Môđun hữu hạn sinh

MÆUN HÚU H„N SINH.. Tªp sinh cõa mæun.. Mæun húu h¤n sinh.. Mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh giao ho¡n... Mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh àa ph÷ìng... Trong â mæun húu h¤n sinh l mëtmæun câ vai t

LÍI CAM OAN

Khâa luªn n y l  k¸t qu£ cõa b£n th¥n em trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 B¶n c¤nh â, em cán

÷ñc t¤o måi i·u ki»n v  nhªn sü quan t¥m gióp ï cõa c¡c th¦y cætrong khoa To¡n, °c bi»t l  sü quan t¥m, h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa

TS Nguy¹n Thà Ki·u Nga

Trong khi nghi¶n cùu khâa luªn n y, em câ tham kh£o mët sè t ili»u ¢ ghi trong ph¦n T i li»u tham kh£o V¼ vªy em xin kh¯ng ành

· t i "Mæun húu h¤n sinh" khæng câ sü tròng l°p vîi c¡c ·

t i cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c

H  Nëi, 6 th¡ng 5 n«m 2019

Sinh vi¶n

Tr÷ìng Thà Li¶n

LÍI CƒM ÌN

Khâa luªn n y ÷ñc thüc hi»n t¤i khoa To¡n, tr÷íng ¤i håc S÷ph¤m H  Nëi 2, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Nguy¹n Thà Ki·uNga

Em xin tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS Nguy¹n Thà Ki·u Nga,ng÷íi ¢ ành h÷îng v  ch¿ d¨n s¡t sao trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp,nghi¶n cùu v  ho n th nh khâa luªn n y Sü chuy¶n nghi»p, nghi¶mtóc trong nghi¶n cùu v  nhúng ành h÷îng óng ­n cõa cæ l  ti·n ·quan trång gióp em câ ÷ñc nhúng k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn v«n

n y

Em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Chõ nhi»m khoa To¡n, c¡c th¦y

cæ gi¡o v  c¡c b¤n sinh vi¶n trong khoa ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï em

ho n th nh khâa luªn n y

°c bi»t, em xin gûi líi c£m ìn tîi bè mµ v  gia ¼nh cõa em,nhúng ng÷íi ¢ chia s´ v  ëng vi¶n em º em cè g­ng ho n th nhkhâa luªn n y

H  Nëi, 6 th¡ng 5 n«m 2019

Sinh vi¶n

Tr÷ìng Thà Li¶n

MÖC LÖC

Trang

Líi cam oan 1

Líi c£m ìn 2

K½ hi»u 4

LÍI MÐ †U 6

1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 8

1.1 Mæun 8

1.2 Mæun con 10

1.3 Mæun th÷ìng 10

1.3.1 X¥y düng mæun th÷ìng 10

1.3.2 Mët sè v½ dö 11

1.4 T½ch trüc ti¸p, têng trüc ti¸p v  h¤ng tû trüc ti¸p cõa mæun 11

1.5 çng c§u mæun 12

1.6 D¢y khîp 16

2 MÆUN HÚU H„N SINH 20

2.1 Tªp sinh cõa mæun 20

2.2 Mæun húu h¤n sinh 20

2.2.1 Mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh giao ho¡n 22

2.2.2 Mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh àa ph÷ìng 27

2.3 Mæun Noether 29

K˜T LUŠN 37

T€I LI›U THAM KHƒO 38

(A,M) V nh àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i M.

J (A) C«n Jacobson cõa v nh A

LÍI MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

To¡n håc hi»n ¤i ang ng y c ng ph¡t triºn v  c§u tróc ¤i sègâp mët ph¦n to lîn cho sü ph¡t triºn â Trong c§u tróc ¤i sè th¼c§u tróc mæun xu§t hi»n ð h¦u h¸t c¡c lþ thuy¸t to¡n håc hi»n ¤i v 

nâ l  cì sð º ph¡t triºn c¡c lþ thuy¸t kh¡c C§u tróc mæun ÷ñc chia

l m nhi·u lo¤i nh÷: Mæun húu h¤n sinh, mæun tü do, mæun nëi x¤,mæun Noether, mæun Artin, Trong â mæun húu h¤n sinh l  mëtmæun câ vai trá quan trång trong lþ thuy¸t mæun º t¼m hiºu s¥uhìn v· c§u tróc mæun, tæi ¢ lüa chån · t i "Mæun húu h¤nsinh" º l m khâa luªn tèt nghi»p cuèi khâa cõa m¼nh

