- Lập phương trình giao tuyến

∆ = (P) ∩ (Q)

Cách 1:

12 Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại A Lập phương trình

đường thẳng nằm trên (P), vuông góc và cắt đường thẳng d:

∆

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với d tại A.

- Lập phương trình giao tuyến

∆ = (P) ∩ (Q)

CABRI

13 Lập phương trình đường phân giác góc A của tam giác ABC:

- Gọi I, J lần lượt là giao điểm của đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc A với cạnh đáy BC.

Tính tỉ số

⇒ toạ độ I ⇒ phương trình AI

k JC

JB IC

IB k

AC

AB

=

=

⇒

=

IC k

IB = −

JC k

JB =