CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 2... BÀI TẬP TỰ LUYỆN BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI 8 Học sinh làm BTTL xong, tô phương án đúng.. Buổi sau học sinh cùng GV kiểm tra kết quả...
Trang 1Bài 5 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 2
A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 2 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn : A f x ( )+B u f u .′ ( )+C f a ( + − =b x) g x( )
+) Với ( )
( )
u a a
u b b
=
f x dx g x dx
A B C
= + +
+) Với ( )
( )
u a b
u b a
=
f x dx g x dx
A B C
=
− +
Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A B C, ,
Nếu f x( ) liên tục trên [ ]a b; thì b ( ) b ( )
f a+ −b x dx = f x dx
Ví dụ 1 Cho hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 thỏa mãn ( ) 2 ( )3 6
6
f x x f x
x
( )
1
0
d
f x x
∫
Lời giải
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Biến đổi ( ) 2 ( )3 6
6
f x x f x
x
2.3
f x x f x
x
+ với A=1, 2
B= −
Áp dụng công thức ta có: ( )
( )
x
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
Từ ( ) 2 ( )3 6
6
f x x f x
x
1
x
+
3 dx
u=x ⇒du= x ; Với x = ⇒ = và 0 u 0 x= ⇒ = 1 u 1
2 3
3x f x dx= f u du= f x dx
1
x
+
1
x
+
Ví dụ 2 Xét hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 và thỏa mãn điều kiện
( )2 ( ) 2
1
0
d
A
4
I =π B
6
I =π C
20
I= π D
16
I= π
Lời giải
4 x f x +3f x− =1 1−x ⇒2∫2xf x dx+3∫ f 1−x dx=∫ 1−x dx ( )∗ +) Đặt 2
u=x ⇒ u= x x; Với x= ⇒ = và 0 u 0 x= ⇒ = 1 u 1
Trang 2Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )
2
2xf x dx= f u du= f x dx 1
+) Đặt t= − ⇒1 x dt= −dx; Với x= ⇒ = và 0 t 1 x= ⇒ = 1 t 0
f −x x= f t t= f x x
Thay ( ) ( )1 , 2 vào ( )∗ ta được:
2
2∫ f x dx+3∫ f x dx=∫ 1−x dx 1 ( ) 1 2
1
DẠNG 3 Điều kiện hàm ẩn A f u x ( ( ))+B f v x ( ( ))=g x( )
Phương pháp giải: Lần lượt đặt t=u x( ) và t=v x( ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có
ẩn f x( )) để suy ra hàm số f x( ) (nếu u x( )=x thì chỉ cần đặt một lần t=v x( ))
Các kết quả đặc biệt:
Cho A f ax ( + +b) B f (− + =ax c) g x( ) (với 2 2
A ≠B ) khi đó ( ) . 2 .2
f x
A B
− −
=
+)Hệ quả 1 của (*): A f x ( ) B f ( )x g x( ) f x( ) A g x. ( )2 B g.2( )x
A B
−
A B
+ với g x( ) là hàm số chẵn
Ví dụ 1 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và f x( ) 2f 1 3x
x
2
1 2
f x
x
A 3
2
I = B I =1 C 1
2
I= D I = −1
Lời giải
Đặt, t 1 x 1
= ⇒ = khi đó điều kiện trở thành f 1 2f t( ) 3 2f x( ) f 1 3
Hay 4f x( ) 2f 1 6
x x
+ = , kết hợp với điều kiện f x( ) 2f 1 3x
x
+ = Suy ra :
2
2
2 2
f x
−
= = − = − =
Ví dụ 2 (Sở Kiên Giang – 2018) Xét hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 và thỏa mãn điều kiện
1
0
I =∫ f x dx
15
I = − B 1
15
I = C 4
75
I= D 1
25
I =
Lời giải
Cách 1: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 2)
Với 2f x( )+3f (1− =x) x 1−x ta có A=2;B=3
1
1
2 3
f x dx= x −x dx
+
75
Casio
Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3)
Trang 3Áp dụng kết quả của Dạng 3:
“Cho A f ax ( + +b) B f (− + =ax c) g x( ) (Với 2 2
A ≠B ) khi đó
f x
A B
− −
=
Ta có: 2f x( )+3f (1− =x) x 1− =x g x( ) ( ) 2 ( )2 3 (21 )
