SKKN: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn Đại số

3 Nhiệm vụ của đề tài:3.1 Đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức phân môn đại số đ

3) Nhiệm vụ của đề tài:

3.1 Đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với

Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức (phân

môn đại số) đối với học sinh khá, giỏi lớp 8,lớp 9.

5) Đối t ợng nghiên cứu và ph ơng pháp tiến hành

Đề tài áp dụng với học sinh lớp 8 và lớp 9 Tiến hành thực hiện đề tài trongcác giờ luyện tập,ôn tập cuối chơng, cuối kỳ và cuối năm đặc biệt là trong cácgiờ phụ đạo học sinh giỏi ,ôn thi cấp 3

6) Dự kiến kết quả của đề tài.

Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải đợc một số bài tập về bất đẳngthức đơn giản,hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn,ngại làm bài tập vềbất đẳng thức

Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳngthức,làm bài tập tốt hơn,tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức dạng tơngtự,hạn chế đợc sai lầm khi giải toán bất đẳng thức

B Nội dung và phơng pháp giải quyết

Chú ý: Không đợc trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều

*Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dơng thì bất đẳng thứckhông đổi chiều

a > b và c > 0 → ac > bc

* Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì bất đẳng thức đổichiều

a > b và c < 0 → ac < bc

*Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm:

* a2 ≥ 0 với mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0

* |a|≥ 0 với mọi a, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0

*Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

II Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1.

Bµi 1.3 : Chøng minh r»ng víi mäi x,y ta lu«n cã:

+b2 +c2 3

¿

(a+b +c3 )2 c) Hãy tổng quát bài toán

Giải :

a) Xét hiệu : D =

a2+b2

2 −(a+b2 )2 =

4(a−b )

2 ≥0 ∀

a, b Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

Lời bình: Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa là

một phơng pháp đơn giản và phổ biến Với hệ thống bài tập giáo viên đa ra từ

dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp đã tạo cho học sinh có hứng thú học tập ban đầu khi tiếp cận với dạng toán bất đẳng thức

2.Phơng pháp2: Sử dụng tính chất bắc cầu

- KiÕn thøc : A≥ B vµ B≥ C th× A≥ C

Trớc hết ta chứng minh a, b, c < 1 Thật vậy nếu a ≥ 1 thì từ b+ c > a ≥ 1 suy ra a + b + c > 2 trái giả thiết

Ta lại có (1-a)(1-b)(1-c) = 1 - a - b - c + ab + ac + bc - abc > 0

2 - 1

Hay a2 + b2 + c2 +2abc < 2 (đpcm

3 Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng

- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất

đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh

DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b =

1 2

Bµi 3.6: NÕu a >b >0 vµ m,n lµ hai sè tù nhiªn mµ m>n

3 Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức phụ và bất đẳng thức quen thuộc

- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức phụ nh:

Chứng minh một số bất đẳng thức phụ và hệ quả:

1) Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ 2 |xy|

Các ví dụ :

Bài 4.1: Cho a,b thỏa mãn a2 + b2 ≤ 2, chứng minh:

- 2 ≤ a + b ≤ 2

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức phụ : a2 + b2 ≥ 2ab và giả thiết a2 + b2 ≤ 2

ta suy ra 2ab ≤ 2 hay ab ≤ 1

Từ : (a + b)2 ¿ 4ab , (a + b + c)2 = [(a+b )+c]2≥4(a+b )c

→ 16 ¿ 4(a + b)c → 16(a + b) ¿ 4(a + b)2c ¿ 16 abc

→ a + b ¿ abc

Tơng tự : b + c ¿ abc

c + a ¿ abc

→ (a + b)(b + c)(c + a) ¿ a3b3c3

⇔ ( a

b+c + 1) + (

b c+a + 1) + (

c a+b + 1 ) ≥

9 2

⇔ a+b+ c

b+c +

a+b+c c+a + a+b+ c

§Æt x= a + b , y = b + c , z = c + a råi ¸p dông c©u a ta cã ®pcm

Bµi 4.5 : Cho ba sè a , b , c tháa m·n ®iÒu kiÖn: a2 + b2 + c2 = 1

Chøng minh: - 1

2 ≤ ab + bc + ca ≤ 1 (1)

Lại có: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 (luôn đúng - bất đẳng thức phụ)

Vậy bất đẳng thức đã cho đợc chứng minh

Bài 4.6: Cho 4 số dơng a , b , c , d Chứng minh rằng:

b+c a + b

c+d + c

a+d +

d a+b ≥ 2

b(a+b)+d (c +d )

(c +d ) (a+b ) ≥ 4

b2 +d2 +ab+ cd

( a+b+c +d )2 (2) Lấy (1) cộng (2) ta có:

a

b+c+

b c+d+

c a+d +

d a+b ≥ 4.

