Dạng legendre và ứng dụng

Một dạng toàn phương J x được gọi là thỏa mãn điều kiện làm mạnh Legendre nếu nó có thể đượcbiểu diễn dưới dạng J x = Dx − Kx, trong đó Dx xác định dương vàKx liên tục đối với tôpô yếu..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC MAI

DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC MAI

DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội - Năm 2018

Mục lục

1.1 Giả thiết và kiến thức chuẩn bị 7

1.2 Một số ví dụ 11

1.2.1 Minh họa I 11

1.2.2 Minh họa II 14

1.2.3 Minh họa III 17

1.3 Tính chất J-transversality 18

1.4 Tính nửa liên tục dưới yếu của dạng toàn phương 21

1.5 Dạng toàn phương có chỉ số và số khuyết hữu hạn 23

1.6 Dạng toàn phương xác định dương và không kỳ dị 25

Kết luận 27 Chương 2 Dạng Legendre 28 2.1 Dạng Legendre 28

2.2 Dạng toàn phương tựa không kỳ dị 32

2.3 Cặp Legendre 37

Kết luận 41 Chương 3 Ứng dụng của dạng Legendre 42 3.1 Sơ lược về giải tích biến phân 42

3.2 Ứng dụng của dạng Legendre trong giải tích biến phân 45

3.2.1 Quy tắc nhân tử Lagrange 45

3.2.2 Dạng tựa Legendre 49

3.2.3 Lý thuyết tiêu điểm 52

3.2.4 Một ứng dụng của lý thuyết tiêu điểm 56

3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương không lồi trong không gian Hilbert 58

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS TS.Nguyễn Năng Tâm Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quantâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy

Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũngnhư các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017, đã có công laodạy dỗ em trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường

-Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quantâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên em để em hoàn thành tốt nhiệm vụ củamình

Hà Nội, ngày 23 tháng 9 năm 2018

Học viên

Vũ Thị Ngọc Mai

x q → x 0 Dãy véctơ {x q } hội tụ yếu tới x 0

x q ⇒ x 0 Dãy véctơ {x q } hội tụ mạnh tới x 0

L 2 Không gian các hàm bình phương khả tích

S Đoạn aj ≤ t j ≤ b j , j = 1, , p trong không gian p chiều (a) Tập các số a1, , ar

m q Căn bậc 2 dương của độ đo của S q

i Chỉ số của dạng toàn phương Q(x)

n Số khuyết của dạng toàn phương Q(x)

A jk (s, t) Hàm bình phương khả tích Lebesgue trên S × S

R jk (t) Hàm khả tích bị chặn cốt yếu trên S

P jk (t) Hàm khả tích

Q jk (t) Hàm bình phương khả tích

H Không gian Hilbert

T Toán tử tuyến tính tự liên hợp

Mở đầu

Giải tích biến phân là một lĩnh vực của toán giải tích mà sử dụng biến phân,

mà là sự thay đổi nhỏ của hàm và phiếm hàm, để tìm cực đại và cực tiểu củaphiếm hàm Các phiếm hàm thường được biểu diễn bằng tích phân xác địnhcủa hàm số cùng các đạo hàm của chúng

Một trong những chương thú vị của giải tích biến phân là lý thuyết chỉ số

Nó có hai khía cạnh, lý thuyết trong toàn cục và lý thuyết trong bộ phận nhỏ.Một phần quan trọng của lý thuyết trong bộ phận nhỏ là lý thuyết chỉ số củabiến phân cấp hai Lý thuyết về biến phân cấp hai có thể được tiếp cận từnhiều quan điểm

Hestenes [5] là người đã nghiên cứu sự liên hệ giữa dạng toàn phương trongkhông gian Hilbert với lý thuyết biến phân cấp hai Một dạng toàn phương

J (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện làm mạnh Legendre nếu nó có thể đượcbiểu diễn dưới dạng J (x) = D(x) − K(x), trong đó D(x) xác định dương vàK(x) liên tục đối với tôpô yếu Về bản chất, điều kiện này được thỏa mãn khi

và chỉ khi sự hội tụ yếu và sự hội tụ của các giá trị tương ứng của J (x) kéotheo sự hội tụ mạnh Dạng J (x) mà thỏa mãn điều kiện thứ hai được gọi làdạng Legendre

Trong Chương 3 ta sẽ thấy rằng dạng Legendre có chỉ số (âm) hữu hạn và

số khuyết hữu hạn Các số này là cơ bản trong giải tích biến phân Ví dụ sốkhuyết được dùng để miêu tả số nghiệm độc lập tuyến tính của một phươngtrình vi phân nhất định hoặc phương trình vi tích phân thỏa mãn điều kiệnbiên cho trước Chỉ số có thể được dùng để miêu tả số dao động của nghiệmcủa các phương trình vi phân này Kết quả này là hệ quả của lý thuyết tiêuđiểm

Sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương là một câu hỏi quantrọng và thú vị trong lý thuyết tối ưu Trong bài toán quy hoạch toàn phươnglồi hoặc không lồi, tính chất Legendre của dạng toàn phương trong trong hàmmục tiêu là không thể bỏ qua để đảm bảo bài toán luôn có nghiệm.

