Chứng minh rằng:... HƯỚNG DẪN: Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B Nếu không nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác.Với các BĐT có dấu ;
Trang 1I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
A.Một số ví dụ:
1 Chứnh minh : (Với a , b 0) (BĐT Cô-si)) (BĐT Cô-si)
Giải:
( a - b ) = a - 2ab + b 0) (BĐT Cô-si) a + b 2ab Đẳng thức xảy ra khi a = b
2 Chứng minh: (Với a , b 0) (BĐT Cô-si))
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab 0) (BĐT Cô-si) + 4ab ( a + b ) 4ab Đẳng thức xảy ra khi a = b
3 Chứng minh: (Với a , b 0) (BĐT Cô-si))
Giải:
2(a + b) - ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) 0) (BĐT Cô-si) 2(a + b) ( a+b ) Đẳng thức xảy ra khi a = b
4 Chứng minh: .(Với a.b > 0) (BĐT Cô-si))
Giải:
+ = Do ab 2 Hay + 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b
5 Chứng minh: .(Với a.b < 0) (BĐT Cô-si))
Giải:
+ = - .Do 2 - -2 Hay + - 2 Đẳng thức xảy ra khi a = -b
6 Chứng minh: (Với a , b > 0) (BĐT Cô-si))
Giải:
+ - = = 0) (BĐT Cô-si) + Đẳng thức xảy ra khi a = b
7 Chứng minh rằng:
Giải:
2(a +b +c) - 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) 0) (BĐT Cô-si)
2(a +b +c) 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ab+bc+ca Đẳng thức xảy ra khi a
= b;b = c;c = a a = b= c
Trang 2 A B A B 0) (BĐT Cô-si)
Cần lưu ý tính chất:A2 0) (BĐT Cô-si)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0) (BĐT Cô-si)
Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0) (BĐT Cô-si) thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1. a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc
2. a2b2 c2d2 e2 abcde
3. x 1x 3x 4x 6 10) (BĐT Cô-si) 1
4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14
5. 10) (BĐT Cô-si)a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 0) (BĐT Cô-si)
6. a2 + 9b2 + c2 + 192 > 2a + 12b + 4c
7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 4
8. x2 – xy + y2 0) (BĐT Cô-si)
9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0) (BĐT Cô-si)
10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 0) (BĐT Cô-si)
11. x4 + x3y + xy3 +y4 0) (BĐT Cô-si)
12. x5 + x4y + xy4 +y5 0) (BĐT Cô-si) với x + y 0) (BĐT Cô-si)
13. a4 + b4 +c4 a2b2 + b2c2 + c2a2
14. (a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b
15. ac +bd bc + ad với ( a b ; c d )
2
a
17.
2 2
2 2
3
a
18. b ab ca c a ba c b c (với a b c > 0) (BĐT Cô-si))
19. a b ab ab
9
12 ( Với a,b > 0) (BĐT Cô-si))
20. bc a ca b ab c a1 b11c (Với a,b,c > 0) (BĐT Cô-si))
===========o0) (BĐT Cô-si)o===========
Trang 3HƯỚNG DẪN:
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không
nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT
có dấu ; thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra
2
a
Bài 2: 4A – 4B = a 2b2 a 2c2 a 2d2 a 2e2
Bài 3: A – 1 =x 1x 3x 4x 6 9= 2
3
Y
Bài 4: A – B = a 12 2b 32 3c 12 1
Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2
Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +
2 1
Bài 7: A – B = a 2b2 b 12
Bài 8:
x2 – xy + y2 = 2 342
2
y y
Bài 9: x2 – xy + y2 -3x – 3y + 3 = 2 2
1 1
1
Biến đổi tiếp như bài 8
Bài 10: Tương tự bài 9
Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = x2 xyy2xy2
Bài 12: Tương tự bài 11
Bài 13: Xem ví dụ 7
Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b
Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b ; c d )
= c da b
Bài 16:
4
2a2 b2 ab 2
Bài 17: Xem bài tập 16
Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)(
(Với a b c 0) (BĐT Cô-si))
Bài 19:
ab
b a a
b
9
3
( Với a,b > 0) (BĐT Cô-si))
Bài 20:
abc
ab ac ac bc bc
(Với a,b,c > 0) (BĐT Cô-si))
===========o0) (BĐT Cô-si)o===========
Trang 4TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I: DẠNG
2 2
ax + bx +c =
b
a
4a
2a
2 2
ax + bx +c =
b
a
Suy ra
2
4 a c+b ax
4 a
2 a
Một số ví dụ:
MinA Khi x
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 8.
MinB = 8 khi :
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10) (BĐT Cô-si) - 10) (BĐT Cô-si).