2 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu c¡c v§n · v· mæun húu h¤n sinh

3 Möc ½ch v  nëi dung nghi¶n cùu

Möc ½ch cõa khâa luªn l  nh¬m n¥ng cao ki¸n thùc cõa b£n th¥n

v  câ ki¸n thùc s¥u s­c hìn v· ki¸n thùc mæun húu h¤n sinh

Nëi dung khâa luªn gçm 2 ch÷ìng:

• Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh­c l¤i c¡c ành ngh¾a v· mæun,mæun con, mæun th÷ìng, t½ch trüc ti¸p, têng trüc ti¸p, h¤ng tûtrüc ti¸p, çng c§u mæun, d¢y khîp v  i·u ki»n t÷ìng ÷ìng

cõa d¢y khîp ng­n.

• Ch÷ìng 2: Mæun húu h¤n sinh

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu v· tªp sinh cõa mæun,

ành ngh¾a mæun húu h¤n sinh, c¡c ành l½, h» qu£ v  bê · li¶nquan ¸n mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh giao ho¡n, mæun húuh¤n sinh tr¶n v nh àa ph÷ìng, mæun Noether v  mët sè b i tªp

Do thíi gian câ h¤n v  n«ng lüc nghi¶n cùu cán nhi·u h¤n ch¸ n¶nkhâa luªn khâ tr¡nh khäi thi¸u sât Em r§t mæng nhªn ÷ñc sü ânggâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n sinh vi¶n º khâa luªn ÷ñc

ho n thi»n hìn

H  Nëi, 6 th¡ng 5 n«m 2019

Sinh vi¶n

Tr÷ìng Thà Li¶n

• : A × M → Mthäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

V½ dö 1.1.1 Måi nhâm Abel cëng M l  Z - mæun.

Thªt vªy, vîi måi n ∈ Z, x ∈ M °t:

v  ph²p to¡n tr¶n thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa t½ch væ h÷îng

V½ dö 1.1.2 N¸u A l  v nh câ ìn và th¼ (A, +) l  nhâm Abel v ph²p nh¥n tr¶n v nh A thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa t½ch væ h÷îng V¼th¸ A l  A - mæun

1.2 Mæun con

ành ngh¾a 1.2.1 Cho M l  mët mæun tr¶n v nh giao ho¡n A,

G ⊂ M Ta nâi G l  mët mæun con cõa M ho°c mët A - mæun concõa M n¸u G còng hai ph²p to¡n c£m sinh tr¶n M l  A - mæun

i·u ki»n t÷ìng ÷ìng 1.2.1 Cho A l  mët v nh giao ho¡n, M

l  A - mæun v  G ⊂ M, G 6= ∅ C¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:(i) G l  mæ-un con cõa M ;

(ii) Vîi måi g, g0 ∈ G, r ∈ A th¼ g + g0 ∈ G v  rg ∈ G;

(iii) Vîi måi g, g0 ∈ G v  måi r, r0 ∈ A th¼ rg + r0g0 ∈ G.

V½ dö 1.2.1 Gi£ sû M l  A - mæun, I l  i¶an cõa A,

IM = Pi∈I αixi | αi ∈ I, xi ∈ M l  A - mæun con cõa M

V½ dö 1.2.2 Cho M l  A - mæun Ta câ {0} v  M l  A - mæun concõa M gåi l  c¡c mæun con t¦m th÷íng cõa M

1.3 Mæun th÷ìng

1.3.1 X¥y düng mæun th÷ìng

Cho M l  mët mæun tr¶n v nh giao ho¡n A v  G l  A - mæuncon cõa M N¶n G l  nhâm cëng Abel cõa M, do â G l  nhâm conchu©n t­c cõa M Khi â tçn t¤i nhâm th÷ìngM/G l  nhâm cëng Abelvîi ph²p cëng :

x + G + y + G = x + y + G.

