28 de olympic TOAN 10 full 200 trang

Câu 1. (5,0 điểm) 1) Giải phương trình . 2) Giải hệ phương trình . Câu 2. (4,0 điểm) Cho Parabol (P): . 1) Tìm các giá trị của a, b để (P) có đỉnh . 2) Với giá trị của a, b vừa tìm được câu 1, hãy tìm giá trị k để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho trung điểm H của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d: . Câu 3. (4, 0 điểm) 1) Cho tam giác ABC đều và các điểm M, N, P thỏa mãn , , . Tìm giá trị của k để AM vuông góc với PN. 2) Cho tam giác ABC có . Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E, F là điểm xác định bởi , . Đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại I. 1) Tính giá trị theo a. 2) Chứng minh rằng . Câu 5. (3,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng mình rằng

KỲ THI OLYMPIC LỚP 10

Môn thi : TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 4 (3,0 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  1;1 ;B 2;4

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

S R A B C Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

b) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3 Trên các cạnh BC CA AB lần lượt lấy, ,

các điểm , , N M P sao cho BN 1, CM 2, AP x (0 x 3)

i) Phân tích véc tơ ANuuur theo hai vectơ uuur uuurAB AC,

ii) Tìm giá trị của x để AN vuông góc với PM

–––––––––––– Hết ––––––––––––

Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………

ĐỀ

KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm trang)

x 

hệ trở thành:

2

13

15 5

3

x y

+ Giao điểm của đồ thị và trục hoành: (1; 0) và (3; 0) 0,25

0,5

b) Tìm m để  P m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc

Xét pt hoành độ giao điểm x2  4x4 m0 x2  4x3m1 0,5

Dựa vào đồ thị tìm được 1m 13 0m4

1,0 Câu 3

416

a b c d abc bcd cda dab abcd

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  1;1 ;B 2;4

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A

3.0

S R A B C Chứng minh tam giác

ABC là tam giác đều.

b)Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3 Trên các cạnh

AB AC AB AB AC AC x

x x

ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC 10

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (6.0 điểm) Cho hàm số yx2  4x4 m;  P m

a) Với m1, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x24 x  4 m

b) Tìm m để  P m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn 1;4

c) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2  3xa0; x3 và x4 là hai nghiệm của

phương trình x2  12xb0 Biết rằng

3

4

2

3

1

2

x

x x

x x

x



 Tìm a và b

Câu 2 (5.0 điểm).

a) Giải phương trình  x 3 x1 x2  x24x 3 2x

b)Giải hệ phương trình:                y x x x y y x x x 1 4 7 1 6 4 2 4 3 2 3 3 Câu 3 (4.0 điểm). a) Cho tam giác ABC có sin 2019sin sin 2019cos osC B C A B c    Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC là tam giác gì Tính tỉ số MBG ABC S S   b) Cho đường tròn tâm O và ba dây cung song song AB, CD, EF của đường tròn đó Gọi H, I, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng hàng. Câu 4 (3.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm tọa độ điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất biết hoành độ của điểm B và tung độ của điểm C không âm. Câu 5 (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy 2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2019x  x  2019y  y

-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:

c) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2  3xa0; x3 và x4 là hai

nghiệm của phương trình x2 12xb0 Biết rằng

x x

Dựa vào đồ thị tìm được  1m13 0m4

Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm y x2  4x3 hoặcyx2  4x4

0.5 0.5

c) Cho x và 1 x là hai nghiệm của phương trình 2 x2  3xa0; x và 3 x là hai 4

nghiệm của phương trình x2  12xb0 Biết rằng

x x

049' 2

1

b a

x x

1

2 2 3

1 2

x k kx x

x k kx x

kx x

x

a k

x

k k

x

k x

5 2

31

Với k 2 thì x1 3 ta được a18,b288 (tm) 0.5 2

x

y y x

x x

147164

24

x

y y x

x x

147164

24

2 2 2

Ta được yx1 thay vào pt thứ hai ta được

2481

12

33

21

x x

x x

x

Kết luận: Hệ pt có nghiệm x;y   2;3

0.25 0.25 3

a) Cho tam giác ABC có sin 2019sin sin

 Gọi M là trung điểm BC, G là

trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC là tam giác gì Tính tỉ số MBG

