CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN TÀI LIỆU SƯU TẦM.. Dùng tham khảo ôn thi THPTQG BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!. CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PH
Trang 1CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!
Câu 1. Cho
0
ln( 2)
x
A. T =13 B. T =15 C. T =17 D. T =11
0
abc b c
x
+
A T =13 B T =15 C T =10 D T =11
0
x
+
A T = −18 B T =16 C T =18 D T = −16
Câu 4. Cho f x là hàm liên tục và ( ) a Giả sử rằng với mọi 0 x 0;a , ta có f x và ( ) 0
( ) ( ) 1
f x f a−x = Tính
( )
0
1 d 1
a
f x
= +
A
3
a
2
a
Câu 5. Cho f x( ) là hàm liên tục trên 0 ;1 Giả sử rằng với mọi x 0 ;1 , ta có f x ( ) 0và
( ) ( 1 ) 4
f x f −x = Tính
( )
1
02
dx
f x
+
1
4
Câu 6. Cho hàm số f x( ) liên tục trên và ( ) ( ) 2
3f − −x 2f x =tan x Tính 4 ( )
4
d
f x x
A 1
2
2
−
4
2
−
Câu 7. Biết
0
.ln
x
e m e n e Với m n p là các số nguyên dương , ,
Tính tổng S m n p
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa
1 2
0
x f x dx và
2f 1 f 1 2 Tính
1
0
f x dx
Câu 9. Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫ 𝑥𝑓03 ′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 8 và 𝑓(3) = ln 3 Tính ∫ 𝑒03 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Trang 2CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Câu 10. Cho hàm số f x( ) liên tục trên và thỏa mãn f ( )− +x 2018f x( )=xsin x Tính
( )
2
2
I f x dx
A 2
1
1
1
2018
Câu 11. Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng (0;+) \ e thỏa mãn ( ) ( 1 )
ln 1
f x
x x
− ,
2
1
ln 6
f
e
=
và ( )2
3
f e = Giá trị của biểu thức 1 ( )3
f f e e
+
A 3 ln 2 1( + ) B 2 ln 2 C 3ln 2 1+ D ln 2 3+
Câu 12 Cho hàm số ( ) 3 2
y= f x =ax +bx +cx+d có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng đồ thị hàm số y= f x( ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là
Câu 14. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 2 ( ) ( )
1
f x f x dx=
và f ( )1 =1, f ( )2 1 Giá trị của f ( )2
bằng
A f ( )2 =2 B f ( )2 =3 C f ( )2 =e D ( ) 2
2
f =e
Câu 15. Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 2 ( )
0
f x x =
và f ( )2 = Tính 2 4 ( )
0
d
f x x
Câu 16. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và thỏa f (4−x)= f x( ) Biết 3 ( )
1
xf x x =
Tính 3 ( )
1
d
f x x
A 5
7
9
11
2
Câu 17. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn 1 ( ) ( )
0
x f x − x= f
trị của 1 ( )
0
d
I = f x x bằng
Trang 3CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn
1
0
x f x x f Giá trị
của
1
0
d
I f x x bằng
Câu 19. Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa
1
0
x f x x và 2f 1 f 0 2 Tính
1
0
d
I f x x
Câu 20. Biết rằng hàm sốy= f x liên tục trên ( ) thỏa ( ) 2 ( )
0
2 =16; =4
0
2
=
I xf x dx
A.I =13 B.I =12 C.I =20 D.I =7
Câu 21. Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
f x + f −x = x − x x Tính 1 ( )
2 0
1
I =f −x dx
15
I = B I =1 C 2
15
I = − D 2
15
I =
Câu 22. Cho hàm số y= f x( ) liên tục với mọi x 1 thỏa mãn 1 3, 1
1
x
x
+
−
( )
1
2
e
I f x dx
+
A I =4e−1 B I = +e 2 C I =4e−2 D I = +e 3
Câu 23. Cho hàm số y= f x( ) liên tục với mọi x 0thỏa mãn ( ) 1
f x f x x
x
( )
2
1 2
f x
x
A 3
2
2
2
3
I =
Trang 4CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!