Tr¶n M/G x¡c ành ph²p nh¥n væ h÷îng vîi c¡c ph¦n tû cõa A nh÷sau:

Vîi måi α ∈ A , x + G ∈ M/G th¼ α(x + G) = αx + G.

Suy ra M/G l  A - mæun th÷ìng cõa M tr¶n mæun con G cõa nâ

1.3.2 Mët sè v½ dö

V½ dö 1.3.1 Cho M l  mët A - mæun, M v  {0} l  c¡c mæun concõa M Khi â ta câ c¡c mæun th÷ìng:

M/M = {x + M | x ∈ M } = {M } M/{0} = {x + {0} |x ∈ M} = {x | x ∈ M} = M.

V½ dö 1.3.2 Nhâm cëng R l  Z - mæun, nhâm cëng Q l  Z - mæuncon cõa R Do â tçn t¤i mæun th÷ìng R/

(x +Q) + (y +Q) = x + y +Q.

α(x +Q) = αx +Q.

1.4 T½ch trüc ti¸p, têng trüc ti¸p v  h¤ng tû trüc

ti¸p cõa mæun

ành ngh¾a 1.4.1 (T½ch trüc ti¸p) Cho {Mi}i∈I l  mët hå tòy þ c¡c

A - mæun Tr¶n t½ch · - c¡c Qi∈IMi ta ành ngh¾a hai ph²p to¡ncëng v  nh¥n vîi væ h÷îng nh÷ sau:

Vîi a ∈ R, (xi)i∈I, (yi)i∈I ∈ Q

i∈I Mi:(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi + yi)i∈I.

a (xi)i∈I = (axi)i∈I.

Ta th§y ngay ÷ñc Qi∈IMi còng vîi hai ph²p to¡n nâi tr¶n l  mët

A - mæun, gåi l  t½ch trüc ti¸p cõa hå mæun {Mi}i∈I.

ành ngh¾a 1.4.2 (Têng trüc ti¸p) Cho {Mi}i∈I l  mët hå c¡c

A - mæun D¢y (xi)i∈I, (xi) ∈ Mi gåi l  câ gi¡ húu h¤n n¸uxi = 0 h¦uh¸t trø ra mët sè húu h¤n ch¿ sè Gåi Li∈IMi l  tªp hñp gçm c¡c d¢y(xi)i∈I câ gi¡ húu h¤n Khi â Li∈I Mi còng vîi hai ph²p to¡n cëng

v  nh¥n væ h÷îng l  mët A - mæun Ta gåi Li∈I Mi l  têng trüc ti¸pcõa hå mæun {Mi}i∈I .

Nhªn x²t 1.4.1 Têng trüc ti¸p l  mæun con cõa t½ch trüc ti¸p.Khi I l  tªp ch¿ sè húu h¤n, tùc l  I = {1, 2, , n} th¼ têng trüc ti¸p

V½ dö 1.4.1 (1) Gi£ sû V l  mët K - khæng gian vectì v  {ei|i ∈ I}

l  mët cì sð cõa V Khi â V = Li∈IeiK.

(2) Z l  Z - mæun Khi â Z khæng ph¥n t½ch ÷ñc Thªt vªy, måimæun con thüc sü cõa Z ·u câ d¤ng mZ, m 6= 0, 1. N¸u mZ l  mëth¤ng tû trüc ti¸p cõa Z th¼ tçn t¤i mët mæun con nZ vîi n 6= 0, 1sao cho Z = mZ⊕ nZ. Khi â mn ∈ mZ∩ nZ= 0 Suy ra m = 0 ho°c

n = 0, m¥u thu¨n

1.5 çng c§u mæun

ành ngh¾a 1.5.1 Cho M, N l  c¡c A - mæun nh x¤ f : M → N

÷ñc gåi l  mët çng c§u A - mæun (hay cán gåi l  A - çng c§u) n¸u

vîi måi x, y ∈ M v  måi a ∈ R th¼:

i) f (x + y) = x + y;

ii) f (ax) = af (x)