ABC

S S



b) Cho đường tròn tâm O và ba dây cung song song AB, CD, EF của đường tròn đó Gọi

4.0

H, I, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng

 Gọi M là trung điểm BC, G là

trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC là tam giác gì Tính tỉ số MBG

ABC

S S

0.5 0.25 0.25

b) Cho đường tròn tâm O và ba dây cung song song AB, CD, EF của đường tròn đó Gọi

H, I, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ACF, AED, CEB Chứng minh H, I, K thẳng

hàng

2.0

*) Chứng minh tính chất: Cho tam giác ABC Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác thì: OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur  

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O, D là trung điểm của BC

Ta có: tứ giác BHCA’ là hình bình hành nên D là trung điểm của HA’

*)Ta có: H, I, K lần lượt là trực tâm của tam giác ACF, AED, BCE.

OF(1)(2)(3)

uuur uuur uuur uuur

uur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Từ (1)và (2) �IHuuur uuur uurDCEF

(1)và (3) �KHuuur uuur uurBAEF

4 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3;1) Trên trục Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm B, C sao

cho tam giác ABC vuông tại A Tìm tọa độ điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn

nhất biết hoành độ của điểm B và tung độ của điểm C không âm.

3

9 152

x y

2019

Áp dụng

0,,41

a

 x y

y x

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC Gọi H là hình

chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD Giả sử H   1;3  ,

phương trình đường thẳng AE : 4 x y    3 0 và 5

;4 2

a a c b

a c b

cos 2

2 3 3 3

thì tam giác ABC đều.

b/ ( 2điểm) Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AC sao cho MA   2 MC, N thuộc BM sao cho

NM

NB3 , P thuộc BC sao cho PBk.PC Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng

Câu 5: (3điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 2 2 1

124

xy x

t t

x x

x x

321131

3x 2x 5 0

x

x x x

- Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I

Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK AE

+) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và KE AD

E

14

1

.4

3

3

3

AC AB

AN

AN AM

AB AN

AM AN

AB NM

1

1

AC k

k AB k

41

1

h k k

h k AN

h AP

a c b

2 2 2

602

1cos2

c b c

b ab

c b a b a C b

22cos

32

23

x y xy

y xy x

1232

t t

Kết hợp (1) và (2): P 2;1

Suy ra: MinP = - 2 khi

10

103

;10

Môn thi: TOÁN KHỐI 10

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

x  m x m  m  , với m là tham số Giả sử

phương trình (1) có 2 nghiệm x x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x1 � Tìm giá trị lớn nhất và nhỏx2 4

Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và diện tích S Ký hiệu

Lưu ý: Học sinh không được sử dụng tài liệu Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên học sinh: ……… …… Chữ kí giám thị: ………

x 

0,5

0,5

0,50,5

Giải ra ta được 1

1

a b

a b

+ Vẽ được đồ thị của hàm số y =  x2 2x1khi x2

+ Lập được bảng biến thiên (phải đầy đủ dấu ��, chiều biến thiên và điểm đặc biệt) 0,5

b

sử phương trình (1) có 2 nghiệm x x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x1 � Tìm giáx2 4

+ Giá trị lớn nhất của F là 16 khi m = 2.

+ Giá trị nhỏ nhất của F là – 144 khi m = –2.

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD2BC Gọi

H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm

của đoạn HD Giả sử H1;3, phương trình đường thẳng AE: 4x y   và3 0

- Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I.

Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK  AE.

+) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và 1

E AE�CE� �E �� ���, mặt khác E là trung điểm của HD nên D2;3 0,5

- Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1). 0,5

5 Cho tam giác ABC có trọng tâm G và diện tích S Ký hiệu BC a CA b BA c ,  , 

Biết M, N, P là ba điểm thỏa mãn MAuuur 2.uuuurMC, uuurNB 3.uuuurNM , PB k PCuuur .uuur 4,0

Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi

GA GB GB GC GC GAuuuruuur uuur uuur uuur uuur    a  b c 1,0

Ta có GA GB GCuuur uuur uuur r  0

Môn thi: TOÁN 10 (đề thi đề nghị)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình

x

x x

121

y x

xy y

2 2

2 1

2 1

x x x

x

x x A

x Q

Câu 4 (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC4 2

,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1;