Các dẫn chứng bên trên chỉ là một phần rất nhỏ trong sự liên hệ đa dạngcủa dạng Legendre với lý thuyết giải tích biến phân và minh họa một cách ứngdụng của dạng Legendre trong bài toán quy hoạch toàn phương Trong luậnvăn này, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm, chúng tôi trìnhbày đề tài “Dạng Legendre và ứng dụng” dựa theo bài báo “Applications of thethoery of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations” củaHestenes [5] và bài báo “On the Solution Existence of Nonconvex QuadraticProgramming Problems in Hilbert Spaces” của V.V Dong và N.N Tam [3].Mục đích của luận văn là hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về dạngtoàn phương trong không gian Hilbert, một số tính chất cơ bản của dạng toànphương, khái niệm chỉ số và số khuyết của dạng toàn phương, khái niệm dạngLegendre, cặp Legendre, dạng tựa Legendre cùng một số ứng dụng của chúng.Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương.Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Dạng Legendre

Chương 3 Ứng dụng của dạng Legendre

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trước tiên, chúng tôi xin trình bày các khái niệm cơ sở nền tảng như tíchtrong, tính trực giao, tính Q-trực giao, hàm liên tục, hàm liên tục yếu, hàm nửaliên tục dưới yếu, dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương,tính chất J -transversality, tính nửa liên tục dưới yếu, khái niệm chỉ số và sốkhuyết của dạng toàn phương, khái niệm xác định dương và không kỳ dị củadạng toàn phương

Cho A là một không gian tuyến tính trên trường số thực Các phần tử của

A, được gọi là các véctơ, được ký hiệu bằng x, y, z, Số thực, được gọi là

số vô hướng, được ký hiệu bằng a, b, c, Tổng của hai véctơ x và y được

ký hiệu bằng x + y, và tích của x với số vô hướng b được ký hiệu bằng bxhoặc xb Lớp con B của A mà đóng kín đối phép cộng và phép nhân vô hướngđược gọi là lớp con tuyến tính của A Số chiều của B là số véctơ độc lập tuyếntính trong B trong tập lớn nhất gồm các véctơ độc lập tuyến tính Tập véctơ

x1, , xn được gọi là sinh ra lớp con tuyến tính B của A gồm tất cả các véctơ

có dạng a1x1+ · · · + anxn Nếu các véctơ x1, , xn độc lập tuyến tính, chúngtạo thành một cơ sở của lớp con B mà chúng sinh ra Một lớp con tuyến tính

B của A được gọi là tổng trực tiếp của các lớp con tuyến tính B1, , Bn nếumọi véctơ x trong B biểu diễn duy nhất thành tổng x = x1+ · · · xn với xi trong

Bi (i = 1, , n) và nếu mọi véctơ tổng như này thuộc B

Giả sử ta có một hàm đối xứng (x, y) ánh xạ A × A vào tập số thực, nóđược gọi là tích trong của x và y nếu nó có các tính chất sau:

(a) (x, x) ≥ 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0,

(b) (x, ay + bz) = a(x, y) + b(x, z),

(c) tất cả dãy Cauchy có giới hạn, tức là cho một dãy {xq} thỏa mãn

lim

p,q→∞|xp− xq| = 0,trong đó |x| = (x, x)1/2, tồn tại một véctơ x0 trong A sao cho

lim

Đại lượng |x| ≡ (x, x)1/2 được gọi là chuẩn hay độ dài của x và thỏa mãn các

hệ thức

|x| ≥ 0, |ax| = |a||x|, |(x, y)| ≤ |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y|

Đại lượng |x − y| ký hiệu khoảng cách từ x tới y

Hai véctơ x và y gọi là trực giao nếu (x, y) = 0 Véctơ x gọi là trực giao vớilớp con B của A nếu nó trực giao với mọi véctơ y trong B Hai lớp con B và Cgọi là trực giao nếu mọi véctơ x trong B trực giao với mọi véctơ y trong C Tậptất cả các véctơ trực giao với lớp con B được gọi là phần bù trực giao của B.Định nghĩa 1.1.1 ([5]) Dãy véctơ {xq} được gọi là hội tụ mạnh tới véctơ

Ký hiệu aq → a0 thường được dùng để biểu thị rằng dãy số {aq} hội tụ tới

a0 Một tập con đóng của A được hiểu là tập đóng với phép hội tụ mạnh

Định nghĩa 1.1.2 ([5]) Hàm giá trị thực f (x) xác định trên A được gọi làliên tục nếu f (xq) → f (x0) khi xq ⇒ x0 Nó được gọi là liên tục yếu nếu

f (xq) → f (x0) khi xq → x0 Nếu

lim inf

q→∞ f (xq) ≥ f (x0)khi xq → x0, thì f (x) được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên A, tức là nửa liêntục dưới trên A đối với sự hội tụ yếu

Hàm f (x) được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn đẳng thức

f (ax + by) = af (x) + bf (y)

Một hàm cộng tính liên tục được gọi là tuyến tính và thường được ký hiệubằng L(x)

Ta sẽ thường xuyên sử dụng các tính chất cơ bản của sự hội tụ yếu và mạnh.Chú ý, lớp con tuyến tính đóng của A mà trên đó mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụmạnh có số chiều hữu hạn Cũng nhắc lại rằng nếu L1(x), , Lk(x) là k dạngtuyến tính, thì lớp B gồm tất cả các véctơ x sao cho Li(x) = 0 (i = 1, , k)

là lớp con tuyến tính đóng của A Mọi dạng tuyến tính L(x) bị triệt tiêu trên

B có thể được biểu diễn dưới dạng

L(x) = h1L1(x) + · · · + hkLk(x) (1.3)Các hệ số h1, , hk là duy nhất nếu L1(x), , Lk(x) độc lập tuyến tính.Cho dạng tuyến tính L(x), khi đó tồn tại duy nhất véctơ y thuộc A sao choL(x) = (y, x)

