dang LG va ung dung

Công thức Moa-vrơ Moivrevà ứng dụng :3 b ứng dụng vào lượng giác ví dụ 2 : Xét khai triển cos sin cos 3cos sin 3cos...  Nắm vững dạng lượng giác của số phức và cỏc phộp toỏn nhõn, chia

KIỂM TRA BÀI CŨ : Cho số phức

1 Tính môđun của số phức z ?

2 Xác định điểm M biểu diễn cho số phức z

và tính số đo của góc lượng giác tia đầu Ox, Tia cuối OM

3 1

2 2

1 |z| = 1

1 2

3 2

M

x

y

O

ϕ

2 sđ(Ox,OM) =

6

π

BÀI 3- TIẾT 79-80

Số phức dưới dạng lượng giác :

1

a) Acgumen của số phức z ≠ 0

phức biểu diễn cho số phức z Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

z có dạng

ϕ

2 ,

ϕ + k π k ∈ Z

Ví dụ: tìm một acgumen của các số phức sau:

a) Số thực dương tùy ý

b) Số thực âm tùy ý

c) Các số 3i; -2i; 1 - i

Có một acgumen là 0

2 2 4

π π π − −

b) Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức z = a + bi ≠ 0 (a,b Kí hiệu r là mô đun

của z, là một acgumen của z thì ta có: ∈ ¡

ĐN 2: Dạng , trong đó r > 0, được gọi

là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 Còn dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z

( os is )

z r c = ϕ + in ϕ

( a b , ∈ ¡ )

Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi khác 0 cho trước cần:

1 Tìm r: đó là mô đun của z :

2 Tìm : đó là một acgumen của z, thỏa mãn:

( os is )

r c ϕ + in ϕ

( a b , ∈ ¡ )

r = a + b

ϕ

c

Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :

2

cos sin , ' ' cos ' sin '

z r i

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Định lí:

Nếu

thì:

' ' cos( ') sin( ') ,

cos( ') sin( ') ' '

z r

i

z r

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

1

3 1

1

i

i

i

+

+

+

2

Nhõn và chia số phức dưới dạng lượng giỏc :

2

Vớ dụ 1: Viết cỏc số phức sau dưới dạng lượng giỏc

( ) ( )

1 3

i

i i

+

+ +

Giải: Ta cú:

( )( )

ên:

3

5

co

n

i

i

+ =  + ữ

=   − ữ+  − ữữ =  + ữ

5

+ + =   + ữ+  + ữữ =  + ữ

= +  s−π 4 +isin−π 4  

    ữ

Thực hiện phép nhân, chia dưới dạng đại

số rồi suy ra

12

sin

; 12 cos

12

5 sin

; 12

5 cos

π π

π π

Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :

2

Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

1+i 2

cos sin

2 4 6 4 6 3

2

cos sin

2 12 12

1 3 2 2 os sin

4 6 4 6 5

2 2 os isin

12 12

1 1

cos sin

i i

i

i i c i

c

i i

=   − ÷+  − ÷÷

5

=  − ÷+ − ÷÷

( ) ( ) ( ) ( )

4 3

i

i i

+ =  + + − 

+ + + = − + +

Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác :

2

cos sin , ' ' cos ' sin '

z r i

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Định lí:

Nếu

thì:

' ' cos( ') sin( ') ,

cos( ') sin( ') ' '

z r

i

z r

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

NhËn xÐt

NÕu z=z’ th×

z2=r2[cos2ϕ+isin2ϕ]

Công thức Moa-vrơ (Moivre)và ứng dụng :

3

a) C ông thức Moa-vrơ:

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

n i

n i

n i

n r

i

r

n

n n

sin cos

sin cos

sin cos

sin

cos

+

= +

+

= +

a) Viết dạng đại số của số phức đó?

b) Viết dạng khai triển nhị thức Niutơn của số phức c) Tính

Cho số phức:

15 15 15 15

C − C + C − − C

Công thức Moa-vrơ (Moivre)và ứng dụng :

3

a) C ông thức Moa-vrơ:

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

n i

n i

n i

n r

i r

n

n n

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

+

= +

+

= +

Ví dụ 1 :

( )15 15 ( )15

i i

b) Viết dạng khai triển nhị thức Niutơn của số phức

0 2 4 14 7

15 15 15 15 2

C − C + C − − C =

a) Viết dạng đại số của số phức

5

Công thức Moa-vrơ (Moivre)và ứng dụng :

3

b) ứng dụng vào lượng giác

ví dụ 2 : Xét khai triển

cos sin cos 3cos sin 3cos sin sin

cos 3cos sin 3cos sin sin

i

cos ϕ + i sin ϕ = 3cos ϕ + i sin 3 ϕ

cos3 cos 3cos sin 4 cos 3cos sin 3 3cos sin sin 3sin 4sin

Hoàn toàn tương tự có thể biểu diễn cosnϕ và sinnϕ theo các lũy thừa của

cosϕ và sin ϕ

Công thức Moa-vrơ (Moivre)và ứng dụng :

3

c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

z có hai căn bậc hai là

1

2

cos sin

= −  + ữ =  − − ữ

     

=   + ữ +  + ữ ữ

Công thức Moa-vrơ (Moivre)và ứng dụng :

3

Bài tập: Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

3

5

1 cos sin ;

= − −

Tính : P= (3 + 4i) + (1 – 2i)(5 + 2i)

Số nào trong các số sau là số thực:

a) b) c) d)

(2+ i 5) + (2 - i 5 )

( 3+ 2i) - ( 3 - 2i )

(1 + i 3) 2

Số nào trong các số sau là số

thuần ảo :

a) b)

c) d) (2 + 2i) 2

( 2 + 3i) + ( 2 - 3i) ( 2 + 3i)( 2 - 3i)

(2 + 3i) 2

Tính Z=[(4 +5i) – (4 +3i)]5 có

kết quả là :

a) – 2 5 i

b) 2 5 i

c) – 2 5

d) 25

 Nắm vững dạng lượng giác của số phức và cỏc phộp toỏn nhõn, chia số phức dạng lượng giác.

 Tớnh toỏn thành thạo biểu diễn số phức dư

ớ i dạng đại số và lượng giác để làm các bài toán ứng dụng

 Làm cỏc bài tập SGK trang 206; 207