g x g x
−
5
x − −x −x x
=
5
−
75
Casio
Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ 2f x( )+3f (1− =x) x 1−x ( ) ( )
2 f x dx 3 f 1 x dx x 1 x dx
0,2 6
15
Casio
= = ∗ Đặt u= − ⇒1 x du= − ; Với dx x= ⇒ = và 0 u 1 x= ⇒ = 1 u 0
1
f −x dx= f u du= f x dx
5
f x dx= ⇔ f x dx=
Ví dụ 3 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( )− +x 2018f x( )=2 sinx x Tính
2
d
I f x x
π
π
−
2019
1009
2019
1009
I=
Lời giải
Cách 1: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 2)
Với f ( )− +x 2018f x( )=2 sinx x ta có A=1;B=2018
Suy ra 2 ( )
2
d
I f x x
π
π
−
2
1
2 sin d
π
π
−
= + ∫ Casio= 20194
Cách 2: (Dùng công thức – theo góc nhìn dạng 3)
Áp dụng Hệ quả 2: A f x ( )+Bf( )− =x g x( ) f x( ) g x( )
A B
+ với g x( ) là hàm số chẵn
Ta có f( )− +x 2018f x( )=2 sinx x ( ) 2 sin
2019
x x
f x
( )
2
2
d
I f x x
π
π
−
2
2
sin d
2019 x x x
π
π
−
= ∫ Casio= 20194
Trang 4DẠNG 4 HÀM ẨN XÁC ĐỊNH BỞI ẨN DƯỚI CẬN TÍCH PHÂN
( )
( )
u x
v x
f t dt u f u v f v
′
( )
( )
'
u x
a
f t dt u f u
′
∫ với a là hằng số
Chứng minh: Giải sử ( )
( )
( )
u x
u x
v x
v x
f t dt=F t =F u x −F v x
( )
( )
( )
( )
( ) ( ( ) )
u x
v x
f t dt F u x F v x u F u v F v u f u v f v
′
Ví dụ 1 [Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 3 – 2018] Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ
Biết
2
2 4 0
x
x
f t dt=e +x −
(4) 4
f = +e D f(4)=1
Lời giải
Sử dụng công thức
( )
u x
a
f t dt u f u
′
f t dt e x f t dt e x
′
2
2xf x( ) 2 x e x 4x
f x =e + x ⇒ f x =e + x
f = +e
Ví dụ 2 Cho hàm số y= f x( )>0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [ ]0;1 và thỏa mãn
0
x
g x = + ∫ f t t và ( ) 2( )
1
0
d
g x x
∫
A 1011
Lời giải
Sử dụng công thức ( )
( )
( )
0
u x
f t t u f u
′
0
x
g x = + ∫ f t t
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
0
g x
=
>
′
Suy ra ( )
( )d 2018d 2 ( ) 2018 ( )*
g x
g x
′
Trang 5Từ điều kiện ( ) ( ) ( )
0
x
g x = + ∫ f t t⇒g = thay vào ( )* suy ra C= 2
1011
2
g x = x+ ⇒∫ g x x=∫ x+ x=
DẠNG 5 Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn f u x( ( ) )=v x( ) và v x( ) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên ℝ Hãy đi tính tích phân ( )
b
a
I =∫ f x dx
Phương pháp giải:
dt u x dx
t u x
f t v x
= ′
= ⇒
=
I =∫ f x dx=∫ f t dt
Đổi cận: Với t= ⇒a u x( )= ⇔ =a x α và t= ⇒ =b b u x( )⇔ =x β
b
a
I f t dt v x u x dx
β
α
′
Ví dụ Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn ( 3 )
f x + x+ = x+ ∀ ∈ ℝx Tính ( )
5
1
I=∫ x f′ x dx
A 5
4 D −1761
Lời giải
Đặt
5 5 1 1
I xf x f x dx
dv f x dx v f x
1
I = −∫ f x dx
( )
2
dt x dx
t x x
f t x
= + + ⇒
t= ⇒ =x + x+ ⇔ =x và 3
t= ⇒x + x+ = ⇔ =x
33
4
Casio
I = −∫ f x dx= −∫ x+ x + dx =
DẠNG 6 Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn g f x ( ) = x và g t( ) là hàm đơn điệu ( luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên R.Hãy tính tích phân b ( )
a
I =∫ f x dx
Phương pháp giải: Đặt y= f x( )⇒ =x g y( )⇒dx=g y dy′( )
( )
x a g y a y
x b g y b y
α β
a
I f x dx β yg y dy
α
Trang 6Ví dụ Cho hàm số f x( ) liên tục trên R thỏa mãn 3( ) ( )