GTLNC = 10) (BĐT Cô-si) khi:
BÀI TẬP:
5. Tìm GTNN Ax2 5x 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)8
6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2
7. Tìm GTLN D = 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)7 x2 5x
8. Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
9. Tìm GTNN của G = x4 10) (BĐT Cô-si)x3 25x2 12
10.Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10) (BĐT Cô-si)y
11.Tìm GTNN C = 3 12 4 3 1 5
x
12. Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3)
13.Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y
Trang 5HƯỚNG DẪN
5 A = x - 5x + 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)8 = (x - 2,5)2 + 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)1,75
MinA = 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)1,75 khi x = 2,5
6 B = 1 + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2
7 D = 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)7 - x - 5x = 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)4,5 - ( x + 2,5)2
8 F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x +x+1) =
9 G = x - 10) (BĐT Cô-si)x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10 M = x + 2y - 2xy + 2x - 10) (BĐT Cô-si)y = (x - y + 1) + (y - 4) -16.
x
* Nếu x C = (3x - 3) + 1
* Nếu x < C = (3x + 1) + 6
13 K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1.
Trang 6
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây
1 a2 b2 2ab
(a,b>0) (BĐT Cô-si)) (BĐT Cô-si)
2 a b2 4ab
3 2a2 b2ab2
4 2 ;a,b 0) (BĐT Cô-si)
a
b b a
5 1 1 4 ; , 0) (BĐT Cô-si)
b a b a
6 a2b2c2abbcca
7 axby2 a2 b2x2 y2 ( Bu nhi a cop xki)
8 a x b y a x b y
2 2
2
9 a x b y c z a x b y c z
2 2
2 2
b
ca a
bc c
ab
(Với a,b,c > 0) (BĐT Cô-si))
b
ca a
bc c
ab
2 2 2 2 2
b
a a
b c a
c c
a b b
c c
b a
Áp dụng bất đẳng thức 2 ;a,b 0) (BĐT Cô-si)
a
b b
a
.Ta có:2A - 2B a2 2b2 2c2 2 0) (BĐT Cô-si).Vậy A B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0) (BĐT Cô-si)
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1 Chứng minh rằng : 1 2 2 2 8
y x
4 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1
y xy x y
x xy y
x xy y
x
8
2
y
x Đẳng thức xảy ra khi
2
1
y x
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
2 2
2 2 2
Giải:
c
a c
b b
a c
b
b
a
2 2
2
2
2
2
a
b a
c c
b a
c c
b
2 2
2
2
2
2
b
c b
a a
c b
a a
c
2 2
2
2
2
2
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b b
c c
a a
c c
b
b
a
a
b b
c c
a a
c c
b
b
a
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trang 7Bài tập:
1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng 1 1 1 9
c b a c b a
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1 Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8
3. Cho các số a,b biết a + b = 1 Chứng minh rằng
a) a + b b) a + b
4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1 Chứng minh: + + 9
5. Cho x , y , z 0) (BĐT Cô-si)và x + y + z 3 Chứng minh rằng:
+ + + +
6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
a + 6
b + 14
7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 Chứng minh rằng
(a + ) + (b + )
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0) (BĐT Cô-si)
, 2
1 2
1 2
1 3
1 3
1 3
1
b a c a c b c b a a c c b b
9. Cho a,b,c là 3 số dương
Chứng minh : bc a ac b ab c a1 b1c1
10. Cho a,b,c là 3 số dương
Chứng minh rằng :
2
2 2
a b
c c a
b c b
11. Chứng minh: a + b với a + b 1
c a c
b c b
a
Với a,b,c > 0) (BĐT Cô-si)
13. Chứng minh: a4 b4c4 abcabc
14. Bài 28: Cho x 0) (BĐT Cô-si) ;y 0) (BĐT Cô-si) ;z 0) (BĐT Cô-si) ;
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz
2 2
1 1 2
1
2
1 1
1
Trang 8HƯỚNG DẪN:
a
c c
b a
c c
a a
b b a
2 Áp dụng (a + 1) 2a
3 a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) 0) (BĐT Cô-si)
b) Áp dụng câu a
4 Xem bài 1
5 + + + + = + + =
+ + =
6. A = + = ( + ) + + = 6 ( vì 2ab (a+b)a+b) )
B = + = 3( +) +
7. (a + ) + + (b + ) + = + 5(a + ) + 5(b + )
= 5( a + b) + 5( + ) 5( a + b) + 5 = 25 Suy ra: (a + ) + (b + )
8. + ; + ; +
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
9. Ta có: + = (a+b) + ) 2
a b
c c
b a ab
c ac
2
1
b c
a a
c b bc
a ab
2
1
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c (Hãy kiểm tra lại)
10.Áp dụng BĐT a x b y c z a x b y c z
2 2
2 2
11. a + b ( a + b )
12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) (a+b+c) = Suy ra:
2
3
c a c
b c b a
13 Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số a4 b4 c4rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm
14 Áp dụng BĐT xy2 4xy.Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
15 A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 1 1 4 ; , 0) (BĐT Cô-si)
b a b
hạng thích hợp sẽ có đpcm
Trang 9GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ví dụ: Tìm Max của A = 2 52 5
x x
II.Dạng: Tìm GTLN(GTNN) A = Tìm GTNN(GTLN) của
Ví dụ: Tìm GTNN của B =
Giải: B = 1 - .Đặt C = = (x + ) + 2 4 Min = 4 khi x = 1 MaxC
= MinB = khi x = 1
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
1. với x > 0) (BĐT Cô-si)
2. với x > -2
3. x -x + 4 +
4.
