Về kiến thức: - Củng cố định nghĩa cấp số cộng, nắm được công thức tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.. - Tính chất các số hạng của cấp số cộng.. V
Trang 1CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11
CHỦ ĐỀ : CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Tiết 1 BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG
A MỤC TIÊU:
Qua tiết bài tập học sinh cần nắm được:
1 Về kiến thức:
- Củng cố định nghĩa cấp số cộng, nắm được công thức tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
- Tính chất các số hạng của cấp số cộng
2 Về kỹ năng:
- Thành thạo cách tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng…
- Vận dụng vào việc giải các bài toán thường gặp liên quan đến cấp số cộng…
3 Về tư duy và thái độ:
Biết phân tích, phán đoán và tích cực hoạt động làm bài tập
B CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC :
1 Giáo viên:
- Chuẩn bị bài tập,
2 Học sinh:
- Học sinh chuẩn bị một số bài tập ở nhà trong sách giáo khoa
- Chuẩn bị các phiếu học tập hoặc hướng dẫn hoạt động
- Chuẩn bị các bảng kết quả của mỗi hoạt động (để dùng máy chiếu Over head)
C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC :
Cơ bản dùng phương pháp gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy, đan xen hoạt động nhóm
D TIẾN TRÌNH BÀI HỌC VÀ CÁC HOẠT ĐỘNG :
1 Kiểm tra bài cũ: Lồng vào các HĐ học tập của giờ học.
2 Bài mới:
Giáo viên tổ chức lớp học thực hiện các hoạt động
HĐ1: Nhận biết một dãy số là cấp số cộng, tính được số hạng đầu và công sai
Bài 1, trang 97 (SGK)
TL Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
10p
- Giáo viên yêu cầu 1 học sinh
trả lời và nêu phương pháp
giải bài toán này
- Gọi học sinh lên bảng giải
bài tập
- Nhận xét về cách giải Kết
luận
- Nhận bài tập
- Định hướng cách giải bài toán
- Độc lập tiến hành giải toán
Phương pháp chung là xét hiệu:
H = un+1 - un
Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp
số cộng
Nếu H = f(n) thì dãy số không phải
là cấp số cộng
(Sửa bài tập của học sinh)
HĐ2: Vận dụng tính chất của cấp số cộng để giải bài toán dưới dạng hệ phương trình
Bài 2a, trang 97 (SGK)
TL Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Trang 2CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11
10p
- Giáo viên yêu cầu 1 học
sinh phát biểu phương pháp
giải bài toán này
- Gọi 1 học sinh lên bảng
giải bài tập
- Giáo viên hướng dẫn (nếu
cần)
- Nhận xét và kết luận
- Hướng dấn học sinh làm
câu 2b)
- Nhận bài tập
- Định hướng cách giải bài toán.Học sinh tiến hành giải toán
Sử dụng công thức
un=u1+(n-1)d ta có hệ:
5 17
u u d u d
u u d
+ + =
1 1
2 10
u d
u d
Giải hệ ta được: u1=16; d = -3
HĐ3: Phát phiếu học tập cho học sinh
Chia học sinh làm 5 nhóm để giải bài 3, trang 97 (SGK)
TL Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
12p
- Dự kiến nhóm HS (5
nhóm)
- Giao nhiệm vụ và theo dõi
các hoạt động của nhóm
học sinh, hướng dẫn khi
cần thiết
- Đánh giá kết qủa hoàn
thành nhiệm vụ của từng
nhóm học sinh Chú ý sai
lầm thường gặp
- Kết luận kết quả
- Học sinh nhận phiếu học tập
- Định hướng cách giải bài toán
- Độc lập tiến hành giải theo nhóm
- Thông báo kết quả cho GV khi
đã hoàn thành nhiệm vụ
- Các nhóm giải thích lý do đưa
ra kết quả (ghi cách giải của bài toán)
Phát phiếu học tập sau:
u1 d un n Sn
C 3 4/2
7 7
-205 Phân công các nhóm điền kết quả vào các câu:
Nhóm 1: A B
Nhóm 2: B C
Nhóm 1: C D
Nhóm 1: D E
Nhóm 1: E A
HĐ4: Giải bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng
Bài 4, trang 98 (SGK)