Định nghĩa 1.1.3 ([5]) Hàm T (x) : A → A được gọi là phép biến đổi tuyếntính nếu nó liên tục và cộng tính theo nghĩa

T (ax + by) = aT (x) + bT (y) (1.4)Với phép biến đổi tuyến tính T (x) kiểu như này, tồn tại một số M sao cho

Nếu T (xq) ⇒ T (x0) khi xq → x0, thì T (x) được gọi là hoàn toàn liên tục trênA

Định nghĩa 1.1.4 ([5]) Một hàm giá trị thực B(x, y) xác định trên A × Ađược gọi là dạng song tuyến tính nếu nó tuyến tính theo y với mỗi x và tuyếntính theo x với mỗi y.

Với mỗi dạng song tuyến tính B(x, y) tồn tại tương ứng duy nhất một cặpphép biến đổi tuyến tính T và T∗, được gọi là liên hợp của nhau, sao cho

B(x, y) = (T (x), y) = (x, T∗(y)) (1.6)Chú ý rằng |B(x, y)| ≤ M |x||y| với M thích hợp Ngoài ra, nếu xq ⇒ x0, và

yq → y0, thì B(xq, yq) → B(x0, y0)

Định nghĩa 1.1.5 ([5]) Dạng song tuyến tính B(x, y) được gọi là hoàn toànliên tục nếu B(xq, yq) → B(x0, y0) khi xq → x0 và yq → y0, ký hiệu K(x, y).Nếu K(x, y) = K(y, x) thì K(x, y) là hoàn toàn liên tục khi và chỉ khiK(x) = K(x, x) là liên tục yếu trên A dựa theo đẳng thức

2K(x, y) = K(x, y) − K(x) − K(y)

Định nghĩa 1.1.6 ([5]) Cho dạng song tuyến tính đối xứng Q(x, y) : A×A →

R, khi đó Q(x) = Q(x, x) được gọi là một dạng toàn phương trên A ứng vớidạng song tuyến tính đối xứng Q

Với dạng toàn phương, ta có đẳng thức cơ bản

Q(ax + by) = a2Q(x) + 2abQ(x, y) + b2Q(y)

Một dạng toàn phương là một hàm liên tục theo x nhưng trong tổng quátkhông liên tục yếu Một dạng toàn phương liên tục yếu thường được ký hiệubằng K(x) và dạng song tuyến tính tương ứng được ký hiệu bằng K(x, y).Phép biến đổi tuyến tính T (x) tương ứng với dạng toàn phương đồng nhấtvới liên hợp của nó và do đó nó được gọi là tự liên hợp Do đó, việc nghiên cứudạng toàn phương tương đương với việc nghiên cứu phép biến đổi tuyến tính

tự liên hợp Khi ứng dụng vào giải tích biến phân ở phần bên dưới, có vẻ như

sẽ đơn giản hơn nếu ta phát biểu kết quả của chúng ta dưới dạng toàn phươngthay vì theo dạng phép biến đổi tuyến tính tương ứng

1.2 Một số ví dụ

1.2.1 Minh họa I

Ví dụ 1.2.1 ([5]) Cho A là không gian gồm các véctơ x là hàm giá trị véctơx(t) = [x1(t), , xr(t)], trong đó t = (t1, , tp) là một điểm trong không gianEuclide p chiều nằm trong khoảng cố định S : aα ≤ tα ≤ bα (α = 1, , p).Mỗi thành phần xj(t) được giả sử là hàm bình phương khả tích Lebesgue trên

S Tích trong của hai véctơ x và y xác định bởi công thức

Ta chứng minh ba định lý mà sẽ dùng trong áp dụng vào giải tích biến phân.Định lý 1.2.2 ([5]) Cho A là không gian như trong Ví dụ 1.2.1 Cho Ajk(s, t) (j, k =

1, , r) là r2 hàm bình phương khả tích Lebesgue trên S × S Khi đó dạng songtuyến tính

là một dạng tuyến tính trên lớp A∗gồm các hàm bình phương khả tích Lebesgue

zjk(s, t) (j, k = 1, , r) trên S × S Theo tiêu chuẩn của sự hội tụ yếu miêu tả

ở trên ta thấy rằng quan hệ xq → x0, yq → y0 kéo theo quan hệ zq → z0 trên

A∗, trong đó zqjk(s, t) = xjq(s)ykq(t) (q = 0, 1, 2, ) Do đó

L(zq) = K(xq, yq) → L(z0) = K(x0, y0),điều phải chứng minh

Định lý 1.2.3 ([5]) Cho Rjk(t) = Rkj(t) (j, k = 1, , r) là r(r + 1)/2 hàmkhả tích bị chặn cốt yếu trên S, và đặt

Q(x, y) =

Z

S

Rjk(t)xj(t)yk(t)dt (1.8)