Câu 1. Cho
0
ln( 2)
x
A. T =13 B. T =15 C. T =17 D. T =11
Lời giải Chọn A
Phân tích:
Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản
Ta có:
1
x
*Tính
1 1 0
ln( 2)
I =x x+ dx
2
dx du
dv xdx x
v
Khi đó :
1
0
0
1
0
ln 3 ( 2 4 ln 3) 2 ln 2 ln 3 2 ln 2
x
x
− +
+
*Tính
1 2
x
x
= +
2
1
0
1 2 ln 3 2 ln 2
+ −
2
7 7 4 ln 2 2.7 ln 3 7
4 ln 2 ln 3
Ta có a=4,b=2,c=7 Vậy T= + + = + + =a b c 4 2 7 13
0
abc b c
x
+
A T =13 B T =15 C T =10 D T =11
Lời giải
Trang 5CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Chọn C
1
x
x
+
* Tính 1 3 ( )
0
ln 1 d
I =x x+ x
2
d d
2
x u
x
v x x
v
=
0
3 2
0
x
x x
ln 4 3 ln 4 4 ln 4
* Tính
3
0
d 1
x
x
= +
Đặt 2
u=x + u= x x
Đổi cận: x= =0 u 1;x= =3 u 10
Khi đó :
10 10
2
1 1
u
1
x
x
+
Ta có a=5,b=2,c=3 Vậy T = + + = a b c 10
0
x
+
A T = −18 B T =16 C T =18 D T = −16
Lời giải Chọn A
0
1
1
x
+
0
1
x
x
+
1 ( ) 1 2
1
x
x
+
- Đặt 1 1 ( )
0
ln 2 d
I =x x+ x và
1
0
d 1
x
x
= +
Trang 6CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
+ Tính 1 1 ( )
0
ln 2 d
I =x x+ x Ta đặt ( )
2
1 d
d
2
v
, khi đó ta có:
( )
1
0 0
1
x
+
1
0
+
1 2
0
x
1ln 3 1 1 2 4 ln 3 4 ln 2
2 ln 2 3ln 3 3
+ Tính
1
0
d 1
x
x
= +
2 0
1 1
d x x
+
+
2 0
1
2
- Khi đó 1 2 2 ln 2 3ln 3 3 1ln 2
3ln 2 3ln 3 3
3.2.ln 2 3.2.ln 3 3
4
3.2.ln 2 2.( )3 ln 3 ( )3
4
Ta suy ra:
3 2 3
a b c
=
=
= −
Vậy T =a b c =3.2.( )− = −3 18
Câu 4. Cho f x là hàm liên tục và ( ) a Giả sử rằng với mọi 0 x 0;a , ta có f x và ( ) 0
( ) ( ) 1
f x f a−x = Tính
( )
0
1 d 1
a
f x
= +
A
3
a
2
a
Lời giải Chọn D
Ta có
( )
0
1 d 1
a
f x
= +
0
1
d 1 1
a
x
f a x
= +
−
0
d 1
a
f a x
x
f a x
−
=
Đặt a− =x t thì dx= −dt Với x= =a t 0; x= =0 t a
Trang 7CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
( )
0
d 1
a
f t
f t
= −
+
0
d 1
a
f x
x
f x
=
+
Do đó, ta có
1
a
f x
f x f x
2
a
I =
Câu 5. Cho f x( ) là hàm liên tục trên 0 ;1 Giả sử rằng với mọi x 0 ;1 , ta có f x ( ) 0và
( ) ( 1 ) 4
f x f −x = Tính
( )
1
02
dx
f x
+
1
4
Lời giải Chọn D
Ta có
( ) ( ( ( ) ) )
1
f x dx
−
Đặt t= − = − , đổi cận : 1 x dt dx x= = ; 0 t 1 x= = 1 t 0
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
2
f x dx
Câu 6. Cho hàm số f x( ) liên tục trên và ( ) ( ) 2
3f − −x 2f x =tan x Tính 4 ( )
4
d
f x x
A 1
2
2
−
4
2
−
Lời giải Chọn D
Theo đề bài, ta có ( ) ( ) 2
3f − −x 2f x =tan x ( )1
Thay x bởi − x ta được: ( ) ( ) 2( ) 2
3f x −2f − =x tan − =x tan x ( )2
Từ ( )1 và ( )2 suy ra: ( ) 2
tan
f x = x ( )
0
d tan d 2 tan d
2
2
1
cos
x
2 0
x x
Trang 8
CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Câu 7. Biết
0
.ln
x
e m e n e Với m n p là các số nguyên dương , ,
Tính tổng S m n p
Lời giải Chọn A
Ta có:
1
3
0
.2
x
1 0
e
Vậy
4
1
m
p
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa
1 2
0
x f x dx và
2f 1 f 1 2 Tính
1
0
f x dx