TL Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Trang 3CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11
7p
Giáo viên hướng dẫn học
sinh phát hoạ hình vẽ của
bài toán để phân tích và đề
xuất cách giải bài toán
Gọi 1 học sinh lên bảng giải
bài tập (hoặc có thể đứng tại
chỗ)
Học sinh vẽ hình, xác định các mối quan hệ
Thông qua các dấu hiệu nhận biết của cấp số cộng, thể hiện các mối quan hệ của các yếu tố trong hình vẽ bởi các công thức Học sinh giải bài toán
Ghi tóm tắt bài giải:
a) Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là hn, ta có:
hn = 0,5 + n.0,18 b) Chiều cao mặt sàn tầng 2 so với mặt sân là:
h21 = 0,5 + 21 0,8 = 4,28 (m)
3 Củng cố :5p
Hoạt động củng cố thực hiện đồng thời với việc giải bài tập, học sinh khắc sâu khái niệm cấp số cộng
và tính chất của các số hạng cũng như công thức tính số hạng tổng quát và tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
4 Bài tập về nhà :
Bài 1: Ba số có tổng là 114 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng hoặc coi là các số hạng thứ nhất, thứ hai và số hạng thứ 25 của một cấp số cộng Tìm các số đó (bài 4.8, trang 121, sách bài tập)
Bài 2: Có thể có 1 tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thàn 1 cấp số cộng được không? Bài 3: Tìm m để phương trình: x4 – (3m+5)x + (m+1)2 = 0 có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng
5 Rút kinh nghiệm:
Tiết 2+3 BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG
I MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :
* Kiến thức trọng tâm : Dựa vào định nghĩa, tính chất để tìm tổng các số hạng của một tổng và
các bài toán nâng cao hơn
* Kỹ năng: Suy luận, tính toán
* Tư tưởng, liên hệ thực tế, giáo dục hướng nghiệp:
II PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
Vấn đáp, phân tích gợi mở kết hợp hoạt động nhóm
III CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ
* Chuẩn bị của thầy :Soạn bài tập và phương pháp giải
* Chuẩn bị của trò : Học lý thuyết và làm bài tập
TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY
* Ổn định tổ chức:
* Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSC
NỘI DUNG
5'
Bài 5 : Tính tổng 10 số hạng
đầu tiên của một cấp số cộng
dưới đây , biết
a/
=
=
50
5
u
u
10
1
GV : Muốn tính tổng n số hạng
đầu tiên ta áp dụng CT nào ?
GV : Vậy để tính tổng ta cần tìm
các yếu tố nào ?
GV :Đối với câu a vàb ta áp dụng
CT nào ? Hãy áp dụng và tính ? Khi đó S10 = 275
HS : Ap dụng CT Sn =
n
) 1 ( 2
2 1 + − hoặc Sn =
(u u n)
n 1 +
2
HS hoạt động nhóm : Cần biết u1
Trang 4CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11
10'
10'
10'
b/
=
=
5
1
u
u
2 1
Giải :
a/ Ta có S10 = 2
+
10(u1 u10)
= 5(5+10)=275
b/ d = u2 - u1= 5 –1 = 4
Do đó S10 = 2
9 +
10(2u1 d)
= 5(2+36)=190
Bài 6 : Ba góc của một tam
giác vuông lập thành một cấp
số cộng Tìm ba góc đó
Giải :
Gọi 3 góc của tam giác vuông
là A , B , C với
A =
2
π
và ta có A + B + C =
π (1)
Vì A , B , C lập thành cấp số
cộng nên ta suy ra B =
2
C
A+
hay 2B = A + C (2)
Từ (1) và (2) suy ra 3B = πvà
A =
2
π
3
π
=
⇒B và A =
2
π
) (A B
C= − +
=
6 3 2
π π π
+
−
Bài 7 : Một cấp số cộng có 11
số hạng Tổng các số hạng là
176 Hiệu số hạng cuối và số
hạng đầu là 30 Tìm cấp số
đó
Giải :
Theo giả thiết ta có
u11- u1=30 ⇔ ( u1+10d) - u1
=30 ⇔ d=3 Từ đó S11 =
2
10 +
11(2u1 3)
= 176 ⇔ u1
=
1 Vậy cấp số đó là : 1,4,7,
….,31
Câu b ta áp dụng CT Sn =
n
) 1 ( 2
2 1 + −
Với d = u2 - u1= 5 –1 = 4 khi đó
S10 = 190
GV : Nếu gọi A,B,C là ba góc
của tam giác vuông thì A,B,C phải thỏa mãn điều gì ?