Khi đó dạng toàn phương Q(x) = Q(x, x) là nửa liên tục dưới yếu trên A khi

và chỉ khi tại hầu hết các điểm của S bất đẳng thức

Với mỗi số nguyên q đặt xj

Định lý 1.2.4 ([5]) Dạng toàn phương Q(x) xác định bởi (1.8) thỏa mãn hệthức

trên A với h là hằng số dương khi và chỉ khi bất đẳng thức

Rjk(t)ajak ≥ hajaj (1.12)đúng hầu khắp nơi trên S

Chứng minh Kết quả này thu được bằng cách áp dụng Định lý 1.2.3 cho dạngtoàn phương

trong đó dạng song tuyến tính Q(x, y) và K(x, y) tương ứng với Q(x) và K(x)được xác định bởi (1.8) và (1.7) với Ajk(s, t) = Akj(t, s) được đặc biệt quantâm Trong trường hợp r = 1, ta có dạng toàn phương đặc biệt

J (x) =

Z b a

[x(t)]2dt −

Z b a

Z b a

A(s, t)x(s)x(t)dsdt (1.14)

có hạt nhân đối xứng A(s, t) = A(t, s) Dạng toàn phương này đóng vai tròquan trọng trong lý thuyết Hilbert-Schmidt về phương trình tích phân có hạtnhân đối xứng

1.2.2 Minh họa II

Ví dụ 1.2.5 ([5]) Xét A là không gian gồm toàn bộ các cung x trong khônggian (t, x1, , xp) xác định bởi tập p hàm giá trị thực

x : xj(t) (a ≤ t ≤ b, j = 1, , p)liên tục tuyệt đối và có đạo hàm ˙xj(t) bình phương khả tích trên a ≤ t ≤ b.Các số a và b cố định Tích trong của x và y là

(x, y) = xj(a)yj(a) +

Z b a

˙xj(t) ˙yj(t)dt (1.15)Chuẩn |x| = (x, x)1/2 của x là

|x|2 = xj(a)xj(a) +

Z b a

˙xj(t) ˙xj(t)dt (1.16)Dựa vào các kết quả dưới đây, ta dễ dàng kiểm tra được các giả thiết trongMục 1.1 được thỏa mãn

(Pjkxjxk + 2Qjkxj˙xk)dt (1.18)

là dạng toàn phương liên tục yếu trên A

Dạng toàn phương liên tục yếu loại hai được miêu tả như sau:

Định lý 1.2.7 ([5]) Cho Ω(s, t, x, ˙x, y, ˙y) xác định bởi công thức

Ω = Ajk(s, t)xjyk + Bjk(s, t)(xjy˙k + yj˙xk) + Cjk(s, t) ˙xjy˙k,

trong đó Ajk(s, t) = Akj(t, s) là hàm khả tích của s và t và Bjk(s, t) = Bkj(t, s)

là hàm bình phương khả tích của s và t, và Cjk(s, t) = Ckj(t, s) là các hàm khảtích bị chặn cốt yếu của s và t Khi đó dạng song tuyến tính đối xứng

K(x, y) =

Z b a

Z b a

Ω(s, t, x(s), ˙x(s), y(t), ˙y(t))dsdt (1.19)hoàn toàn liên tục

Rjk(t) ˙xj(t) ˙xk(t)dt (1.20)

là nửa liên tục dưới yếu trên A khi và chỉ khi bất đẳng thức

Rjk(t)πjπk ≥ 0 (j, k = 1, , r) (1.21)đúng hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b với mọi tập (π) 6= (0)

Điều kiện (1.21) được gọi là điều kiện Legendre

Định lý 1.2.9 ([5]) Cho D(x) là dạng toàn phương

D(x) = xj(a)xj(a) +

Z b a

Rjk(t) ˙xj˙xk(t)dt, (1.22)trong đó Rjk(t) = Rkj(t) bị chặn cốt yếu và khả tích trên a ≤ t ≤ b Khi đó bấtđẳng thức

D(x) ≥ h|x|2đúng, với h < 1 là hằng số dương, khi và chỉ khi bất đẳng thức

Rjk(t)πjπk ≥ hπjπj (1.23)đúng hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b với mọi tập (π) 6= (0)

Điều kiện (1.23) được gọi là điều kiện làm mạnh của Legendre.

Trong phần sau ta sẽ xét phép mở rộng của Định lý 1.2.8 và 1.2.9 cho trườnghợp khi các cung phải thỏa mãn điều kiện vi phân

Dạng tuyến tính trên A ta mà khảo sát có dạng

L(x) = akxk(a) + bkxk(b) +

Z b a

[Ak(t)xk(t) + Bk(t) ˙xk(t)]dt, (1.24)

trong đó A1(t), , Ar(t) là các hàm khả tích và B1(t), , Br(t) là các hàmbình phương khả tích trên a ≤ t ≤ b Liên quan tới dạng này, ta có

Định lý 1.2.10 ([5]) Dạng tuyến tính (1.24) có thể được biểu diễn duy nhấtdưới dạng L(x) = (y, x), trong đó y là cung trong A xác định bởi

yk(a) = ak + bk +

Z b a

Ak(s)ds,

˙

yk(a) = Bk(t) +

Z b t

Ak(s)ds + bk (1.25)Định lý 1.2.11 ([5]) Dạng tuyến tính (1.24) đồng nhất bằng không trên lớp

B gồm các cung trong A có xj(a) = xj(b) = 0 khi và chỉ khi tồn tại các hằng

số ck sao cho điều kiện

Bk(t) =

Z t a

Ak(s)ds + ck (k = 1, , r) (1.26)đúng hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b

Ta không xét dạng toàn phương tổng quát nhất có thể xây dựng được màchỉ giới hạn vào dạng toàn phương thông thường được nghiên cứu trong giảitích biến phân Dạng toàn phương này là có kiểu (1.20) với K(x) xác định bởi(1.18) Nó thường được ký hiệu bằng

