Lời mở đầuTrong không gian với hệ toạ độ Oxyz thì phơng trình đờng thẳng là một dạng bài tập thờng gặp trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông và tuyển sinh đại học.. Đối với phơng trình đ
Trang 1Lời mở đầu
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz thì phơng trình đờng thẳng là một dạng bài tập thờng gặp trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông và tuyển sinh đại học
Đối với phơng trình đờng thẳng, sách giáo khoa trình bày cả ba loại: phơng trình tổng quát, phơng trình tham số và phơng trình chính tắc.Trong sách giáo khoa có nhiều bài tập về phơng trình đờng thẳng mà không đa ra cách giải chung
Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh học phần này tôi đã làm theo hớng sau:
1) Một số vấn đề về phơng trình đờng thẳng
2) Đa ra các bài toán cơ bản
3) Mô phỏng các bài toán bằng hình vẽ
4) Phơng pháp giải quyết các bài toán đó
5) Ví dụ cụ thể
6) Phơng pháp giải các bài toán khác
7) Một số bài tập tự luyện
Trang 2Nội dung của chuyên đề
I Một số vấn đề về phơng trình đờng thẳng
1 Điều kiện để lập đợc phơng trình đờng thẳng
Biết một điểm M0(x0; y0; z0) và véc tơ chỉ phơng u
(a; b; c), hoặc biết hai
điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB), hoặc biết phơng trình của hai mặt phẳng:
( ) ( )
2 Chuyển phơng trình tổng quát của đờng thẳng về dạng tham số và chính tắc + Tìm một điểm M0 ẻ d và véc tơ chỉ phơng u
= [n n ;
] + Cho x = t, giải hệ x, y theo t
Có nhiều bài toán công thức dựa trên từng dạng phơng trình đờng thẳng học sinh phải biết chuyển đổi để xác định đợc các yếu tố và áp dụng
3 Chuyển phơng trình tham số, phơng trình chính tắc của đờng thẳng về dạng tổng quát Đờng thẳng đợc xem nh là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc với một trong ba mặt phẳng toạ độ
II Một số bài toán về phơng trình đờng thẳng
1 Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0) và vuông góc với mặt phẳng ()
2 Viết phơng trình hình chiếu d’ của đờng thẳng d trên mặt phẳng ()
3 Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M0, cắt cả d1 và d2
4 Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M0, vuông góc với đờng thẳng d1 và cắt đờng thẳng d2
5 Viết phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau d1 và d2
Trang 3III M« pháng c¸c bµi to¸n b»ng h×nh vÏ.
Bµi to¸n 1: Bµi to¸n 2:
Bµi to¸n 3: Bµi to¸n 4:
Bµi to¸n 5:
d
d’
A
A’
d M
0
M
0
d
1
d
2
M
d
1
d
2
d
2
M
N
d
1
M
d
d
2
d
1
N
Trang 4IV Phơng pháp giải quyết từng bài toán
Qua hình vẽ đợc mô phỏng học sinh tự tìm và nêu phơng pháp giải quyết
1 Bài toán 1 : Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M0 và vuông góc với mặt phẳng ()
Phơng trình đờng thẳng d là phơng trình của đờng thẳng qua điểm M0 và có
véc tơ chỉ phơng u
là véc tơ pháp tuyến n
2 bài toán 2 : Viết phơng trình hình chiếu d’ của đờng thẳng d trên mặt phẳng
()
Ph
ơng pháp 1:
+ d’ =
( ) ( )
trong đó ( ) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với () Hay ( ) là mặt phẳng qua M0 ẻ d và có véc tơ pháp tuyến n
=[u n d, ].
