gan11. Ôn tập chương 2

CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 Nêu không chứng minh phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại Mx0; y0 thuộc đồ thị... Biết tọa độ tiếp điểm hoặc biết hoành độ x0 hoặc bi

TIEÂT 45

MOÔT SOÂ BAØI TOAÙN VEĂ

TIEẪP TUYEÂN BAØI TAÔP OĐN CHÖÔNG II

1

CÂU HỎI 1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k?

Trả lời: y – y0 = k( x – x0 ) hay: y = k(x – x0) + y0

2) Cho biết ý nghĩa hình học của đạo hàm?

Trả lời:

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm

tại x0, có đồ thị ( C) và M(x0; y0)

là một điểm thuộc (C), khi đó hệ

số góc của tiếp tuyến của (C) tại

M(x0; y0) là: k = f’(x0)

y

x

M

O x0

y0

(C)

2

CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH

TIẾP TUYẾN

3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; y0) thuộc đồ thị

Trả lời: y – y0 = f’(x0)(x – x0 ), hay y= f’(x0)(x – x0) + y0

Hãy nêu các dạng toán về phương trình tiếp tuyến đã học?

?

1 Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 hoặc biết tung độ y0 của tiếp điểm Ta nói tiếp tuyến tại

điểm M(x 0 ; y 0 ) )

2 Biết hệ số góc k của tiếp tuyến

3 Biết tiếp tuyến qua một điểm M(x0; y0) cho trước

4 Hai đường tiếp xúc nhau

4 Trả lời:

O x

y (C) : y = f(x)

M

x0

∗Nếu chỉ biết x0, ta thay x0 vào

công thức của hàm số để tính y0

∗Tính f′(x) rồi tính f′(x0)

∗Thay các giá trị x0, y0, f′(x0) vào phương trình (1)

ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x 0; y 0 ) của tiếp điểm

Phương trình cần tìm là: y = f’(x0).(x – x0) + y0 (1)

∗Nếu chỉ biết y0, ta thay y0 vào

công thức của hàm số để tính x0

Ví dụ 1:

Cho đường cong (C):

Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2

Giải:

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng x0 là: y = f′(x0).(x – x0) + y0

Theo đầu bài x0 = 2 Suy ra y0 = 1 và f′(x0) = 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 3

6

( )

1

1

−

−

=

=

x

x x

f y

• Gọi (x0 , y0) là tọa độ tiếp điểm

• Tính f′(x) rồi giải phương trình f′(x0) = k để tính x0

• Thay x0 vào hàm số để tính y0

• Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến

• Phương trình tiếp tuyến có dạng:

y = k(x – x 0 ) + y 0 (2) ; [với: k = f’(x 0 ) ] 2)Trường hợp2 : Biết hệ số góc k của tiếp tuyến

Gọi (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm Phương trình có dạng:

Theo giả thiết: f′(x0) = 1 (1)

Với x0 = 0 thì y0 = – 1 Với x0 = – 4 thì y0 = 3

8

Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y= f(x)=

Tìm phương trình các tiếp tuyến của (C) Biết tiếp tuyến ấy song song với đường phân giác thứ nhất.

Giải: Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1

2

2

+

−

x x

4

0

= +

⇔

x

)

( ⇔ x0 = 0 hoặc x0 = – 4

Vậy ta có hai tiếp tuyến là : y = x – 1 và y = x + 7

y = (x – x0) + y0

3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến của (C) qua điểm M

Chú ý: M thuộc (C) hoặc không thuộc

(C), cách giải như nhau.

Gọi k là hệ số góc của đường

thẳng (d) qua M(xM, yM) và tiếp xúc

với (C) Phương trình đường thẳng

(d) là: y = k(x − xM) +yM

hay: y = kx – kxM + yM (a)

(d) Tiếp xúc với (C) khi hệ sau

đây có nghiệm

Giải hệ trên tính được k, thay k vào phương trình (a), ta tìm được phương trình tiếp tuyến của (C) qua M







=

+

=

k )

x ( 'f

y kx

-kx

x

M

xM

yM

O

y

• M

 M

x

y

M

xM

yM 

O

Phương trình đường thẳng d qua M(0; −1) là:

y = k(x − xM) + yM ⇔ y = kx − 1

d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:

Thay giá trị của k ở (2) vào (1), ta được phương trình:

2x3 + 3x2 − 1= (6x2 + 6x)x − 1

⇔ 4x3 + 3x2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = − 3/4

Với x = 0 ta có k = 0, với x = − 3/4, ta có k = − 9/8

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là:

