Đề thi HSG toán 9 - NH: 2012-2013

Gọi M là trung điểm của AB.. Chứng minh rằng: a/ Tam giác HOD và tam giác OGB đồng dạng.. b/ MG song song với AH.

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013

- Khóa ngày 04/11/2012

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3 điểm)

Chứng minh rằng: M = 5n(5n + 1) – 6n(3n + 2) chia hết cho 91 với mọi số nguyên n

Bài 2: (5 điểm)

a/ Rút gọn biểu thức A = 7 2 2− + 50+ 18− 128

b/ Rút gọn biểu thức ( ) ( )

2 3

1

x B

x

+

− + − , rồi tìm giá trị nhỏ nhất của B

Bài 3: (5 điểm)

Cho x, y, z là các số không âm Chứng minh rằng:

a/ (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz

x + y + z ≥ + +

Bài 4: (5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Lấy điểm G trên cạnh BC, H trên cạnh CD sao cho GOH· =450 Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh rằng:

a/ Tam giác HOD và tam giác OGB đồng dạng

b/ MG song song với AH

Bài 5: (2 điểm)

Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và ·AOD=α (0< <α 90 )0 Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD Chứng minh rằng: S = 1AC.BD.sin

-

HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013)

Bài 1:

(3 đ)

Ta có: 91 = 7.13 mà (7 ; 13) = 1 nên chỉ cần chứng minh M chia hết cho 7 và

chia hết cho 13

M = (25n – 18n) – (12n – 5n)

Do: (25n – 18n)M(25 – 18)= 7 ; (12n – 5n) M(12 – 5) = 7 nên M M 7

Mặt khác: M = (25n – 12n) – (18n – 5n)

Do: (25n – 12n)M(25 – 12)= 13 ; (18n – 5n) M(18 – 5) = 13 nên M M 13

Tóm lại: M vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13, mà (7 ; 13) = 1

Nên M M 7.13 hay M M 91

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

Bài 2:

(5 đ)

a/

2

2 2

0,5 đ

0,75 đ 0,75 đ

2 3

1

x B

x

+

− + − đkxđ:x≥0 ; x≠1

B

( ) ( )

2 2

1

x x

+ +

− + +

Vì x≥0 nên x2 + x + 1 ≥ 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0

2

1 1

⇒

+ + đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 0

Lúc đó: minB = -1 khi x = 0

0,5 đ

1 đ

0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ

Bài 3:

(5 đ)

a/ Do x, y, z không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

2

x y+ ≥ xy ; y z+ ≥2 yz ; z x+ ≥2 zx

2 2 2

(x y y z z x)( )( ) 8 x y z 8xyz

1,5 đ

0,5 đ b/ Do x, y, z không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

z

x + y ≥ x × =y

y

y

y + z + ≥ y × =z

Cộng vế theo vế: 2 yz zx xy 2(x y z)

 + + ≥ + +

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

1 đ

yz zx xy

x y z

⇒ + + ≥ + +

0,5 đ

Bài 4:

HOD O+ = − =

OGB O+ = − =B − =

HOD OGB

D =B =

HOD

⇒ ∆ ∆OGB (g-g)

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b/ Từ câu a/ suy ra HD DO

Đặt BM = a > 0 thì AD = 2a, OB = OD = a 2

Ta có: HD BG OB OD a = = 2.a 2 2 = a a=AD BM

⇒ = và ·ADC=·ABC

AHD

⇒ ∆ ∆GMB (c-g-c)

·AHD GMB·

⇒ = mà ·AHD HAB= · (so le trong)

GMB HAB

⇒ = do hai góc này ở vị trí đồng vị nên MG // AH

0,5 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

Bài 5:

kẻ AH ⊥ BD, CK ⊥ BD

Ta có: S = SABD + SCBD = 1 1 1 ( )

2AH BD+2CK BD=2BD AH CK+ Mà: AH = OA.sinα ; CK = OC.sinα

0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

H

O A

D

B

C

1

1 a

1

A

O

G

H