Ph
ơng pháp 2:
+ Tìm hình chiếu H của M0 ẻ d trên ()
+ Tìm giao điểm I của d và ()
+ d’ là đờng thẳng HI
3 Bài toán 3: Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M0, cắt cả d1 và d2.
Đờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (M0, d1) và (M0, d2)
Nếu d1 và d2 chéo nhau thì d là duy nhất
Nếu d1 // d2,
1 2
d ( )
thì vô nghiệm
Nếu d1, d2 và M0 đồng phẳng thì có vô số nghiệm
4 Bài toán 4: Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0), vuông góc với đờng thẳng d1 và cắt đờng thẳng d2
Có phơng pháp giải nh sách bài tập hình học 12 ( bài tập 10Đ9 chơng 2): Gọi d là đờng thẳng cần tìm, thì d = () ầ () Trong đó:
+ () là mặt phẳng đi qua M0, vuông góc với d1
+ () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa d2
Cách giải trên cha đầy đủ vì d2 ( ) cha chứng tỏ d cắt d2 Nếu thêm lời giải bằng cách xét vị trí tơng đối của d & d2 thì lời giải dài dòng và đôi khi không có hiệu lực trong trờng hợp bài toán vô số nghiệm ( có vô số đờng thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán) hoặc bài toán vô nghiệm
Cách giải bài tập dạng này nh sau:
Ph
ơng pháp 1:
+ Lập phơng trình mặt phẳng () qua M0(x0; y0; z0), () vuông góc với d1
+ Tìm giao điểm M của d2&()
+ Đờng thẳng d cần tìm là đờng thẳng qua hai điểm M0, M
Ph
ơng pháp 2 :
+ Gọi d là đờng thẳng cần tìm Giả sử M(xM; yM; zM) là giao điểm của d & d2 ị
M ẻ d2 nên toạ độ của M thoả mãn d2 (1)
+ M0 ẽ d2 nên M0 ạ M ị
0
MM là một véc tơ chỉ phơng của d
+ d1 có véc tơ chỉ phơng
1
u mà d ^ d1 nên
1
u ^
0
MM hay u 1
0
MM = 0 (2)
Từ (1) và (2) tìm đợc toạ độ của M
Chú ý: Số nghiệm của hệ phơng trình (cách1 & cách 2) tìm tọa độ của M là số
nghiệm của bài toán
Trang 55 Bài toán 5: Viết phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo
nhau d1 & d2
Ph
ơng pháp 1 :
+ Xác đinh véc tơ chỉ phơng
1, 2
u u của d1 & d2.
u [
1, 2
u u ]
+ Lập phơng trình mặt phẳng () qua d1 có véc tơ chỉ phơng
u
+ Lập phơng trình mặt phẳng () qua d2 có véc tơ chỉ phơng
u
+ Giao tuyến d = ()ầ() là đờng vuông góc chung cần tìm
Ph
ơng pháp 2 :
+ Viết phơng trình đờng thẳng d1 & d2 dới dạng tham số
+ Lấy M ẻ d1 (phụ thuộc tham số t)
N ẻ d2 (phụ thuộc tham số s)
+
MN vuông góc với các véc tơ chỉ phơng
1
u & u2
ị
1
2
toạ độ của M và N
s u
+ Đờng thẳng MN là đờng vuông góc chung d của d1 và d2
V Các ví dụ minh hoạ
1 Ví dụ 1: Viết phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm M(-2; 1; 0) và vuông góc
với mặt phẳng (): x + 2y – 2z +1 = 0
Giải:
Mặt phẳng () có véc tơ pháp tuyến n (1;2; 2)
D là đờng thẳng qua điểm M(-2; 1; 0) có véc tơ chỉ phơng u d n (1;2; 2)
Do đó phơng trình đờng thẳng (D) có dạng:
.