Lời giải Chọn D
Đặt
u x
v f x
1 1 2
0 0
I x f x x f x dx
dv f x dx v f x Suy ra
1 0
2 x f x dx 2 x f x 2f x dx
Do đó
12 f 1 2f 1 2 f x dx f x dx 5
Câu 9. Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫ 𝑥𝑓03 ′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 8 và 𝑓(3) = ln 3 Tính ∫ 𝑒03 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Lời giải Chọn A
Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần
Từ giả thiết đề cho, Đặt {𝑑𝑣 = 𝑓𝑢 = 𝑥 ′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 => {𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Khi đó:
𝐼 = 𝑥𝑒𝑓(𝑥)|03− ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
0
=> 8 = 3𝑒𝑓(3)− ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
0
Suy ra ∫ 𝑒03 𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 9 − 8 = 1
Trang 9CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Câu 10. Cho hàm số f x( ) liên tục trên và thỏa mãn f ( )− +x 2018f x( )=xsin x Tính
( )
2
2
I f x dx
A 2
1
1
1
2018
Lời giải Chọn A
Đặt t= − x dt= −dx
x − t
x t −
= =
I f t dt f x dx
−
−
2019.I f x dx 2018 f x dx xsinxdx 2
2 2019
I
=
Câu 11. Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng (0;+) \ e thỏa mãn ( ) ( 1 )
ln 1
f x
x x
− ,
2
1
ln 6
f
e
=
và ( )2
3
f e = Giá trị của biểu thức 1 ( )3
f f e e
+
A 3 ln 2 1( + ) B 2 ln 2 C 3ln 2 1+ D ln 2 3+
Lời giải Chọn A
ln ln 1
d x
−
• Trường hợp 1: lnx− 1 0 lnx 1 x e
( ) ln ln( 1) 1
1
f e = C = f x( )=ln ln( x− +1) 3
ln ln 1 3 3 ln 2
• Trường hợp 2: lnx− 1 0 lnx 1 0 x e
( ) ln 1 ln( ) 2
= − + , f 12 ln 6 ln 3 C2 ln 6 C2 ln 6 ln 3 ln 2
e
( ) ln 1 ln( ) ln 2
Trang 10CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
ln 1 ln ln 2 2 ln 2
f
= − + =
2 ln 2 3 ln 2 3 ln 2 1
e
Câu 12 Cho hàm số ( ) 3 2
y= f x =ax +bx +cx+d có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng đồ thị hàm số y= f x( ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là
Lời giải Chọn A
Ta có f( )x =ax x( +2) mà
f − = − = a f x = x + x f x = f x dx=x + x +C
Gọi x là hoành độ tiếp điểm 0 (x 0 0) suy ra ( )
0
4 0
f x x x C
f x
=
Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là − 4
Câu 13 Cho y= f x( ) là hàm số chẵn, liên tục trên Biết đồ thị hàm số y= f x( )đi qua điểm
1
; 4 2
M−
và ( )
1 2
0
3
f t dt =
6
sin 2 x f sinx dx
A I =10 B. I = −2 C I =1 D I = −1
Lời giải Chọn B
Đặt sin x t= ; đổi cận 1; 0 0
1
sin 2 sin 2
I x f x dx t f t dt
Đặt
f t dt dv f t v
1 1 2 2
I t f t f t dt
−
−
Trang 11CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
( )
y= f x là hàm số chẵn: ( ) ( )
1
2
2f t dt 2f t dt 2.3 6
−
Đồ thị hàm số y= f x( )đi qua điểm 1; 4
2
M−
:
1 4 2
f − =
( )
1 2
− −
Câu 14. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 2 ( ) ( )
1
f x f x dx=
và f ( )1 =1, f ( )2 1 Giá trị của f ( )2
