SKNN – phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải

Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú Trong

đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương pháp chứng minhbất đẳng thức

Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứvào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗibài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phươngpháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp mộtcách hợp lí mới giải được

Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào cácdạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và đề thi họcsinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bấtđẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì vậy họcsinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Trong thực tế ở trường THCS và THPT, học sinh gặp nhiều khókhăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toánchứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo mộtphương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bàitoán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS Và THPT còn có nhiềuhạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều vàkhông biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác

Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tínhchất cơ bản, một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bấtđẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bấtđẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., một sốbài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinhbớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳngthức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh,giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nóiriêng và bộ môn Toán nói chung

Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số

phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khinghiên cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong được sựgóp ý của các thày cô giáo, các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn, tôi xinchân thành cảm ơn!

2 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- kỹ năng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

- kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớnnhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phươngtrình vô tỉ

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Học sinh trung học cơ sở

- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó

4- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thậptài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượnghọc sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờhọc, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá

và học sinh trung bình về môn Toán

5 PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bấtđẳng thức ở chương trình toán trung học cơ sở

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

PHẦN I CƠ SỞ LÝ LUẬN.

Để giải được bài toán đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ bài toán xem bài

toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặp bài toán nào đã giải có dạng tương tự như bài toán đó hay không để từ đó

có thể tìm ra cách giải Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn luyện nhiều đôilúc trình bày vấn đề này còn sơ sài

Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rèn luyện và phát huy khả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải được nó đòi hỏi phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn

Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi ngoài chương trình của các em học sinh trung học cơ sở Nhưng việc các

em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi Muốn làm được điều đó đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bài toán mà còn phải khái quát được dạng của nó để đua ra phương pháp

chung cho các bài toán khác tuơng tự

Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm chắc phần lý thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vậndụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành được lôgic của toán học

Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn chế Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói với các em có học lực trung bình, khá

PHẦN 2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.

I> CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý.

1) Định nghĩa bất đẳng thức

+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b

+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,

+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a  b,

+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a  b ,

2) môt số tính chất của bất đẳng thức:

a) Nếu a b  và b c  thì a c  (tính chất bắc cầu)

b) Nếu a b  và c bất kì thì a c b c   

Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất

kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.

c) Nếu a b c   thì a b c  

Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này

sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thf

bất đẳng thức không đổi chiều

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất

Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy

nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức

k) Nếu a b 0   và n nguyên dưong thì an  bn

Nếu a b  và n nguyên dưong thì n n 1

Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào

từng dạng của bài toán Sau đây là một số cách thường dùng

II> CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

a b ab a b 2 ab 0 ( a b) 2 0

2

Với mọi a,b 0  Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a b 

Bài toán 1.2 hoctoancapba.com

Khai thác bài toán:

- Bằng phương pháp xét dấu của hiệu A B  ta xét được sự đúng đắn của bất đẳng thức A B  Để ý rằng với 2 số thực bất kì u v , ta

Khai thác bài toán:

Tương tự ta có thể chứng minh bài toán sau:



 0 Vậy a b 2 a

b   dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b 0   hay a b 

Khai thác bài toán :

1.4.1 Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài Toán sau

.21xx-5

:cã

ta ,5x1m·ntho¶

xmäi víir»ngminhChøng

5x khib»ngdÊuóng

§ 01xx

5

2

41xx524421xx-52

1x

x

Khai thác bài toán:

- Với 3 số dương a, b, c mà abc 1  , bất đẳng thức sau đúng hay sai?

Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu được, hãy phát biểu bài toán tổng quát

1 2 1 2 1 2 3

1 a   1 b   1 c   1 abc 

- Với 2 số x, y mà x y 0   ta có:

1 x 1 y 2x y

1 4  1 4  1 2 

2 Phương pháp biến đổi tương đương

- Để chứng minh A B  ta biến đổi tương đương

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

Bài toán 2.1.

Chứng minh rằng  a, b, c, d R  thì

a2 b2 c d2 2 e a(b+c+d +e)2 

Lời giải.

Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:

(nhân hai vế với 4, chuyển vế)

 (a  b 1) 2(ab a b) 0     

 (a2 2ab b ) (a  2  2 2a 1) (b 2b 1) 0   2  

 (a b)  2  (a 1)  2  (b 1)  2  0 đúng

 Điều cần chứng minh

Khai thác bài toán:

Tương tự như bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

(1)  (a bc) (b ac) (c ab)       0 (2)

(2) đúng  (1) đúng

Khai hác bài toán:

Tương tự như trên ta có thể chứng minh bài toán sau

cba3ac

accb

cbb

a

b

a

:cãlu«n

ta cb,a,

d ongsèmäi víiminhChøng

2 2 2 2

2 2 2 2

aba

bcbcc

c

acbc

b

cbab

c

accb

cbba

bacba

T

B§

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 Phương pháp quy nạp toán học

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1

bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Ta dùng phương pháp quy nạp theo n:

 Với n=2 bất đẳng thức đả được chứng minh ở 1 (bất đẳng

Lấy n số thực không âm x ,x x1 2 n R ,  viết các bất đẳng

thức tương ứng rồi cộng lại ta được:

Từ đó:

Trong lý thuyết đả có một số bất đẳng thức được chúng minh bằng

phương pháp quy nạp (bất đẳng thức Côsi, Becnuli, )

Sau đây ta xét một số bài toán khác.