,
f x +f x =x ∀ ∈x R Tính ( )
2 0
I=∫ f x dx
A I =2 B 3
2
I = C 1
2
4
I=
Lời giải
y= f x ⇒ =x y + ⇒y dx= y + dy
Đổi cận
3 3
= → + = ⇔ =
= → + = ⇔ =
5
4
I =∫ f x dx=∫ y y + dy=∫ y +y dy=
DẠNG 7 Cho ( ) ( ) 2
f x f a+ − =b x k , khi đó
( )
d
2
b
a
I
k f x k
−
+
∫
( )
( )
2
dt dx
k
f x
f t
= −
⇒ =
và x = ⇒ − ; x a t b = ⇒ = b t a Khi đó
( )
( )
( ) ( )
2
x x
I
k
k
f t
+
( )
( ) ( )
2
x x x
I
k f x k k f x
b
a
x b a
k∫ =k − I b2 a
k
−
Ví dụ Cho hàm số f x( ) liên tục và nhận giá trị dương trên [ ]0;1 Biết f x( ) (.f 1− =x) 1 với
[ ]0;1
x
( )
1
0
d 1
x I
f x
= +
A 3
Lời giải
Đặt t= −1 x ( )
( )
d
1
t dx
f x
f t
= −
và x = ⇒ = ; a t 1 x= ⇒ = Khi đó 1 t 0
( )
1
0
d 1
x I
f x
= +
∫
( )
1
0
d 1 1
t
f t
=
+
1
0
1
x x
f x
= +
2I
( )
( ) ( )
d
x x x
1
0
1
dx
=∫ = ⇒ =I 12
DẠNG 8 Cho
2 d d
b b
a a
f a b x f x
I
f x x
a b
xf x x I
∫
dt dx
t a b x x a t b
x b t a
= −
= + − ⇒ = ⇒ == ⇒ =
Khi đó
Trang 7( )d ( ) (f )d
a b x f a b x x a b x f x x
I =∫ xf x x+∫ a+ −b x f x x ( ) ( )d ( )d 2
I
a b f x x f x x
a b
+
Ví dụ Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(4− =x) f x( ) Biết
( )
3
1
xf x x=
3
1
d
f x x
A 5
2
Lời giải
Đặt t= −4 x ⇒dt= −dx và x= ⇒ = ; 1 t 3 x= ⇒ = 3 t 1
4 x f 4 x dx 4 x f x dx
10=∫ xf x dx+∫ 4−x f x dx ( )
3
1
5
2
f x x
DẠNG 9 Tính tích phân max{ ( ) ( ); }
b
a
I =∫ f x g x dx hoặc min{ ( ) ( ); }
b
a
I =∫ f x g x dx
Ví dụ Tính tích phân 2 { 3}
0
I =∫ x x dx
A 17
4
Lời giải
Trên đoạn [0; 2], xét 3 ( )( ) [ 0; 2 ]
x≥x ⇔x x− x+ ≤ ←→ ≤ ≤∈ x
3
3 0; 2
1; 2
x x
x khi x
1 15 17 max ;
I =∫ x x dx=∫ xdx+∫ x dx= + =
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BẢNG TÔ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN – BUỔI 8
Học sinh làm BTTL xong, tô phương án đúng Buổi sau học sinh cùng GV kiểm tra kết quả
Trang 8Câu 1 [Trường Đức Thọ - Hà Tĩnh – 2018] Cho hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 thỏa
6
f x x f x
x
1
0
d
f x x
∫
Câu 2 [Chu Văn An – Hà Nội – 2018] Xét hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 và thỏa mãn
0
d
A.
4
I= π B.
6
I = π C.
20
I= π D.
16
I= π
Câu 3 Xét hàm số f x( ) liên tục trên [0;2] và thỏa mãn điều kiện f x( )+f (2− =x) 2x
2
0
I =∫ f x dx
2
3
I= D. I=2 Câu 4 Xét hàm số f x( ) liên tục trên[−1;2] và thỏa mãn ( ) ( 2 ) ( ) 3
f x + xf x − + f − =x x
2
1
I f x dx
−
2
I = C. I= 3 D. I =15
Câu 5 Hàm số f x( ) liên tục trên [−1;2] và thỏa mãn điều kiện ( ) ( 2)
f x = x+ +xf −x
1
d
I f x x
−
=∫
A. 14
3
3
3
I= D. I=2 Câu 6 Xét hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 và thỏa mãn ( ) ( 2) ( ) 1
1
f x xf x f x
x
+
0
d
I =∫ f x x
A. 9ln 2
2
I = B. 2ln 2
9
3
2
I=
Câu 7 [Chuyên Thái Nguyên – Lần 3 – 2018] Cho hàm số y= f x( ) và thỏa mãn
2
1
x
f x x f x
x
0
2
a b
I f x dx
c
−
;
a b
c c tối giản Tính a+ +b c
Câu 8 Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [−ln 2;ln 2] và thõa mãn ( ) ( ) 1
1
x
f x f x
e
+
ln 2
ln 2
d ln 2 ln 3
f x x a b
−
2
Trang 9Câu 9 [Chuyên Vinh- Lần 3 – 2018] Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ,
2
f x + f π−x= x x
( )
2
0 xf x dx
π
′
A.