5.
2 4 1
x
x
7.
2
1 2
1 6 4
x
x x
8.
22 8
41 16 2
2 2
x x
x x
9.
8
512
2 6
x x
10.
4 2
3
2
11.
1
3
2 2
x x
1.
2.
3.
1 3
3
2
x
x
4.
5.
20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)8
x x
6. I = (Với x ≠ 0) (BĐT Cô-si))
DẠNG :Có mối quan hệ giữa các biến
1 Cho 3x + y = 1
a.Tìm GTNN của A = 3x + y
b.Tìm GTLN của B = xy
2 Cho a , b > 0) (BĐT Cô-si) và a + b = 1 Tìm GTNN
của C = (1+ ) + (1 + )
3 Tìm GTLN của các Biểu thức:
a.D = 2x(16 - 2x) với 0) (BĐT Cô-si) < x < 8
b E = với x > 0) (BĐT Cô-si); y > 0) (BĐT Cô-si); x + y = 10) (BĐT Cô-si)
4 Cho x + 2y = 1.Tìm GTNN của x2 + 2y2
5 Cho 4x - 3y = 7.
Tìm GTNN của 2x2 + 5y2
6 Cho xy = 1 Tìm GTNN của x y
7 Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10) (BĐT Cô-si) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của :
x2 + y2
8 Cho x và y là các số nguyên dương thoả
mãn : x + y = 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)9 Tìm GTNN và GTLN của A = x.y
9 Tìm GTNN của P = x + y + x + y với
x + y = 1
10 Tìm GTLN của Q = xy +yz + zx
Với x + y + z = 3
11 Cho x + 2y = 3
Tìm GTNN của R = x + 2y
12 Cho x + 2 + z = 3 Tìm GTNN của
H = x + y + z + xy +yz + zx
Tìm GTNN và GTLNcủa các biểu thức sau:
1.
2.
3.
9
12 27
2
x
x A
4.
1 4
3 8
2
x
x B
5.
2
1 2
2
x
x C
6.
1
3 2 3
2 2
x
x x D
7.
5
1 4
2
x x E
Trang 1012. = 17 + 4x +
13. =
14.x -x + 4 +
15.
16.
2 4 1
x
x
18.
2
1 2
1 6 4
x
x x
19.
22 8
41 16 2
2 2
x x
x x
20.
8
512
2 6
x x
21.
4 2
3
2
22.
1
3
2 2
x x
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức
A
B
F
G
Bài 8:
4 Cho x + 2y = 1 Tìm GTNN của x2 + 2y2 HD: Viết (x + 2y )2 = (x.1 + 2 y 2)2
5 Cho 4x - 3y = 7 Tìm GTNN của 2x2 + 5y2
5
3 5 2
4
6 Cho xy = 1 Tìm GTNN của x y
HD: (x + y)2 2xy xy 2
7 Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10) (BĐT Cô-si) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của : x2 + y2
HD: 7(x2 + y2 ) = 10) (BĐT Cô-si) - 8xy 10) (BĐT Cô-si) -4(x2 + y2 )
11(x2 + y2 ) 10) (BĐT Cô-si) Min (x2 + y2 ) = 10) (BĐT Cô-si)/11
8 Cho x và y là các số nguyên dương thoả mãn :
x + y = 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)9 Tìm GTNN và GTLN của A = x.y
HD:4xy = (x + y)2 -(x - y)2 = 20) (BĐT Cô-si)0) (BĐT Cô-si)92 - (x - y)2
*xy lớn nhất khi và chỉ khi (x - y) = 1
*xy nhỏ nhất khi và chỉ khi (x - y) lớn nhất