Ví dụ 3: Cho (C): y = f(x) = 2x3+ 3x2 -1.Tìm phương trình các tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0; -1)

10

Giải:







= +

−

=

−

+

) ( k

x x

) ( kx

x

x

2 6

6

1 1

1 3

2 2

2 3

1 8

9

−

y

Hai đường cong được

gọi là tiếp xúc nhau tại

điểm M nếu chúng có

chung điểm M và tiếp

tuyến tại M của hai

đường cong đó trùng

nhau.(SGK ; tr 101)

Đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số

y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có

nghiệm :







=

=

) (

' )

(

'

) (

)

(

x g

x f

x g x

f

y

M

y = f(x)

y = g(x)



4) Trường hợp 4 : Hai đường cong tiếp xúc

(Hệ đó cho ta hoành độ tiếp điểm)

Ví dụ 4:

Xác định a để đồ thị (C) của hàm số :

Giải : Hoành độ tiếp điểm của (C) và (P) là nghiệm

của hệ :

(2) ⇔ x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Thay x = 2 vào (1), ta được :

x x

x )

x ( f

3

2

3

+

−

=

=

tiếp xúc với đồ thị Parabol (P): y = g(x) = x2 + a

12







=

=

) (' )

('

) ( )

(

x g

x f

x g x

( )









= +

−

+

= +

−

⇔

2 2

4 2

1

4 3

2

2 2

3

x x

x

a x

x x

x

3

8

=

a ) P ( xúc tiếp

) C ( thì a

Khi :

ĐS

3 8

=

CÁC BÀI TOÁN ĐỂ RÈN LUYỆN

13

1

1

−

−

−

=

x

m x

m y

định xác

tập ý

chú )

m ( )

x (

) m x

(







−

=

−

=

−

2 2

2

1 1

0

{

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: y = x

ĐS: Mọi m khác 1

Gợi ý: Như ví dụ 4 Điều kiện tiếp xúc

Bài số 1:

) (

x x

m x

) m

(

1 1

1

=

−

−

−

( )2

1 1

1

2

2

2

=

−

+

−

−

) x

(

m )

m (

Đi đến:

ĐS: Không có tiếp tuyến nào qua tâm đối xứng.

Cho hàm số:

x

x )

x ( f

y

+

=

=

1

Gọi (C) là đồ thị Tìm phương trình tiếp của đồ thị đi qua tâm đối xứng (nếu có)

Gợi ý: Tâm đối xứng I(– 1; 1) Giống ví dụ 3

Phương trình tiếp tuyến qua điểm I

Bài số 3:

Bài số 2:

Cho hàm số

2

3 3

2

+

+

+

=

=

x

x

x )

x (f

y

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số Biết nó vuông góc với đường thẳng (a): x – 3y + 6 = 0

Gợi ý: Gọi (d) là tiếp tuyến Vì (a) có hệ số góc 1/3

nên (d) có hệ số góc là – 3

ĐS: y = – 3x – 3 và y = – 3x – 11.

Cho (C): y = f(x) = x3 − 3x2 + 2 Tìm trên

đường thẳng y = − 2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc

16

Bài số 4:

Gợi ý: Gọi A(a; – 2) là điểm cần tìm







=

−

−

−

= +

−

) ( k

) x

( x

) ( )

a x

( k x

x

2 2

3

1 2

2

3 2 3

Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x – a) – 2

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

Thế (2) vào (1) ta được: (x – 2)[2x2 – (3a – 1)x+2] = 0

+ Với x = 2: Ta có tiếp tuyến là y = – 2 (loại)

+ Với 2x2 – (3a –1)x+ 2 = 0 (*) Để bài toán được thỏa thì (*) phải có nghiệm x1,x2 thỏa f’(x1).f’(x2) = – 1

⇔ ∆ = (3a – 1)2 – 16 > 0

(3x12 – 6x1)(3x22 – 6x2) = – 1

Giải hệ ta được

a = 55/27

{

Cho hàm số y = f(x) = x4 – 12x2 + 4

Bài số 5:

Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số

ĐS: Điểm A(0;4)

Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m

Điều kiện tiếp xúc: { x4 – 12x2 + 4 = kx + m (1)

4x3 – 24x = k (2)

Đi đến: 3x4 – 12x2 + m – 4 = 0 (3)

Do có đúng 3 tiếp tuyến nên (3) là phương trình trùng phương có 3 nghiệm cần thử lại

CHÚC SỨC KHỎE CÁC THẦY , CÔ GIÁO

CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG TRONG CÁC KỲ THI SẮP TỚI