Tổng hợp các dạng bất đẳng thức và ứng dụng

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 1 Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tổ Toán - THPT Núi Thành A/ NHỮNG BẤT ĐẲNG THỨC CĂN BẢN THƯỜNG GẶP: 1/ Bất đẳng thức AM

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 1

Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tổ Toán - THPT Núi Thành A/ NHỮNG BẤT ĐẲNG THỨC CĂN BẢN THƯỜNG GẶP:

1/ Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean)-ta thường hay gọi là BĐT Cauchy

*Lưu ý: Các trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM

a)Bất đẳng thức CHEBYSHEV cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực:

b)Bất đẳng thức CHEBYSHEV cho hai dãy đơn điệu ngược chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: 1 2 3

1 2 3

n n

n n

1)Bất đẳng thức HOÁN VỊ cho hai dãy đơn điệu cùng chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: 1 2 3

1 2 3

n n

2)Bất đẳng thức HOÁN VỊ cho hai dãy đơn điệu ngược chiều:

Cho hai dãy hữu hạn số thực: 1 2 3

1 2 3

n n

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 3

Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh

(Điều quan trọng trong trường hợp này là để ý dấu bằng xảy ra)

Cộng 3 BĐT trên suy ra được điều cần chứng minh

Với ý tưởng trên ta có thể giải tương tự các câu dưới đây :

Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra P≥ ⇒ 1 minP= 1khi a b c= = = 1

Bài tập 3: ( Bài toán này chúng tôi sáng tác và chủ định giải theo “ thêm yếu tố phụ” , tuy nhiên có thể

giải theo cách khác nhanh hơn)

Cho x, y, z >0thoả mãn x y z+ + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 5

MinQ = khi x=y=z=1 ( Nếu dùng Cauchy-Schwarz sẻ nhanh hơn)

Bài tập 4: ( Bài toán này chúng tôi sáng tác và chủ định giải theo “thêm yếu tố phụ” , tuy nhiên có thể

giải theo cách khác nhanh hơn)

Cho x, y, z >0thoả mãn x y z+ + ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3

MinQ = khi x=y=z=1

Bài tập 5: Cho 3 số thực a,b,c>0 và thoả a b c 3abc+ + = Chứng minh rằng:

a b+ + b c+ + c a+ ≥ ( Toán học tuổi trẻ - ra ngày 19/1/2007)

Giải: ab+bc+ca ≤ 3abc ⇔ 1 1 1 3

Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z = 1 hay a = b = c = 1

BÀI 2: Cho a;b;c là 3 số dương thoả: a.b.c = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 1

Dấu bằng xảy ra khi: x = y = z = 1 hay a = b = c = 1

BÀI 3: Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa : 41 41 41 41 1

a + +b + +c + +d + = Chứng minh rằng : abcd ≥3 (Lavia 2002)

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 7

2

29

5

a a a

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

BÀI 7: Cho các số thực dương a,b,c Chứng minh rằng: 2 2 2 1

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 9

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 11

Mở rộng: Từ bài toán này ta có thể mở rộng ra bài toán sau

Cho ba số a,b,c dương thỏa điều kiện a2+b2+c2=1 Chứng ming rằng: 1 1 1 9

DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG HAI BỔ ĐỀ CƠ BẢN

Bổ đề 1: Trong 3 số a, b và c bất kỳ luôn tồn tại hai số mà cùng lớn hơn hoặc bằng m hay cùng nhỏ hơn

hoặc bằng m ( với m là số thực tuỳ ý)

Không mất tính tổng quát giả sử : a b c≤ ≤

( dễ dàng được suy ra từ BĐT: (x m y m− )( − ) 0≥ )

Bài tập 1: Cho 3 số thực a,b,c dương thoả : a2+b2+c2+abc= (*) 4

Chứng minh rằng: 0≤ab bc ca abc+ + − ≤2

(USAMO-2000) -Từ giả thết suy ra có ít nhất một trong ba số a,b,c không lớn hơn 1.Giả sử số đó là c, khi đó ta có:

ab bc ca abc ab+ + − = −c +c a b+ ≥

*Ta đi chứng minh: ab bc ca abc+ + − ≤ 2

-Cách1:

-Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a và b thoả: “Trong 3 số a, b và c bất kỳ luôn tồn tại hai số mà

cùng lớn hơn hoặc bằng m hay cùng nhỏ hơn hoặc bằng m ( với m là số thực tuỳ ý)” khi đó ta có:

Suy ra: ab bc ca abc+ + − ≤(2−c)+bc ca+ −(ac bc c+ − ) 2=

-Cách2: Không mất tính tổng quát giả sử: a 1

Khi đó theo Bổ đề 2 ta có: ab a b 1≥ + − ⇒abc ac bc c≥ + −

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 13

Thay vào được điều cần chứng minh

Bài tập2: Cho 3 số thực a,b,c dương thoả:ab bc ca abc+ + + =4

Chứng minh rằng: a b c ab bc ca+ + ≥ + +

(VIỆT NAM-2000) -Cách 1:

-Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a và b thoả: “Trong 3 số a,b và c bất kỳ luôn tồn tại hai số mà

cùng lớn hơn hoặc bằng m hay cùng nhỏ hơn hoặc bằng m ( với m là số thực tuỳ ý)”., khi đó ta có:

(ngoài ra ta có thể gặp lại bài toán này ở phương pháp dồn biến)

Bài tập 3: Cho 3 số thực a,b,c>0 và thỏa abc=1 Chứng minh rằng 12 12 12 3 2(a b c)

a +b +c + ≥ + +

Không mất tính tổng quát giả sử: a 1

Từ đó suy ra được điều cần chứng minh

Bài tập 4: Cho 3 số thực x,y,z Chứng minh rằng xyz 2(x + 2 + y 2 + z ) 8 5(x y z) 2 + ≥ + +

( Chuyên mục chào IMO 2007 đợt 1 của tạp chí THTT số 357 tháng 3 năm 2007)

Bài tập 5: Cho 3 số thực x,y,z không âm Chứng minh rằng 5(x 3 + y 3 + z ) 3xyz 9 9(xy yz zx) 3 + + ≥ + +

Bài tập 6: Cho 3 số thực x, y, z (0;1)∈ và thỏa xyz (1 x)(1 y)(1 z)= − − − (*)

Chứng minh rằng ta luôn có 2 2 2 3

4

Bài tập 7: Cho 3 số thực x,y,z thỏa xyz=1 Chứng minh rằng x y 2 2 + y z 2 2 + z x 2 2 + ≥ 3 2(x y z) + +

Bài tập 8: Cho 3 số thực x,y,z Chứng minh rằng 2 2 2 2

Để sử dụng phương pháp này ta thường tiến hành như sau:

- Với mỗi bất đẳng thức (biểu thức) ta chọn một hàm số thích hợp (các hàm số này thường có thể thấy ngay từ đầu bài, hoặc sau một vài phép biến đổi đơn giản sẻ tìm được nó)

- Khảo sát chiều biến thiên hàm số vừa tìm được trên miền xác định của nó (miền xác định này được tìm thấy dựa vào điều kiện của đầu bài) Thông thường ta sử dụng đạo hàm để lập ra bảng biến thiên

- Từ bước hai sẻ cho ta lời giải của phép chứng minh bất đẳng thức, hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, biểu thức nhiều biến

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 15

Không mất tính tổng quát giả sử x>y>z

Đặt a=x-y, b=y-z, z-x=-(a+b) (a,b>0)

Vậy GTNN của A bằng 9/2 khi y=0,x+z=0 và các hoán vị

Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c >0 Tìm GTNN của biểu thức

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 17

Bài 4: Cho 2 số thực x và y khác 0 và thỏa : xy x y( + )=x2+y2 −xy (*)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 13 13

= + (Khối A-2006) Lời giải: Đặt : S = x+y , P = xy Khi đó ta có :xy x y ( + ) = x2+ y2 − xy viết lại :

2 2

S S

S S

Ta đi xét hàm số:

23( ) S

Bài 9: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M=3(a2b2+b2c2+c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2+b2+c2.(Khối B-2010)

Bài 10: Cho x, y, z là 3 số thực thuộc đoạn [ ]1; 4 và x y x z≥ , ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 14: Cho x và y là các số thực thỏa mãn: 1−y2 =x x y( − )

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:P x63 y6 31

x y xy

=+

Bài 15: Cho x,y,z là ba số dương thoả mản điều kiện:

x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

z y x zx yz xy A

+++++

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 19

Bài 20: Cho 2 số thực x,y >0 thoả x y 5

Bài 30: Cho ba số thực x,y,z thỏa: 1 1; 1; 1

4≤ ≤x yx≥ xyz= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 33: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa điều kiện:(a c b c+ )( + ) 4= c2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 35: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 2

y ≥xz và z2 ≥ xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

+ Nếu chỉ xét trên R, miền liên thông thường xét: ( ; ), ; , ; , ; ,( a b a b [ ] ( a b a b ] [ ) −∞ ; ),( ; a b +∞ ),

II/ BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN VỚI CỰC TRỊ ĐẠT TẠI GIÁ TRỊ BIẾN ĐỐI XỨNG

a/Phương pháp:

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: f x y z ≥ ( , , ) 0 với x,y,z là các biến số thực thỏa mản các tính chất nào đó Khi đó ta sẻ thực hiện hai bước chính

Bước 1: (Kỹ thuật dồn về hai biến bằng nhau)

Đánh giá f x y z ( , , ) ≥ f t t z ( , , ), với ( t t z , , ) là bộ số thỏa mãn mọi tính chất của bộ số ( x y z , , )

Bước 2: Đánh giá f t t z ≥ ( , , ) 0

Lưu ý: đối với các đẳng thức đồng bậc ta có thể làm cho chứng minh đơn giản hơn bằng cách chuẩn hóa

các biến trong bất đẳng thức trước khi thực hiện hai bước

b/Phân loại:

Loại 1: Bất đẳng thức không có điều kiện

( không ràng buộc các biến bằng một đẳng thức hay bất đẳng thức)