J (x) = 2q[x(a), x(b)] +

Z b a

2ω(t, x, ˙x)dt, (1.27)trong đó 2q là thành phần bên phải của (1.17) và

2ω = Pjkxjxk + 2Qjkxj˙xk + Rjk˙xj˙xk (1.28)

Dạng song tuyến tính tương ứng là

J (x, y) = qka(x)yk(a) + qkb(x)yk(b) +

Z b a

(ωxkyk + ωx˙ky˙k)dt, (1.29)trong đó qka(x), qkb(x) lần lượt là đạo hàm của 2q[x(a), x(b)] đối với xk(a), xk(b).1.2.3 Minh họa III

Ví dụ 1.2.12 ([5]) Ký hiệu S là đoạn

aj ≤ tj ≤ bj (j = 1, , r)trong không gian (t1, , tr), và ký hiệu A là lớp các hàm giá trị thực

Hai hàm số là đồng nhất nếu chúng khác nhau nhiều nhất trên một tập có

độ đo không trên S

Tích trong của hai hàm x và y trong A là

Cho P (t), Qk(t), Rjk(t) = Rkj(t), (j, k = 1, , p) là các hàm liên tục theo

t trên S Ta sẽ quan tâm tới các tính chất của dạng toàn phương

J (x) =

Z

S

(P x2+ 2Qkx ˙xk+ Rjk˙xj˙xk)dt (1.30)

đúng trên S với mọi (π) 6= (0).

Định lý 1.2.15 ([5]) Dạng toàn phương D(x) xác định bởi (1.32) thỏa mãnbất đẳng thức có dạng

D(x) ≥ h|x2| (h > 0) (1.34)trên A khi và chỉ khi điều kiện làm mạnh của Legendre

“âm” được định nghĩa tương tự bằng cách đổi dấu bất đẳng thức

Định nghĩa 1.3.2 ([5]) Hai véctơ x và y được gọi là Q-trực giao nếu Q(x, y) =

0 Nếu x là Q-trực giao với tất cả véctơ y trong lớp con B của A, thì x đượcgọi là Q-trực giao với B Tập tất cả các véctơ Q-trực giao với B được gọi làphần bù Q-trực giao của B Hai lớp B và C được gọi là Q-trực giao nếu mỗivéctơ trong B là Q-trực giao với C

Định nghĩa 1.3.3 ([5]) Gọi B là lớp con tuyến tính của A Véctơ x được gọi

là Q-transversal của B nếu nó thuộc B và Q-trực giao với B Ký hiệu B0 là tậpcác véctơ Q-transversal của B, tức là

B0 = {x ∈ B : Q(x, y) = 0 ∀y ∈ B}

Từ định nghĩa Q-transversal ta suy ra kết quả sau

Bổ đề 1.3.4 ([5]) Cho C là tập tất cả các véctơ x trong A thỏa mãn tập mphương trình

Lα(x) = 0 (α = 1, , m) (1.36)xác định bởi dạng tuyến tính Lα(x) Nếu y là Q-transversal của C thì tồn tạimột tập các bội h1, , hm sao cho ta có

Q(y, x) + hαLα(x) = 0 (1.37)với mọi x trong A Nếu L1(x), , Lm(x) là độc lập tuyến tính trên A, các bội

là duy nhất

Bổ đề 1.3.5 ([5]) Cho B là lớp con tuyến tính của A có số chiều hữu hạn

và gọi C là phần bù Q-trực giao của nó Gọi A0, B0, C0 tương ứng là các tậpQ-transversal của A, B, C Khi đó:

(a) Véctơ z thuộc C0 khi và chỉ khi nó là tổng z = x + y gồm véctơ x thuộc

(d) Gọi B∗ là lớp con tuyến tính của A sao cho mọi véctơ chung của B0 và

B∗ là Q-trực giao với B∗ Nếu số chiều của B∗ lớn hơn số chiều của B thìtồn tại véctơ x 6= 0 trong B∗ mà Q-trực giao với B nhưng không thuộc B

Ví dụ 1.3.6 ([5]) Quay trở lại Ví dụ 1.2.1 với J (x) xác định bởi (1.14):

J (x) =

Z b a

[x(t)]2dt −

Z b a

Z b a

A(s, t)x(s)x(t)dsdt

có hạt nhân đối xứng A(s, t) = A(t, s) Ta thấy rằng véctơ x là J -transversalcủa A khi và chỉ khi phương trình

x(t) =

Z b a

đúng hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b

Ví dụ 1.3.7 ([5]) Quay trở lại Ví dụ 1.2.5 với J (x) xác định bởi (1.27):

J (x) = 2q[x(a), x(b)] +

Z b a

2ω(t, x, ˙x)dt,trong đó 2q là thành phần bên phải của (1.17) và

2ω = Pjkxjxk + 2Qjkxj˙xk + Rjk˙xj˙xk.Theo Định lý 1.2.11 ta thấy rằng cung x là J -trực giao với lớp B gồm các cung

mà bị triệt tiêu tại t = a và t = b khi và chỉ khi tồn tại hằng số ck sao cho

ωx˙k =

Z t a

ωxkdt + ck (k = 1, , p) (1.39)hầu khắp nơi trên a ≤ t ≤ b Các phương trình này là phương trình Euler dạngtích phân, nghiệm của chúng được gọi là các đường cực trị Khi điều kiện làmmạnh của Legendre (1.23) đúng, theo lý thuyết của phương trình vi phân tasuy ra rằng các đường cực trị tạo thành một lớp con tuyến tính của A có sốchiều 2p Cho một đường cực trị x ta ký hiệu thành phần bên phải của (1.39)bằng ξk(t), khi đó