2.Ví du 2: Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng d:
x y z
trên mặt phẳng (): x + 2y + 3z + 4 = 0
Giải:
Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (), () là mặt phẳng qua d và vuông góc với () thì d’ = () ầ () Mặt phẳng () có phơng trình:
( 2) ( 2) ( 1) 0
10( 2) ( 8)( 2) 2( 1) 0
Trang 6Vậy phơng trình của đờng thẳng d’ là:
x + 2y + 3z + 4 = 0 5x - 4y + z - 19 = 0
3 ví dụ 3: Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng d:
2x + y + z + 1 = 0
x + y + z + 2 = 0
trên mặt phẳng () : 4x – 2y + z –1 = 0
Giải:
Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (), () là mặt phẳng qua d và vuông góc với () thì d’ = () ầ ()
Đờng thẳng d cho dới dạng tổng quát nên nó là giao của hai mặt phẳng vì vậy ta viết phơng trình mặt phẳng () chứa d:
(2)x()y()z2 0
7 3 0 hay = -3, = 7
Từ đó phơng trình mặt phẳng () có dạng: x + 4y + 4z + 11 = 0
Vậy hình chiếu d’ của d trên mặt phẳng () có phơng trình là:
d’:
4x - 2y + z - 1 = 0
x + 4y + 4z +11 = 0
* Nhận xét: Ta còn có thể giải theo phơng pháp 2 nh sau:
+ Lấy M0 ẻ d có toạ độ M0(1; -3; 0)
+ Tìm H là hình chiếu của M0 trên mặt phẳng (), I là giao điểm của d với () + d’ là đờng thẳng IH Phơng trình của d’ là:
x y z
4 Ví dụ 4: Viết phơng trình của đờng thẳng qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt cả hai
đờng thẳng:
1
2
d
d
Giải:
Gọi D là đờng thẳng qua điểm M và cắt cả d1, d2 thì D = (M; d1) ầ (M; d2) d1 qua điểm A(-1; -3; 2), có véc tơ chỉ phơng u 1 (3; 2;1)
d2 qua điểm B(2; -1; 1), có véc tơ chỉ phơng u 2 (2;3; 5)
Gọi (P) là mặt phẳng qua M & d1 thì (P) có cặp véc tơ chỉ phơng u 1 (3; 2;1) và
MA (3;2; 1)
nên (P) có phơng trình là:
4( 4) 0( 5) 12( 3) = 0
3 5 0
Trang 7Gọi (Q) là mặt phẳng qua M & d2 thì (Q) có cặp véc tơ chỉ phơng u 2 (2;3; 5)
và
MB (6;4; 2)
nên (Q) có phơng trình là:
Vậy đờng thẳng D có phơng trình:
5 Ví dụ 5: Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm M0(0; 1; 1), vuông góc với
đ-ờng thẳng d1:
và cắt đờng thẳng d2:
2 0
1 0
x y z
Giải:
Ph
ơng pháp 1:
Mặt phẳng () đi qua điểm M0(0; 1; 1) và vuông góc với d1 sẽ nhận véc tơ chỉ phơng của d1 là u 1 (3;1;1) là véc tơ pháp tuyến nên phơng trình () có dạng:
3(x - 0) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0
3x + y + z - 2 = 0
Gọi M là giao điểm của d2 và () thì toạ độ của M là nghiệm của hệ phơng trình:
2 0 2 vậy toạ độ của M là: M(-1; 2; 3)
Đờng thẳng cần tìm đi qua M0 và nhận véc tơ M M( 1;1;2)0
làm véc tơ chỉ
ph-ơng nên có phph-ơng trình là:
x y z
Ph
ơng pháp 2 :
Gọi d là đờng thẳng cần tìm
Giả sử M(x0; y0; z0) là giao điểm của d & d2, ta có M ẻd2 nên toạ độ của M thoả mãn hệ phơng trình:
0
2 0
1 0
x
vì M0 ẽ d2 nên M0 ạ M, suy ra M M 0 (x y0; 0 1;z0 1)
là một véc tơ chỉ phơng của d Ta có d1 có véc tơ chỉ phơng u 1 (3;1;1) mà d vuông góc với d1 nên
1 M M0
u ^
hay u1.M M0
= 0 3x0 + 1(y0 - 1) +1(z0 – 1) = 0 3x0 + y0 + z0 – 2 = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
( 4 ) ( 5 ) ( 3 ) 0
1 4 ( 4 ) 2 6 ( 5 ) 1 0 ( 3 ) = 0
7 1 3 5 0
Trang 8Vậy phơng trình đờng thẳng d là:
x y z
Chú ý: Nh vậy số nghiệm của hệ phơng trình (*) là số nghiệm của bài toán
6 Ví dụ 6: Viết phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng:
1
2
:
:
d
d
Ph
ơng pháp 1:
d1 qua M1(3; 3; 4) và có véc tơ chỉ phơng là 1(2;2;3)
d2 qua M2(1; 6; -1) và có véc tơ chỉ phơng là 2 ( 1;2;0)
[ ; ] ( 6; 3;6), và
vu u v^u v^u
Đờng vuông góc chung d của d1 và d2 là giao tuyến của P(d v1;
) ầ Q(d v2;
)
-3 6 x 6 6 y -6 -3 z
7x 10y 2z 1 0
4x 2y 5z 11 0
Vậy phơng trình của đờng vuông góc chung d:
Ph
ơng pháp 2:
Gọi M ẻ d1 có toạ độ thoả mãn: M( 3 + 2t; 3 + 2t; 4+3t)
Gọi N ẻ d2 có toạ độ thoả mãn: N(1 – s; 6 + 2s; -1)
MN( 2 t s 2; 2 t2s3; 3 t 5)
u
ị M(1; 1; 1) và MN
= (2; 1; -2)
Phơng trình đờng vuông góc chung d là:
1 2 1
1 2
VI Phơng pháp giải các bài toán khác
Từ 5 bài toán thờng gặp trên, học sinh vận dụng giải một số bài toán dạng khác nh sau:
Trang 91.Bài toán 1: Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M(2; 3; -5) và song song
với đờng thẳng D có phơng trình:
Hớng dẫn: Ta chuyển về bài toán viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M, có véc tơ chỉ phơng u ( 4; 8; 10).