GV : Và khi A,B,C là các số
hạng của cấp số cộng thì mối quan hệ giữa chúng như thế nào ?
Từ đó tìm A,B,C ?
GV : Theo giả thiết bài toán ta có
điều gì ?
GV :Từ hai điều này ta cần xác
định gì để tìm ra cấp số cộng này ?
GV : Hãy xác định hai yếu tố này
?
GV : Theo giả thiết bài toán ta có
và un hoặc cần biết u1 và un và d
HS hoạt dộng nhóm : Câu a ta áp
dụng CT Sn = n(u1 +u n)
2
HS : A =
2
π
và A + B + C = π
HS hoạt động nhóm :
Vì ÷A,B,C nên B =
2
C
A+
Từ
đó suy ra 3B = πvà A =
2
π
6
π
=
HS :
=
−
=
30
176
1 11
11
u u S
HS : Ta cần xác định u1 và d
HS hoạt động nhóm :
u11- u1=30 ⇔ ( u1+10d) - u1=30
S11 = 2
10 +
11(2u1 3)
= 176 ⇔ u1
= 1
Trang 5CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11
5'
Bài 8 : Bốn số thành lập một
cấp số cộng Tổng của chúng
bằng 22 Tổng các bình
phương của chúng bằng 166
Tìm bốn số đó
Giải :
Ta cần tìm u1 và d Theo đề
bài ta có :
d) u1 ( d) u1 ( d) u1
(
u
) d u
(
2
4
2
1
166
= 3 + + 2 + + + +
32
= 3 + 2
2 2
2 1
=> d=±3
* Khi d=3 thì u1= 1 do đó cấp
số cộng là : 1,4,7,10
* Khi d=-3 thì u1=10 do đó
cấp số cộng là : 10,7,4,1
Bài 9/ Người ta trồng 3003
cây theo hình một tam giác
như sau : hàng thứ nhất có 1
cây , hàng thứ hai có 2 cây ,
hàng thứ ba có 3 cây … Hỏi
có bao nhiêu hàng ?
Giải : Gọi n là số hàng cây
Số cây lần lược trên các hàng
là: 1 , 2 , 3 ,…,n
Đây là một cấp số cộng có số
hạng đầu u1 = 1 và công sai d
= 1
Theo giả thiết ta có Sn = 3003
điều gì ?
GV : HD HS giải hệ này ta được
hệ
d) u1 ( d) u1 ( d) u1 ( u
) d u ( 2 4
2 1
166
= 3 + + 2 + + + +
32
= 3 + 2
2 2
2 1
=> d=±3
GV : Gọi HS xác định u1 và 4 số này ?