ξk(t) =

Z t a

Ví dụ 1.3.8 ([5]) Trong Ví dụ 1.2.5, ký hiệu B là lớp các cung x trong A thỏamãn m phương trình tuyến tính

Lα(x) = aαkxk(a) + bαkxk(b) = 0 (α = 1, , m) (1.41)Gọi J (x) xác định bởi (1.27) Một cung x trong B là J -transversal của B khi

và chỉ khi nó thỏa mãn (1.39) với các hằng số ck và ngoài ra nó thỏa mãn điềukiện transversality

− ξk(a) + qka+ hαaαk = 0,

ξk(b) + qkb+ hαbαk = 0, (1.42)trong đó ξk(t) xác định bởi phương trình (1.40), và qka, qkb tương ứng là cácđạo hàm riêng của q[x(a), x(b)] theo xk(a), xk(b) Theo Bổ đề 1.3.4 tồn tại cáchằng số hα sao cho phương trình

J (x, y) + hαLα(y) = 0đúng với mọi y trong A Theo kết quả của Ví dụ 1.3.7, phương trình (1.39)đúng hầu khắp a ≤ t ≤ b Do đó ta có

J (x, y) = qkayk(a) + qkbyk(b) +

Z b a

{ωxkyk + ωx˙ky˙k}dt

= [qka− ξk(a)]yk(a) + [qkb+ ξk(b)]yk(b),trong đó ξk(t) xác định bởi (1.40) Sử dụng hai phương trình cuối ta thu được(1.42) Các bội hα là duy nhất nếu ma trận kaαkbαkk có hạng m

Một phần quan trọng của các kết quả tìm được trong Chương 3 dựa vàođịnh lý sau:

Định lý 1.4.1 ([5]) Cho dạng toàn phương Q(x) trên A, lớp A biểu diễn đượcmột cách duy nhất thành tổng trực tiếp của ba lớp con tuyến tính A−, A0, A+

có các tính chất sau:

(a) Các lớp A−, A0, A+ trực giao từng đôi và Q-trực giao từng đôi,

(b) Q(x) âm trên A−, bằng không trên A0, và dương trên A+

Lớp A0 là lớp Q-transversal của A Kết quả trên có thể được phát biểu lạinhư sau:

Định lý 1.4.2 ([5]) Dạng toàn phương Q(x) trên A có thể được biểu diễn duynhất thành hiệu

Q(x) = P (x) − N (x)gồm hai dạng toàn phương P (x) và N (x) với tính chất rằng

(a) P (x) = 0 trên phần bù trực giao của lớp N -transversal của A,

(b) N (x) = 0 trên phần bù trực giao của lớp P -transversal của A,

(c) P (x) = N (x) = 0 trên lớp Q-transversal của A

Dạng toàn phương mà ta quan tâm là dạng toàn phương nửa liên tục dướiyếu Kết hợp các kết quả trong phần sau đây với Định lý 1.2.3, 1.2.8 và 1.2.14,

ta sẽ thấy rằng trong các ví dụ bên trên, dạng toàn phương là nửa liên tụcdưới yếu khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện Legendre dạng yếu hơn

Đầu tiên ta có kết quả:

Bổ đề 1.4.3 ([5]) Nếu Q(x) không âm trên lớp con tuyến tính đóng B của Athì Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên B

Bổ đề 1.4.4 ([5]) Nếu Q(x) không dương và nửa liên tục dưới yếu trên lớpcon tuyến tính đóng B của A thì Q(x) là liên tục yếu trên B

Kết hợp kết quả này với Định lý 1.4.1 ta thu được:

Định lý 1.4.5 ([5]) Dạng toàn phương Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên Akhi và chỉ khi nó liên tục yếu trên lớp A− Nói riêng, nếu A− có số chiều hữuhạn thì Q(x) là nửa liên tục dưới yếu

Hệ quả 1.4.7 ([5]) Nếu Q(x) là nửa liên tục dưới yếu trên A và Q∗(x) ≥ Q(x)trên A, khi đó Q∗(x) là nửa liên tục dưới yếu trên A

Định lý 1.4.8 ([5]) Nếu Q(x) không âm trên phần bù trực giao (Q-trực giao)của lớp con tuyến tính C của A có số chiều hữu hạn, khi đó Q(x) là nửa liêntục dưới yếu trên A

1.5 Dạng toàn phương có chỉ số và số khuyết hữu

hạn

Định nghĩa 1.5.1 ([5]) Cho một dạng toàn phương Q(x), số chiều i của lớp

A− được miêu tả trong Định lý 1.4.1 được gọi là chỉ số của Q(x) trên A Sốchiều n của A0 được miêu tả trong Định lý 1.4.1 được gọi là số khuyết củaQ(x) trên A

Trong mục này ta quan tâm tới trường hợp khi i là hữu hạn và trường hợpkhi i + n là hữu hạn Trong các trường hợp này Q(x) là nửa liên tục dưới yếutrên A Hệ quả là trong các ví dụ trong Mục 1.2, điều kiện Legendre được thỏamãn trong dạng yếu hơn miễn là dạng toàn phương có chỉ số hữu hạn