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 21

Đối với loại này thì dồn biến theo các đại lượng trung bình chẳng hạn như

2 2

t = + t = + t = xylà những kỹ thuật chính dùng để dồn hai biến bằng nhau

Bài 1: Cho ba số thực không âm x,y, z chứng minh rằng x y z + + ≥ 3.3 xyz

*Cách 1: x y z + + ≥ 3.3 xyz ⇔ + + − x y z 3.3 xyz ≥ 0, đặt f x y z ( , , ) = + + − x y z 3.3 xyz

Bước 1: Ta đi chứng minh f x y z ( , , ) ≥ f t t z ( , , )với

Vậy f x y z ( , , ) ≥ f t t z ( , , ) 0 ≥ (điều phải chứng minh)

*Cách 2: x y z + + ≥ 3.3 xyz ⇔ + + − x y z 3.3 xyz ≥ 0, đặt f x y z ( , , ) = + + − x y z 3.3 xyz

Bước 1: Ta đi chứng minh f x y z ( , , ) ≥ f t t z ( , , )với t = xy

Vậy f x y z ( , , ) ≥ f t t z ( , , ) 0 ≥ (điều phải chứng minh)

*Cách 3: (Kỹ thuật thuật chuẩn hóa theo tổng đối với bất đẳng thức đồng bậc)

Do đó g(x,y,z) là thuần nhất bậc không nên ta chuẩn hoá x y z + + = 1

Ta có thể lập luận như sau:

Nếu x y z k + + = > 0thì

3 3

Bước 1: Ta đi chứng minh f x y z ( , , ) ≥ f t t z ( , , )với

Vậy f x y z ( , , ) ≥ f t t z ( , , ) 0 ≥ (điều phải chứng minh)

Nhận xét: do vế trái là hàm chẵn với các biến a,b,c nên ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức cho các số

thực a,b,c không âm

Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức: (a2+2)(b2+2)(c2+2) 9(− ab bc ca+ + ) 0≥

Bước 2: Ta đi chứng minh f t t c( , , ) (= t2+2)2 2c −18tc+(2t4−t2+8) 0≥

Nhận xét: f t t c ( , , )là tam thức bậc hai theo biến c và có: Δ = −(t2−1) (22 t4+11t2+32) 0≤

( , , ) 0

f t t c

Vậy f a b c ( , , ) ≥ f t t c ( , , ) 0 ≥ (điều phải chứng minh) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Loại 2: Bất đẳng thức có điều kiện

Bài 3: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa abc=1 Chứng minh rằng (a b b c c a+ )( + )( + ) 4(≥ a b c+ + −1)

(a b b c c a+ )( + )( + ) 4(≥ a b c+ + − ⇔1) ab a b( + )+bc b c( + )+ca c a( + ) 4(− a b c+ + ) 6 0+ ≥

Đặt f a b c( , , )=ab a b( + )+bc b c( + )+ca c a( + ) 4(− a b c+ + ) 6+

Không mất tính tổng quát giả sử a = max , , { a b c }

Bước 1: Ta đi chứng minh f a b c( , , )≥ f a bc bc( , , ) (tức là dồn biến t = bc)

Tổ Toán – Trường THPT Núi Thành Trang 23

Bài 4: Cho ba số thực x,y,z thỏa x2 +y2 +z2 = 9 Chứng minh rằng 2(x y z+ + )−xyz≤10

Đặt f x y z( , , ) 2(= x y z+ + )−xyz

Không mất tính tổng quát giả sử x = min , , { x y z }

Bước 1: Ta đi chứng minh f x y z( , , )≤ f x t t( , , ), với 2 2

xyz ⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Suy ra

23

4

f x y z ≤ −⎛ ⎞⎜ ⎟ <

⎝ ⎠ Vậy tóm lại: f x y z( , , )≤ f x t t( , , ) 10≤

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi x=-1,y=z=2 và các hoán vị

Bài 5: Cho 3 số thực a,b,c không âm thoả:ab bc ca abc+ + + =4

Chứng minh rằng: a b c ab bc ca+ + ≥ + +

*Lưu ý: Để ý rằng ngoài điểm đẳng thức xãy ra là a=b=c=1 đẳng thức xãy ra còn có một điểm khác là

a=b=2, c=0 Điều đó gợi cho ta giả sử c=min{a,b,c}và ta dồn biến để đưa hai biến a,b về bằng nhau và bằng một số t dương nào đó Trước tiên ta chọn bộ số ( , , )t t c phải thỏa mãn: ab bc ca abc+ + + = 4 tức là

Ta sẻ chứng minh a b+ −2 ,t t2−ab là những số không âm

Giả sử a b+ −2t<0, từ (**) suy ra t2−ab< ⇒0 t2<ab Khi đó ta có :

2 2

+ − − = ≥ Suy ra điều phải chứng minh

Bài 6: Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa ab bc ca+ + +6abc= Chứng minh rằng 9

a b c+ + +3abc≥ 6

Bài 7: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng ta luôn có

25)(

4811

1

≥+++

+

c b

Trên đây là những suy nghĩ và trình bày mang tính chủ quan của chúng tôi Kính mong được sự đóng góp của quý thầy cô giáo