GV HD HS giải bài này :
HS :
= + + +
= + + +
166
22
2 4
2 3
2 2
2 1
4 3 2 1
u u u u
u u u u
HS : trả lời
HS : nhận xét và bổ sung
IV Củng cố : Muốn tìm cấp số cộng ta phải tìm số hạng đầu u1 và công sai d Sau đó từ những giả thiết của bài toán ta thiết lập hai phương trình theo hai ẩn số u1 và d , rồi giải hệ
Bài tập về nhà
V RÚT KINH NGHIỆM :
I MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :
* Kiến thức trọng tâm : Tìm tổng các số hạng của CSC , Các số hạng và tổng CSN , ứng dụng
CSN , CSC để giải một số bài toán
* Kỹ năng: Tính toán , suy luận , tìm cấp số nhân và cấp số cộng
* Tư tưởng , liên hệ thực tế ,giáo dục hướng nghiệp:
II PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
Vấn đáp và giảng giải
Trang 6CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11
III CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ
* Chuẩn bị của thầy : Soạn bài tập
* Chuẩn bị của trò : Làm bài tập ở nhà
TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY
*Ổn định tổ chức
* Kiểm tra bài cũ Quá trình kiểm tra trong khi giải bài tập
NỘI DUNG
10'
12'
Bài 5: Bốn số nguyên lập thành một
cấp số cộng Tổng của chúng 20 , tổng
nghịch đảo của chúng bằng
24
25
Tìm bốn số đó
Giải :
Ta gọi 4 số nguyên đó là : x-3d ; x-d ;
x+d ; x+3d Ta có :
(x-3d) + (x-d ) + (x+d ) + (x+3d) = 20
=> x = 5 Suy ra
3d
−
5
1
+
d
− 5
1
+
d
+ 5
1
+
3d
+ 5
1
=
24
25
⇔ d = ±1
Khi d = 1 Ta có các số hạng là:2 ; 4 ;6 ;
8
Khi d = -1 Ta có các số hạng là:8 ; 6; 4;
2
Bài 6: Xác định số hạng đầu và công
bội của cấp số nhân
a/
192
=
96
=
9
5
u
u
240
=
−
90
= +
6 2
5 3
u
u
u
u
Giải :
a / Ta có
192
=
96
=
9
5
u
192
=
96
=
8 1
4 1
q u
q u
⇔
48
=
2
±
=
1
4
u
q
Vậy u1 = 48 và d =4 2
hoặc u1 = 48 và d = -4 2
GV : hai số hạng kề nhau
của CSC hơn nhau một
số không đổi Để thuận lợi cho việc tìm các số hạng đó người ta thường gọi số hạng giữa ( nếu số
số hạng của CSC là lẻ ) của CSC là a rồi biểu diễn các số hạng còn lại theo a
và d Còn nếu số số hạng
là chẵn thì gọi 2 số hạng giữa là x-d và x+d ; các số hạng khác biểu diễn qua x
và d
GV : Khi đó theo giả thiết
bài toán ta có diều gì ?
GV : Từ hai đk trên hãy
giải tìm d và x ?
GV : Vậy bốn số của cấp
số cộng đó là gì ?
GV : Muốn xác định số
hạng đầu và công bội của cấp số nhân cho dưới dạng hệ thế này ta làm như thế nào ?
GV : Hãy biến đổi hệ trên
?