bằng
A f ( )2 =2 B f ( )2 =3 C f ( )2 =e D ( ) 2
2
f =e
Lời giải Chọn C
( )
ln
u f x
dv f x dx
=
( ) ( ) ( )
f x
du dx
f x
v f x
=
=
1
f x f x dx= f x f x − f x dx
1 f 2 ln f 2 f 1 ln f 1 f 2 f 1
( )
( ) ( ) ( )
1 1
f
=
( )
( )
2 1
f
f
= f ( )2 =e
Câu 15. Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 2 ( )
0
f x x =
và f ( )2 = Tính 2 4 ( )
0
d
f x x
Lời giải Chọn A
Xét tích phân 4 ( )
0
d
f x x
x = = t x t x= td Đổi cận: Khi x= = ; Khi 4 t 2 x = thì 0 t = 0
I = f x x= tf t t
Trang 12CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Đặt
dt=dv
f t f t v
0
I = f x x= tf t t= tf t − f t t
2
0
4f 2 2 f x dx 4.2 2.3 2
Câu 16. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và thỏa f (4−x)= f x( ) Biết 3 ( )
1
xf x x =
Tính 3 ( )
1
d
f x x
A 5
7
9
11
2
Lời giải Chọn A
5=xf x xd =xf 4−x xd
Đặt
4
4
1; 3 3; 1
x t x
t x
x t
x t
xf −x x= − −t f t x= −t f t x= f t t− tf t t
5
2
1
5 d 2
f x x =
Câu 17. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn 1 ( ) ( )
0
x f x − x= f
trị của 1 ( )
0
d
I = f x x bằng
Lời giải Chọn C
Đặt
( )
u x
v f x x
=
= −
2
u x
v f x x
=
0
f =x f x − x=x f x − x −f x − x x= f − − +I Suy ra I = − 1
Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn
1
0
x f x x f Giá trị
của
1
0
d
I f x x bằng
Trang 13CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
Lời giải Chọn B
4
v f x x
0
f =x f x − x=x f x − x −f x − x x= f − − +I Suy ra I 2
Câu 19. Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa
1
0
x f x x và 2f 1 f 0 2 Tính
1
0
d
I f x x
Lời giải Chọn D
d
dv f x x v f x
Khi đó
0
Suy ra I 8
Câu 20. Biết rằng hàm sốy= f x liên tục trên ( ) thỏa ( ) 2 ( )
0
2 =16; =4
0
2
=
I xf x dx
A.I =13 B.I =12 C.I =20 D.I =7
Lời giải Chọn D
Đặt
2
=
=
du dx
u x
dv f x dx v f x
0
0
2
=
A f x dx.
t x dt x A f x dx f t dt f x dx
2
Câu 21. Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
f x + f −x = x − x x Tính 1 ( )
2
1
I =f −x dx
Trang 14CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
15
I = B I =1 C 2
15
I = − D 2
15
I =
Lời giải Chọn C
Đặt t= − 1 x, x 0;1 t 0;1
f x + f −x = x − x f x + f −x = −x −
f t f t t f x f x x
Ta có hệ phương trình
( ) ( )
f x f x x x f x f x x x
f x x x f x x x
Khi đó ( 2) ( 2) (2 2) 4 2
f −x = −x + −x − =x − x +
2
15
I =f −x dx= x − x + dx= −
Câu 22. Cho hàm số y= f x( ) liên tục với mọi x 1 thỏa mãn 1 3, 1
1
x
x
+
−
( )
1
2
e
I f x dx
+
A I =4e−1 B I = +e 2 C I =4e−2 D I = +e 3
Lời giải Chọn C
3 4
t
f t
+
4 1
f x
x
= +
−
2 2
2
1
e
e
x
−
Câu 23. Cho hàm số y= f x( ) liên tục với mọi x 0thỏa mãn ( ) 1
f x f x x
x
( )
2
1 2
f x
x
A 3
2
2
2
3
I =
Lời giải Chọn A
f x f x x
x
Trang 15CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM) Dùng tham khảo ôn thi THPTQG
1 , 2 3 f x f
+ =
3
f x f x
x
( )
2
2
2 2
f x