a2+b2+c2+d2+ad +bc +ab+cd

(a+b+ c+ d )2

Ta chứng minh: 4.a

2 +b2+c2+d2+ad +bc +ab +cd

(a+ b+c +d )2 ≥ 2 (3)

Thật vậy : 4( a2+b2+c2+d2+ad+bc+ ab+cd )

≥ 2 (a2

+b2+c2+d2+2ab +2 ac+2 ad+2 bc+2bd +2 cd )

Bµi 4.8:

Cho a, b, c ¿ 0 ; a + b + c = 1 Chøng minh r»ng :

a, √a+b+√b +c+√c+a≤√6

b, √ a+1+ √ b+1+ √ c+1<3,5

Giải

a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :

( √ a+b.1+ √ b+c 1+ √ c+a.1 ) ≤ ( 1+1+1 ) [ ( √ a+b )2+ ( √ b+c )2+ ( √ c+a )2]

( √a+b+√b+c+√c+a)2≤3.(2a+2b+ac )=6

→ √a+b+√b +c +√c+a≤√6

Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =

1 3

b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

√a+1+√b+1+√c +1≤ a+ b+c

2 +3=3,5 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 Vậy : √ a+1+ √ b+1+ √ c+1<3,5

Bài 4.9 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1

a>0 , a , b > 0

a+b < 1 nªn theo tÝnh chÊt trªn ta cã: a

a+b < a+b+ c a+c (2)

b b+c + c

c+d +a + d

d +a+b < 2 b) 2 < a+ b

a+b+ c +

b+c b+c +d + c+d

a+b < 2

6 phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác

a , b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác  a <b+c (1)

b < a+c (2)

c < a+b (3)

Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra đợc 3 bất đẳngthức về hiệu hai cạnh

áp dụng bất đẳng thức phụ 1

→ điều phải chứng minh

Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c ⇔ a = b = c

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Bài 6.2:

Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR:

√n2 +n < 1

- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho

về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải

3 2

VËy:

a b+c+

b

c +a+

c b+a≥

3 2

1 4

Lêi gi¶i:

§Æt : a =

x2−y2

(1+ x 2 )(1+ y2

) vµ b =

1−x2y2

(1+ x2 )(1+ y2

)

→ ab =

(x2−y2)(1−x2y2) (1+x2)2(1+ y2)2

Ta cã dÔ thÊy víi mäi a, b th× : -

§iÒu v« lý cã thÓ lµ tr¸i víi gi¶ thiÕt , hoÆc lµ nh÷ng ®iÒu tr¸i nhîc nhau , tõ

+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

Tơng tự : b(1 - b) ¿

1 4

c(1 - c) ¿

1 4

d(1 - d) ¿

1 4 Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :

Phủ định rồi suy ra hai điều trái ng ợc nhau

Bài 9.2 : Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba

c)≥6 Điều này mâu thuẫn với (1)

Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên → đpcm

Bài 9.3 :

Chứng minh rằng không có các số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thứcsau :

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng

ph-ơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

Vậy (**) đúng với mọi k ¿ 3

+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n ¿ 3

2k+1 2( k+1)≤

1

√3k+1 .

2k+1 2( k+1)

do đó chỉ cần chứng minh :

1

√3 k+1

2k+1 2( k+1) ¿

Kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

Cho C ≥ D Chứng minh rằng A ≥B ta chứng minh: (A - B) + (D - C) ≥0 Các ví dụ:

Mà a + b ≥ 1 nên 1 - a - b < 0 do đó a2 + b2 - 1

2 ≥ 0  a2 + b2 ≥

1 2

- Kiến thức : Nếu f(x) ¿ m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m

Nếu f(x) ¿ M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M

Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi ,

Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị

Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng ph ơngpháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức

Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng cácbất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chú ý : | A|+|B|≥|A+B|

Xảy ra dấu '' = '' khi AB ¿ 0

| A|≥0 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0

VËy min B =

1

2 khi a = b =

1 2

VËy minC = 2 khi

1

2≤x≤

3 2

MaxP =

1

8 khi x = y = z =

1 2

b)

2 +(c +1

D u '' = '' x y ra khi : a = b = c = ấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = ảy ra khi : a = b = c =

1 3

V y MinF = 33ậy MinF = 33

b Tìm giá trị lớn nhất của K = | x|. √ 1−x2

Hớng dẫn : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 :

2 - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình

- Kiến thức :

Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất

đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận đểchỉ ra nghiệm của phơng trình

Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) → phơng trình có nghiệm

Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn

VP = (x - 2)2 + 2 ¿ 2 , dÊu '' = '' x¶y ra khi x = 2

→ VT ¿ 4 , dấu '' = '' xảy ra khi √6−x = √x+2  x = 2

→ không có giá trị nào của x để VT = VP → Phơng trình vô nghiệm

- Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phơng trình của hệ , suy

luận và kết luận nghiệm

¿ 1 (**)