HS hoạt động nhóm , trả lời :
192
=
96
=
9
5
u
192
=
96
=
8 1
4 1
q u
q u
GV : HD HS giải hệ
phương trình này bằng cách biến đổi phương trình (2) của hệ :
u1.q8 = 192 ⇔ (u1.q4).q2
HS theo dõi và thực hiện
HS : (x-3d) + (x-d ) + (x+d ) +
(x+3d) = 20
và
3d
1
−
x + d
1
−
x + d
1
+
x +
3d
1
+
x = 24
25
HS hoạt động nhóm , trả lời :
x = 5 và d = ±1
HS : Trả lời ứng với mỗi
trường hợp của d
HS :Biểu diễn các số hạng của
hệ đã cho sang u1 và q bởi CT :
un = u1.qn - 1
HS hoạt động nhóm , trả lời :
Trang 7CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11
8'
10'
8p
b/ Ta có
240
=
−
90
= +
6 2
5 3
u u
u u
⇔
240
=
−
90
= +
5 1 1
4 1
2 1
q u q
u
q u q
u => q = -3 ; q =
3
1
Khi q = -3 => u1 = 1
Khi q =
3
1
=> u1 = 729 Vậy q = -3 ; u1 = 1 hoặc q =
3
1
; u1 = 729
Bài 7 : Một CSN 5 số hạng , công bội
bằng
4
1
số hạng thứ nhất , tổng của hai
số hạng đầu bằng 24 Tìm cấp số nhân
đó
Giải :
Ta có
24
= +
4
=
2 1
1
u u
q u
=> u1 = -12 hoặc u1 = 8
Khi u1 = -12 => q = -3
Ta có CSN là : -12 ; 36 ; -108 ; 324
;-972
Khi u1 = 8 => q = 2
Ta có CSN là : 8 ; 16 ; 32 ; 64; 128
Bài 8 : Độ dài các cạnh của tam giác
ABC lập thành cấp số nhân Cmr tam
giác ABC có hai góc không quá 600
Giải
Gọi ba cạnh của tam giác là a , b , c
Không mất tính tổng quát ta có thể giả
thiết 0 < a ≤ b ≤ c Chúng lập thành
cấp số nhân nên theo tính chất của cấp
số nhân ta có : b2 = a.c
Trong tam giác ABC theo định lý Côsin
ta có : b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
hay a.c = a2 + c2 - 2ac.cosB
2
1 2
2 cos = 2 + 2 − = 2 + 2 −
⇒
ac
c a ac
ac c a B
Vì a2 + c2 ≥ 2ac nên cosB ≥ 1 -
2
1 2
1=
Vậy góc B ≤ 600
Mặt khác vì a ≤ b nên góc A ≤ 600
= 192 Từ đó thế phương trình (1) của hệ vào Gọi
HS giải
GV : Tương tự gọi HS lên
bảng giải câu này ?
GV HD HS giải hệ
240
=
−
90
= +
5 1 1
4 1
2 1
q u q u
q u q u
GV : Muốn tìm cấp số
nhân ta phải làm ntn ?
GV : Dựa vào giả thiết
bài toán hãy tìm u1 và d ?
GV : Vậy ta có các cấp số
nhân nào ?
HS : -12 ; 36 ; -108 ;
324 ;-972
và 8 ; 16 ; 32 ; 64; 128
GV : Ba cạnh của tam
giác ABC lập thành cấp
số nhân nên theo tính chất của cấp số nhân ta có được điều gì ?
GV : Để tính góc của tam
giác ta vận dụng kiến thức nào ?
Côsin trong tam giác ABC :
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB Thế b2 = ac vào ta được :
2
1 2
2 cos
2 2 2
2
−
+
=
− +
=
ac
c a ac
ac c a B
GV : Muốn góc B không
quá 600 ta cần c/m gì ? và làm như thế nào ?
GV HD HS c/m điều này
u1 = 48 và d =4 2 hoặc u1 = 48
và d = -4 2
HS : lên bảng
HS : Phải xác định được u1 và d
HS hoạt động nhóm , trả lời :
24
= +
4
=
2 1
1
u u
q u
suy ra u1 = -12 hoặc u1 = 8 suy
ra q = -3 hoặc
q = 2
HS : Ta có b2 = a.c
HS hoạt động nhóm , trả lời :
Sử dụng định lý
HS : Ta cần c/m cosB ≥
2 1
Trang 8CÁC CHU ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 11
Do đó tam giác ABC có hai góc không
quá 600
IV Củng cố , hướng dẫn HS học ở nhà (5,) :
* Hai số hạng kề nhau của CSC hơn nhau một số không đổi Để thuận lợi cho việc tìm các số hạng đó người ta thường gọi số hạng giữa ( nếu số số hạng của CSC là lẻ ) của CSC là a rồi biểu diễn các số hạng còn lại theo a và d Còn nếu số số hạng là chẵn thì gọi 2 số hạng giữa là x-d và x+d ; các số hạng khác biểu diễn qua x và d
* Cách xác định một CSN : cần biết u1và q
Bài tập về nhà 8,9
V RÚT KINH NGHIỆM :