Định nghĩa bên trên về chỉ số và số khuyết vẫn thỏa mãn khi A được thaybằng lớp con tuyến tính đóng B Nó không thỏa mãn nếu B không đóng vìphép phân tích trong Định lý 1.4.1 dựa vào tính đầy đủ của không gian Do đó

ta sẽ định nghĩa:

Định nghĩa 1.5.2 ([5]) Số khuyết của Q(x) trên lớp con tuyến tính B của A

là số chiều của lớp các Q-transversal của B Chỉ số của Q(x) trên B là số chiềucủa lớp con tuyến tính cực đại của B mà Q(x) âm

Định nghĩa về chỉ số là xác định đúng (well-defined) theo bổ đề sau:

Bổ đề 1.5.3 ([5]) Cho B là lớp con tuyến tính của A và gọi B0 là lớp cácQ-transversal của nó Giả sử tồn tại một lớp con tuyến tính cực đại C của B

có số chiều hữu hạn mà Q(x) âm trên đó Khi đó Q(x) ≥ 0 trên lớp D gồm cácvéctơ x ∈ B mà Q-trực giao với C, bất đẳng thức chỉ đúng trong trường hợp xthuộc B0 Nếu C∗ là lớp con tuyến tính cực đại của B mà trên đó Q(x) ≤ 0 vàthỏa mãn C∗ không chứa véctơ x 6= 0 chung với B0, khi đó số chiều của C∗ bằng

(b) số chiều của lớp con tuyến tính cực đại C của A mà trên đó Q(x) ≤ 0 vàkhông chứa Q-transversal khác không của A;

(c) số nguyên bé nhất k thỏa mãn Q(x) ≥ 0 trên phần bù Q-trực giao của lớpcon tuyến tính C của A có số chiều k;

(d) số nguyên bé nhất k sao cho Q(x) ≥ 0 trên phần bù trực giao của lớp contuyến tính D của A có số chiều k;

(e) số nguyên bé nhất k sao cho tồn tại k dạng tuyến tính L1(x), , Lk(x)sao cho Q(x) ≥ 0 miễn là Lα(x) = 0 (α = 1, , k)

Hệ quả 1.5.5 ([5]) Nếu Q(x) không âm trên phần bù trực giao (hoặc Q-trựcgiao) của lớp con tuyến tính C của A có chiều số hữu hạn k, khi đó Q(x) cóchỉ số i ≤ k

Ta cũng có kết quả mạnh hơn như sau

Định lý 1.5.6 ([5]) Tổng m = i + n của chỉ số i và số khuyết n của Q(x)trên A nếu hữu hạn thì được xác định bởi một trong các đại lượng sau:

(a) số chiều của lớp con tuyến tính cực đại B của A mà Q(x) ≤ 0;

(b) số nguyên k bé nhất sao cho Q(x) dương trên phần bù trực giao của lớpcon tuyến tính B của A có số chiều k;

(c) số nguyên k bé nhất sao cho tồn tại k dạng tuyến tính L1(x), , Lk(x)sao cho Q(x) > 0 miễn là x 6= 0 và Lα(x) = 0 (α = 1, , k)

Chứng minh Kết quả này được thiết lập nhờ Định lý 1.5.4 Tổng trực tiếp Bcủa các lớp A− và A0 được miêu tả trong Định lý 1.4.1 có các tính chất trongĐịnh lý 1.5.6

Hệ quả 1.5.7 ([5]) Nếu Q(x) dương trên phần bù trực giao của lớp con tuyếntính C của A có số chiều hữu hạn, tổng của chỉ số và số khuyết của Q(x) trên

A không lớn hơn k

Kết quả sau được suy ra trực tiếp

Định lý 1.5.8 ([5]) Nếu A∗ là lớp con tuyến tính của A, và i, i∗ là các chỉ số

và n, n∗ là các số khuyết tương ứng của Q(x) trên A, A∗, khi đó

i∗ ≤ i, i∗+ n∗ ≤ i + d ≤ i + n, (1.44)trong đó d là số chiều của lớp D gồm các véctơ mà đồng thời Q-transversal với

A và A∗

Một kết quả tương tự như sau:

Định lý 1.5.9 ([5]) Giả sử Q∗(x) ≥ Q(x) trên A Nếu i, i∗ tương ứng là chỉ

số và n, n∗ tương ứng là số khuyết của Q(x), Q∗(x) trên A, khi đó (1.44) đúng,trong đó d là số chiều của lớp D gồm các véctơ x mà đồng thời là Q-transversal

và Q∗-transversal với A Nếu Q∗(x) > Q(x) với mọi x 6= 0, thì

Ta có thể thu được một tập các bất đẳng thức đầy đủ hơn các bất đẳngthức trong Định lý 1.5.8 khi A∗ là phần bù trực giao của một lớp con tuyếntính A có số chiều hữu hạn Kết quả này được trình bày như sau:

Định lý 1.5.10 ([5]) Cho L1(x), , Lk(x) là k dạng tuyến tính độc lập tuyếntính trên A và gọi A∗ tập tất cả các véctơ x thỏa mãn

đúng với mọi x ∈ B Nó được gọi là xác định dương trên B nếu tồn tại một sốdương h sao cho bất đẳng thức

đúng trên B

Thông thường, dạng toàn phương xác định dương trên A sẽ được ký hiệubằng D(x) và dạng song tuyến tính tương ứng ký hiệu bằng D(x, y)