3

5

 ) và N(0;

718

) Xác định tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 và điểm B có hoành độdương.

x x

312

10

214

21362

233

122

x

x x x

0.5 0.5 0.25

y x

xy y

01

12

1

2 2 2

y x y x y x

y x xy y

1

y

x y

1

y

x y

x

0.25 0.5

0.5 0.5 0.5 0.25

4,0 a) Tìm tập xác định của hàm số : y x 2 x 1 x3

1.5

ĐK:

63

212

6232

2

031

2

03

01

02

x x

x x

x x x

x

0.5

0.5 0.5

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1; 2 x2  mxm10

Đặt

)1

(2

64

2 1

2 2

2 1

2 1

x x x

x

x x A

)2(

2

24

2)(

64

2 2 2

2 2 1

2 1

x x A

A nhỏ nhất khi m2

0.25 0.25 0.5 0.5

0.5 0.5

x Q

2)

1)(

1(

21

11

121

11

y x

y x

16

;7

2(2

x

y x

Gọi N1 là giao điểm của  và AB, suy ra :2)

7

4(

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ( 1:3)

2

23y 7x

x

3

72

)4

;2(22

223

44

loai b

B b

6

y -x

0.5 0.25 0.5

Câu 5

4,0

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam

giác ABC là tam giác cân.

2,0

+ Viết được

R

b B R

a A

2sin

;2

+

ab

c b a C

2cos  2  2  2+ Thay vào = 2, rút gọn ta được b=c

+ Vậy tam giác ABC cân tại A

0.5 0.5 0.75 0.25

b) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên

cạnh AC sao cho NC 2NA và I là trung điểm của đoạn MN Chứng

minh : BC NMuuur uuuur uuuur uuur BM NC Hãy biểu diễn vecto uurAI theo hai vecto uuurAB

và uuurAC

2.0

+ Chứng minh được uuur uuuur uuuur uuurBC NM BM NC

+ Ta có I là trung điểm của MN

AI

AI AC

AB

AI AN

AM

6

14

1

23

12

1

2

0.5 0.5 0.5 0.5

KỲ THI OLYMPIC TOÁN 10

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (5,0 điểm)

    cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho trung điểm H của

đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d: 4x2y 3 0.

AP AB

uuur uuur

Tìm giá trị của k để AM vuông góc với PN.

2) Cho tam giác ABC có AB c BC a AC b ,  ,  Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

    cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho trung điểm H

của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d: 4x2y 3 0.

1) (2 điểm) Tìm các giá trị của a, b để (P) có đỉnh 3; 11

2) (2 điểm) Với giá trị của a, b vừa tìm được câu 1, hãy tìm giá trị k để

đường thẳng :yk6x1 cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho

trung điểm H của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d: 4x2y 3 0.

Pt hoành độ gđ:

2

2x 6x 1 kx6x1� 2x2  kx 2 0 *  0,25 Pt(*) có 2 nghiệm x x1, 2 phân biệt

uuuur uuur uuuur uuur

CFuuur  CDuuur Đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại I

Giả sử uurBI k BF kuuur, ��

uur uuur uuruuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur

a bc b ac c ab �

Áp dụng bất đẳng thức Cô si  2

KỲ THI HỌC SINH GIỎI Môn thi: TOÁN LỚP 10

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và � BAC  60 0 Các điểm M, N được xác định

bởi MC uuur   2 MB uuur và NB uuur   2 uuur NA Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với

nhau

2)Cho tam giác ABC và ba điểm M, N và P thoả mãn MC 9.MBuuur uuur, NA 3.NB 0uuur uuur r ,

PC 3.PA 0 

uuur uuur r

Hãy phân tích mỗi vectơ MN, MPuuuur uuur

theo hai vectơ AB, ACuuur uuur

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: .