2 Bài toán 2: Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng D trên các
mặt phẳng toạ độ
3 Bài toán 3: Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M(3; 2; 1) cắt và vuông
góc với đờng thẳng D có phơng trình:
* Nhận xét : Học sinh có cách giải:
+ Lập phơng trình mặt phẳng () qua M và () ^ D
+ Gọi H = Dầ()
+ d là đờng thẳng qua M&H
Kết quả: phơng trình đờng thẳng d:
4 Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng của điểm M0 qua đờng thẳng D:
1 2 1 2
Giải:
+ Phơng trình mặt phẳng () qua điểm M0 và vuông góc với đờng thẳng D:
2(x - 2) + (-1)(y + 1) +2(z - 1) = 0 2x – y + 2z – 7 = 0
+ Giao điểm I của D và ():
I(
17 13 8
9 9 9 ) + M0’ đối xứng với M0 qua đờng thẳng D nhận I là trung điểm của MM0 có toạ độ :
M0’(
16 17 7
9 9 9 )
Chú ý: Đờng thẳng d ^ D d vuông góc với mặt phẳng chứa D.
5 Bài toán 5: Viết phơng trình đờng thẳng d qua giao điểm của đờng thẳng D và
mặt phẳng () cho trớc nằm trong mp() và vuông góc với D
HD : + Gọi M0 = D ầ ()
+ Lập phơng trình mặt phẳng () qua M0 và vuông góc với mặt phẳng () + Đờng thẳng d = () ầ ()
VII Một số bài tập tự luyện
1 Bài tập 1: Viết phơng trình hình chiếu d của đờng thẳng D :
2 0
x y z
x y z trên mặt phẳng (): 2x + y + z + 1 = 0.
Kết quả: d
3 0
y z
Trang 102 Bài tập 2: Cho hai đờng thẳng:
a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau
b) Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm M(2; 3; 1) cắt cả d1 và d2
Kết quả: d
3 Bài tập 3: Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M0(1; 3; 0), vuông
góc với đờng thẳng:
và cắt đờng thẳng:
1 2
2 2 1
Kết quả: có vô số đờng thẳng thoả mãn
4 Bài tập 4: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M0(2; 1; 1),
vuông góc với đờng thẳng
và cắt đờng thẳng:
2 3
3 2
2 5
Kết quả: Không tồn tại đờng thẳng nào thoả mãn bài toán( bài toán vô nghiệm)
Trang 11Kết luận
Qua giờ dạy và ôn luyện cho học sinh thông qua phơng pháp và một số ví
dụ, học sinh nắm và biết vận dụng Đồng thời qua đó có phơng pháp giải quyết một bài toán dạng khác
Với các phơng pháp nêu trên, nhằm hớng dẫn học sinh biết cách giải các bài toán về viết phơng trình đờng thẳng trong chơng trình đã học
Kết quả học sinh nắm đợc và bớc đầu vận dụng tốt
Móng Cái, ngày 24 tháng 05 năm 2005
ngời viết
Nguyễn Thị Quảng