Tiêu chuẩn của tính xác định dương được đưa ra như sau:

Định lý 1.6.2 ([5]) Nếu một dạng toàn phương dương D(x) có một trong cáctính chất sau trên A thì nó có tất cả các tính chất này:

Kết luận chương 1

1 Trong chương 1, luận văn đã hệ thống lại các khái niệm về giải tích hàm,giải tích lồi như: tích trong, chuẩn, tính trực giao, sự hội mạnh, hội tụ yếutrong, liên tục yếu, nửa liên tục dưới yếu trong không gian tuyến tính;các dạng toàn phương có chỉ số và số khuyết hữu hạn Dạng toàn phươngxác định dương và không kỳ dị

2 Chương 1 trình bày tổng quan một số công cụ để giải quyết bài toán saunày như tính chất J-transversality, tính nửa liên tục dưới yếu của dạngtoàn phương,

Chương 2

Dạng Legendre

Trong chương này, chúng tôi trình bày kiến thức chính của luận văn làđịnh nghĩa dạng Legendre và các tính chất liên quan của nó, ví dụ như dạngLegendre dương là xác định dương, chỉ số và số khuyết của dạng Legendre làhữu hạn Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày điều kiện để dạng toàn phương làdạng Legendre

Ví dụ 2.1.3 Ký hiệu `2 là không gian Hilbert gồm tất cả các dãy số thựckhả tổng Định nghĩa T : `2 → `2 bởi T x = (0, x2, x2, , xn, ), trong đó

x = (x1, x2, x3, , xn, ) ∈ `2 Khi đó (x, T x) = 12 = (|x|2 − x2

1) Theo [2,Mệnh đề 3.79], (x, T x) là một dạng Legendre

Dạng Legendre thường được ký hiệu bởi J (x) và dạng song tuyến tính tươngứng được ký hiệu bởi J (x, y) Ta sẽ thấy rằng trong ứng dụng vào giải tích biếnphân, dạng Legendre là các dạng thỏa mãn điều kiện làm mạnh của Legendre.Theo ý (c) của Định lý 1.6.2 ta có

Định lý 2.1.4 ([5]) Dạng Legendre dương là xác định dương

Định lý 2.1.5 ([5]) Không gian con tuyến tính B của A mà trên đó có dạngLegendre J (x) không dương có số chiều hữu hạn

Chứng minh Trong trường hợp này, theo Bổ đề 1.4.4 J (x) là liên tục yếu trên

B Do đó, nếu hệ thức xq → x0 đúng trên B ta cũng có J (xq) → J (x0) cho nêntheo tính chất (b) của J (x), xq ⇒ x0 Từ đó suy ra rằng sự hội tụ yếu và hội

tụ mạnh trên B là tương đương Điều này chỉ có thể xảy ra nếu B có số chiềuhữu hạn, điều phải chứng minh

Dựa theo kết quả này, các lớp A0, A− liên hệ với dạng Legendre J (x) nhưmiêu tả trong Định lý 1.4.1 có số chiều hữu hạn Do vậy ta có

Định lý 2.1.6 ([5]) Dạng Legendre có chỉ số và số khuyết hữu hạn

Định lý 2.1.8 ([5]) Tổng J (x) + K(x) của dạng Legendre J (x) và dạng toànphương liên tục yếu K(x) cũng là một dạng Legendre

Sử dụng kết quả này ta có thể chứng minh:

Định lý 2.1.9 ([5]) Dạng toàn phương J (x) là dạng Legendre trên A khi vàchỉ khi nó có thể được biểu diễn thành hiệu

gồm dạng xác định dương D(x) và một dạng liên tục yếu K(x) Thật ra, K(x)

có thể được giới hạn là không âm trên A

Chứng minh Nếu J (x) có dạng (2.1), theo Định lý 2.1.8 nó là một dạngLegendre Để chứng minh điều ngược lại, gọi x1, , xn là cơ sở J -trực giaocủa A Chọn P (x), N (x) liên hệ với J (x) như trong Định lý 1.4.2 Khi đó

J (x) = P (x) − N (x), và

D(x) = P (x) + N (x) + (xα, x)(xα, x)dương trên A Như ta đã thấy trong chứng minh của Định lý 1.4.6, dạng N (x)

là liên tục yếu trên A và do đó dạng

K(x) = D(x) − J (x) = 2N (x) + (xα, x)(xα, x)cũng liên tục yếu Vì D(x) sai khác J (x) bằng một dạng liên tục yếu, D(x) làmột dạng Legendre trên A Vì D(x) dương, theo Định lý 2.1.4 nó là xác địnhdương và định lý được chứng minh

Hệ quả 2.1.10 ([5]) Nếu J (x) là một dạng Legendre thì tồn tại một dạng liêntục yếu không âm K(x) sao cho J (x) > 0 với mọi x 6= 0 thuộc A có K(x) = 0

Hệ quả 2.1.11 ([5]) Nếu J (x) là một dạng Legendre trên A và J∗(x) làmột dạng toàn phương thỏa mãn J∗(x) ≥ J (x) trên A thì J∗(x) là một dạngLegendre trên A

Chứng minh Vì nếu D(x), K(x) liên hệ với J (x) như trong định lý thì

D∗(x) = J∗(x) + K(x) ≥ J (x) + K(x) = D(x)

Do đó D∗(x) xác định dương trên A, và J∗(x) là một dạng Legendre, điều phảichứng minh