Khai thác bài toán:

a) Bài toán vẩn đúng trong trường hợp a 0; b 0  

Tương tự như trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau

1) Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh

4 Phương pháp tam thức bậc hai

a) Các tính chất của tam thức bậc hai thương dùng trong bất

Xét tam thức F(x) Ax  2 Bx C  ta chỉ cần chứng minh F(x) 0    x R

at  bt c 0 (a 0)     t   t t trong đó t1, t2 là các nghiệm của

tam thức at2 bt c  ta có lời giải sau

Lời giải:

(1)  a2 4ab 4b  2 (a 2b) 0  

 (a 2b)  2 (a 2b) 0  

Đặt t a 2b    t2      t 0 0 t 1 0 a 2b 1   

Khai thác bài toán:

Ta đã dùng định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bài toán này nên ta có thể giải các bài toán sau bằng một phương pháp khác đơn giản:

Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của các biểu thức:

2

2 2

x 2x 2003 y

bề lõm lên trên (xuống dưới), do đó đỉnh S b ,

' (b 3c d) (b c d) 8bd ' 8(c b)(c d)

' 0 F(a) 0 a R

       

   

Và thu đựơc bất đẳng thức cần chứng minh.

Còn nếu A 0  thì a1 a2  an khi đó bất đẳng thức cần chứng minh

Khai thác bài toán:

Tương tự như bài toán trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thứưc sau:

 Vậy x 2

Trong cả hai trường hợp thì  x 1 x 2       0

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 

Chứng minh:

Cách1: (Phương pháp biến đổi tương đương)

a b

a.b 2



ab (a b) 0 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  an

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Khai thác bài toán:

Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau Cho a,b,c 0  và a b c d 1    

Khai thác bài toán

Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được các bài toán sau

5.2.1 Chứng minh rằng với mọi a,b 0  thoả mãn a + b = 1 ta có

1 2 1 2

6

ab a   b 

5.2.2

a, b 0 a.b 1, :

Cách hai : Xét hiệu của hai vế.

Khai thác bài toán:

Bất đẳng thức trên có liên quan đến viêc “cộng mẫu” nên có thể

sử dụng để chứng minh bất đẳng thưc sau:

a b c a c b

c b

Khai thác bài toán:

Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng thức Côsi để giải Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau:

1) Cho a,b,c 0  và a b c d 1    

Chứng minh rằng

a b c    b c d    b d a    c d a 2 3   

2) Cho a,b,c,d 0  , Chứng minh rằng:

a) (1  a )(1  b )(1  c ) (1  3 abc )

b)

4

(a b)(c d) (a c)(b d) (a d)(b c) 6 abcd

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a c

b d  #> Trường hợp tổng quát

Cho n cặp số 1 2

1 2

nn

2 2

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski cho 3 cặp:

( 4a 3  ;1), ( 4b 3  ; 1), ( 4c 3  ; 1)

Ta có

4a 3   4b 3   4c 3 3(4a 3 4b 3 4c 3) 3 7        

Khai thác bài toán:

Bằng cách xét các cặp số như trên ta có thể giải các bài toán sau: 1) Cho x2 y2 z2 1, chứng minh rằng x 2y 3z    14

2) Cho a,b,c 0  , chứng minh rằng:

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng ,

ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến

thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

thức đã cho.

Khai thác bài toán:

Tương tự như bài toán trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau

Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng Thức sau:

Nói chung ta sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác:

*> Tổng hai cạnh trong tam giác bao giờ củng lớn hơn cạnh còn lại

*> Hiệu hai cạnh trong tam giác luôn bé hơn cạnh còn lại.

Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học:

a2 b2 b c2 2  b(a c)  với a,b,c là những số dương

Lời giải:

Đặt các đoạn BH a,HC c   trên một đường thẳng Kẻ đoạn

HA b  vuông góc với BC

Dể thấy

AB.AC 2S  ABC BC.AH

Khai thác bài toán:

Tương tự như trên ta có thể chứng minh đươc bất đẳng thức sau

Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :

Khai thác bài toán.

Nếu thêm vào điều kiện tam giác ABC có a, b thoả mãn điều kiện

3) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c Chứng minh

rằng

a (b3 2 c ) b (c2  3 2 a ) c (a2  3 2 b ) 02  với a b c  

Bài toán 8.4 Cho tam giác ABC có các cạmh góc vuông là a, b và

Cạnh huyền là c Chứng minh rằng ta luôn có

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

9 Phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

 

 

 

Vậy

Khai thác bài toán:

Bất đẳng thức xa  ya  za (a  2) đúng với mọi bộ số Pitago (

x,y,z R  được gọi là bộ số Pitago nếu x2 y2 z2)

10 Phương pháp làm trội, làm giảm.

Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh

về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

5 3

12 12 12 1 1

n

1  2   n    đpcmb) Với k 1  ta có:

12 2 1 1

2k 1 2k 1 k

Khai thác bài toán:

Tương tự như trên ta chứng minh được bất đẳng thức sau:

1 1 1 1 2

2  3 2 4 3    (n 1) n  

11 Phương pháp dung miền giá trị hàm số.

Đ ể chứng minh B F(x) A   Với mọi x ta đặt y=F(x)

Khai thác bài toán:

Tương tự chúng ta có thể chứng minh được các bài toán sau:

1)

2 2

2x x 1 2x x 1

1 3

12 Sử dụng phương pháp đánh giá:

Đây là PP tương đối khó trong việc chứng minh BĐT, tuỳ từng dạng

bài mà có có cách đánh giá khác nhau.Cần chỳ ý điều kiện đề bài để

có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán

Cộng vế theo vế của 3 bất đẳng thức kép trên ta được:

5> A  B  A B  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A B 0  