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10

b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 x2  4x  5 x2  4x 2m 1

có bốn nghiệm thực phân biệt

Phương trình  1 có 4 nghiệm x phân biệt khi phương trình  2 có 2 nghiệm t phân biệt

lớn hơn 1

Lập BBT cho hàm số f t  t2 4t trên 1; � ta có phương trình  2 có 2 nghiệm t phân

biệt lớn hơn 1 khi  2 6 2  1 9 5

2

t

t t

Do xy0 nên PT(*) vô nghiệm

được xác định bởi MC uuur   2 MB uuur và NB uuur   2 uuur NA Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c

để AM và CN vuông góc với nhau.

5,0 đ

b)Cho tam giác ABC và ba điểm M, N và P thoả mãn MC 9.MBuuur uuur,

NA 3.NB 0 

uuur uuur r

, PC 3.PA 0uuur uuur r Hãy phân tích mỗi vectơ MN, MPuuuur uuur

theo hai vectơ

Ta có: MCuuuur 2MBuuur�uuur uuuurAC AM  2(uuur uuuurAB AM )�3uuuurAM 2uuur uuurAB AC 0,5

Vậy: AM CN � uuuur uuurAM CN� 0 � (2uuur uuurAB AC )(2CA CBuuur uuur ) 0 0,5

 (2uuur uuur uuurAB AC AB )( 3uuurAC) 0  2AB23AC25uuur uuurAB AC 0 0,5

0,5

Câu V

1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi).

Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng

AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác

a Cho ba số thực x, y, z lớn hơn 1 Chứng minh:

a Cho một _điểm M nằm tùy trên _đoạn thẳng AB Dựng các hình vuông AMCD

và MBEF về cùng một phía với AB Các các đường tròn tâm P và Q lần lượt ngoại tiếp hai hình vuông AMCD và MBEF cắt nhau tại M và N.Chứng minh đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định

b Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABE và ACE Gọi M là trung điểm BC Chứng minh AM vuông góc DE

–––––––––––– Hết ––––––––––––

Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………

KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn : TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm trang)

x y

y t  tìm được

43 3 614

3 614

x y

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B khi và chỉ khi

phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x x 1, 2

Tọa độ các giao điểm ,A B là A x( ;0), ( ;0)1 B x2 ;

Dấu " " xảy ra khi x m  Giá trị lớn nhất của hàm số là 21 m 2

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2m 2 6� m2 1 Câu 3

G G

C a b a x b y

Gọi Q, R, P là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp tâm J bán kính ra lần lượt

với các đường thẳng BC, CA, AB

1

1

1

a JAB

a JAC

a JBC

Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm

cho phù hợp với Hướng dẫn chấm

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

MÔN TOÁN Thời gian: 150p(không kể thời gian giao đề)

Câu 1: a(3đ) Giải phương trình

Câu 3(4đ):Với a b c, , là 3 số thực dương,hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b(2đ): Trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD ta lấy điểm

M khác A và B.Gọi P,Q,R,S là hình chiếu của M trên các đoạn thẳng AD,AB,BC,CD Chứng minh rằng PQ^RS và giao điểm của chúng nằm trên một trong hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD.

Câu 5(3đ): Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp trong một đường tròn tâm

O.Chứng minh rằng OHuuur=OA OB OCuur uuur uuur+ +

0.5 0.5 0.5

� KL

0.5 0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 Câu 3 - với x>0 áp dụng AM-GM ta có:

a

a a

/ /

BC AD� �BCA=�CAD� AC là phân giác �BAD 0.5

Gọi I là hình chiếu của B trên AC ( ;3 1)

2 2

I

-�Gọi N là điểm đối xứng của B qua AC�N�AD và I là trung

Câu 4b Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD Dựng hệ trục Oxy với

Ox//AD,Oy//AB

Giả sử bán kính đường tròn là R thì phương trình đường tròn

ngoại tiếp ABCD là x2+y2=R2

0.25

0.25 0.25 Câu 5 - dựng đường kính AD�BD^AB CD, ^AC

HBDC

� là hình bình hành�HB HCuuur uuur+ =HDuuur

3

OA OB OCuur uuur uuur+ + = OHuuur uuur uuur uuur+HA HB+ +HC

=3OHuuur uuur uuur+HA HD+ =3OHuuur+2HOuuur

=OHuuur

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

ĐỀ ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN 10

1 ĐỀ Câu 1.