Từ (*) và (**) → x = -1 Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1

→ Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1

- Kiến thức : Biến đổi một phơng trình của hệ , sau đó so sánh với phơng

trình còn lại , lu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc

Vậy hệ phơng trình có nghiệm : x = y = z =

1 3 Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ;

- Kiến thức : Dùng phơng pháp thế

Bài 3 :

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2

4 Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên

Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi họcsinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc đợc cáckiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng đợc

Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên

Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :

Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm của phơng trình là :

b) x4+y4

1 8



Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR:

a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e)

Bài 3: Cho hai số dơng x,y và x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 <1

Bài 4: Cho hai số dơng x,y CMR :

x y 

Bài 9: CMR: Nếu a  1;b  1

thì a b   1 ab

Bài 10: CMRvới mọi số nguyên dơng n3thì 2n > 2n+1

Bài 11: Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác

CMR:

1 8

Kết quả kiểm tra trớc khi thực hiện đề tài:

d-2011 đội tuyển xếp thứ 2/ 25 trờng và 02 học sinh vào đội tuyển tỉnh.

VI:Bài học kinh nghiệm

Qua việc hớng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là

phần kiến thức mở do giáo viên đa vào cuối các giờ luyện tập , hoặc giờ tựchọn nên nội dung đối với học sinh còn phức tạp , khó hình dung , vì vậy cần

đa kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao bài tập

về nhà , kiểm tra học sinh …

Sau khi hớng đẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiếnthức cần thiết , đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh Cần đa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhậnkiến thức một cách thụ động mà đạt kết quả không mong muốn

VII: Phạm vi áp dụng đề tài

Đề tài “một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của

bất đẳng thức trong phân môn đại số“ đợc áp dụng cho học sinh lớp 8, 9

thích hợp nhất là học sinhlớp 9 và với đối tợng là học sinh khá giỏi

C: kết luận Các bài tập về bất đẳng thức thờng là tơng đối khó đối với học sinh , nh-

ng khi hớng dẫn học sinh xong đề tài một số ph“ ơng pháp chứng minh bất

đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức “, học sinh sẽ thấy rằng việc làm

bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn Đồng thời đứng trớc bài toán khó cho dù

ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hớng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ

Ngời thực hiện đề tài

Nguyễn Thị Hoàng Hoan

Nhận xét đánh giá của Tổ khoa học tự nhiên

trờng THCS Hồng Tiến

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét đánh giá của Ban Giám Hiệu trờng THCS Hồng Tiến ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Nhận xét đánh giá của Phòng Giáo Dục và Đào tạo Khoái Châu

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

A Mở đầu

1) Lý do chọn đề tài:

Trong chơng trình toán THCS , các bài toán về bất đẳng thức chiếm một vị trí rất quan trọng xuyên suốt trong cấp học đặc biệt đối với trờng chuyên lớp chọn Các bài toán về bất đẳng thức có mặt trong cả hai phân môn hình học và phân môn đại số Lớp 6, lớp7 các bài toán về bất đẳng thức còn ít và đa phần

là các bài toán đơn giản, sang đến lớp 8, lớp 9 các bài toán dạng này đa dạng hơn phong phú hơn,đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo mới có thể giải quyết đợc.Dạng toán này giúp học sinh phát triển t duy và hình thành các phẩm chất trí tuệ rất rõ nét.Các bài toánchứng minh bất đẳng thức còn mang một nội dung giáo dục t tởng quan

trọng,các em biết so sánh để tìm đợc cái tốt hơn ,cái dễ hơn ,điều thú vị hơn trong công việc và trong đời sống hàng ngày.Chính tầm quan trọng đó mà các bài toán về bất đẳng thức luôn có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi cấp3

Một trong những thực trạng hiện nay khi dạy dạng toán bất đẳng thức ở

có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh khôngxác định đợc hớng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCScòn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh còn lúng túngnhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác

Trong những năm thực tế giảng dạy ở trờng THCS Hồng Tiến tôi có tham gia công tác bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8,lớp 9 kết quả thu đợc cũng khá tốt, và

phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại

số luôn đợc tôi dùng để bồi dỡng học sinh giỏi vì vậy tôi viết đề tài này để các

đồng chí đồng nghiệp tham khảo và tôi mong đợc sự góp ý của đồng nghiệp

để công tác bồi dỡng học sinh giỏi của tôi đợc hoàn thiện hơn Trong nội dung của đề tài này tôi xin đợc giới thiệu một số phơng pháp hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùngcác bất đẳng thức đã biết , phơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào điềukiện cho trớc, và một số bài tập vận dụng trong phân môn đại số nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh

và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói

chung

2) Mục đích nghiên cứu:

2.1 Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập tốt hơn bộ môn toán nói

chung và việc giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúpcác em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và làm công cụ giải quyết một

số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức

2.2 Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa,sách

tham khảo,giúp học sinh tự giải quyết một số bài tập

2.3 Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp phải khi giải

toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học