4
π
4
π
4
−
Câu 10 [Diễn Châu- Ngệ An- lần 3- 2018] Cho hàm số f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn
1
x
x
1
I f x dx
−
A. 2
2
4
I= − π D.
4
I= π
Câu 11 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và f x( ) 2f 1 3x
x
2
1 2
f x
x
A. 3
2
I = B. I = 1 C. 1
2
I= D. I= − 1
Câu 12 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f( )− +x 2018f x( )=2 sinx x Tính
2
d
I f x x
π
π
−
2019
1009
2019
1009
I=
Câu 13 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( )− +x 2018f x( )=e x Tính giá
1
1
I f x dx
−
=∫
2019e
e
2018e
e
e
−
Câu 14 [Chuyên Hà Tĩnh – 2018] Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ, thỏa
2f 2x + f 1− =x 12x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A. y=2x+ 2 B. y=4x− 6 C. y=2x− 6 D. y=4x− 2
Câu 15 [Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018] Cho f x( ) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ thỏa
1
0
2018
f x dx=
∫ và g x( ) là hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn g x( )+ − =g( )x 1,
x
∀ ∈ ℝ Tính tích phân 1 ( ) ( )
1
I f x g x dx
−
A. I =2018 B. 1009
2
I = C. I=4036 D. I=1008
Câu 16 (Sở Kiên Giang – 2018) Xét hàm số f x( ) liên tục trên [ ]0;1 và thỏa mãn điều kiện
1
0
I =∫ f x dx
Trang 10A. 4
15
I = − B. 1
15
75
25
I=
Câu 17 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ Biết
2
0
( ) cos( )
x
f t dt=x π x
A. f(4)=1 B f(4)=4 C (4) 1
2
f = D (4) 1
4
f =
Câu 18 [Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 3 – 2018] Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ
Biết
2
2 4 0
x
x
f t dt=e +x −
(4) 4
f =e + D. (4) 1.f =
Câu 19 Cho hàm số y= f x( )>0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [ ]0;1 và thỏa mãn
0
x
g x = + ∫ f t t và ( ) 2( )
0
d
g x x
∫
A. 1011
Câu 20 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [ ]1;2 Biết ( )
2
2
x
x
f t t= x + −x
2
1
f x x a d
c
= +
T = + + +a b c d
Câu 21 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn ( 3 )
( )
10
1
I=∫ f x dx
A. 45
4
4
I = C. 135
4
I= D. 27
4
I=
Câu 22 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn ( 3 )
f x + = x− ∀ ∈ ℝx Tính ( )
2
0
I=∫ f x dx
2
I = C. I= − 4 D. I= 6
Câu 23 Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn ( 3 )
f x + x+ = x+ ∀ ∈ ℝx Tính ( )
5
1
I=∫ x f′ x dx
A. 5
4 D. 1761−
Câu 24 Cho hàm số f x( ) liên tục trên R thỏa mãn 3( ) ( )
,
f x +f x =x ∀ ∈ Rx Tính ( )
2 0
I=∫ f x dx
2
2
4
I=
Trang 11Câu 25 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn 3( ) 2( ) ( )
2f x −3f x +6f x =x, ∀ ∈ ℝx
5
0
d
I =∫ f x x
A. 5
4
2
12
3
I=
Câu 26 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn 3( ) ( )
x+ f x + f x = , ∀ ∈ ℝx Tính ( )
1
2
d
I f x x
−
A. 7
4
2
3
4
I=
Câu 27 Cho hàm số f x( ) liên tục và nhận giá trị dương trên [ ]0;1 Biết f x( ) (.f 1− =x) 1 với
[ ]0;1
x
( )
1
0
d 1
x I
f x
= +
A. 3
Câu 28 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ℝ, ta có f x( )>0 và f ( ) (0 f 2018− =x) 1 Giá trị của
tích phân
( )
2018
0
d 1
x I
f x
= +
∫
Câu 29 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f (4− =x) f x( ) Biết
( )
3
1
xf x x=
3
1
d
f x x
A. 5
2
Câu 30 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f x( )−f (3− =x) 0 Biết
( )
4
1
xf x x
−
=
1
d
f x x
−
A. 3
4
Câu 31 Tính 2 { 3 }
0
I=∫ x −x x
4
I = C. I= 1 D. 5
4
I=
Câu 32 Tính tích phân 2 { 3}
0
I =∫ x x dx
A. 17
4
Câu 33 Tính tích phân 3 { 3 2 }
0
I =∫ x x − x dx
A. 117
6
Trang 12(Lời giải chi tiết tham khảo tại đây)