Chó þ 1.5.1 Ta nâi hai mæun M v  N ¯ng c§u vîi nhau, vi¸t

M ' N khi v  ch¿ khi tçn t¤i ¯ng c§u mæun f : M → N

Vîi måi y ∈ M/N th¼ tçn t¤i x ∈ M º y = x + N hay tçn t¤i x ∈ N

º p (x) = x + N = y Suy ra p l  to n ¡nh Vªy p l  to n c§u

(3) Cho {Mi}i∈I hå c¡c A - mæun, Qi∈IMi l  t½ch trüc ti¸p hå c¡cmæun {Mi}i∈I C¡c ¡nh x¤:

pi : Y

i∈I

Mi → Mi

ành l½ 1.5.1 (i·u ki»n t÷ìng ÷ìng) nh x¤ f : M → N l  A

-çng c§u mæun khi v  ch¿ khi

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)vîi måi α, β ∈ A v  måi x, y ∈ M

Nhªn x²t 1.5.1 Cho f : M → N l  A - çng c§u Suy ra f l  çngc§u nhâm èi vîi ph²p to¡n cëng, suy ra f câ t§t c£ c¡c t½nh ch§t cõa

çng c§u nhâm èi vîi ph²p to¡n cëng

Ngo i ra ta câ mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa çng c§u mæun sau:a) Cho f : M → N suy ra N l  A - çng c§u mæun A, B l¦n l÷ñt l c¡c mæun con cõa M v  N Khi â f (A) , f−1(B) l¦n l÷ñt l  c¡c A -mæun con cõa N v  M.

f (A) = {f (x) | x ∈ A}

f−1(B) = {x ∈ M | f (x) ∈ N }

°c bi»t, cho f : M → N l  A - mæun

Kerf = {x ∈ M | f (x) = 0} = f−1(0) gåi l  h¤t nh¥n cõa X

Imf = f (M ) = {f (x) | x ∈ M } gåi l  £nh cõa M

Ta câ M v  {0} l¦n l÷ñt l  c¡c mæun con cõa M v  N Suy ra Imf

v  Kerf l¦n l÷ñt l  c¡c mæun con cõa N v  M

b) ành l½ têng qu¡t çng c§u mæun

Cho f : M → N l  A - çng c§u mæun E, F l¦n l÷ñt l  c¡c mæuncon cõa M v  N sao cho f (E) ⊂ F, pE : M → M/E, pF : N → N/F

l  c¡c to n c§u ch½nh t­c Khi â tçn t¤i duy nh§t A - çng c§umæun f : M/E →N/F sao cho f pE = pF.f, tùc l  biºu ç sau giaoho¡n:

c) H» qu£

Cho f : M → N l  c¡c A - çng c§u mæun, B = Kerf, pB : M → M/B l  to n c§u ch½nh t­c Khi â tçn t¤i A - çng c§u f : M/B → Nsao cho f pB = f, tùc l  Imf = Imf v  biºu ç sau giao ho¡n:

d) H» qu£

Cho f : M → N l  c¡c A - çng c§u mæun Khi â:

g) Cho f : M → N l  c¡c A - çng c§u C¡c i·u ki»n sau ¥yt÷ìng ÷ìng:

(1) f l  A - çng c§u t¦m th÷íng (tùc l  f = Θ);

(2) Imf = {0} ;

(3) Kerf = N

h) Cho f : L → M v  Cho g : M → K Khi â h = gof l  A

-çng c§u t¦m th÷íng khi v  ch¿ khi Imf ⊂ Kerf

M»nh · 1.6.1 (i·u ki»n t÷ìng ÷ìng cõa d¢y khîp ng­n).

D¢y khîp 0 → Mk 0 f→ M → Mg 00 h→ 0 l  d¢y khîp ng­n khi v  ch¿ khi

0 → G → Mi → M/G → 0.pM»nh · 1.6.2 C¡c ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng:

i) 0 → M0 → M → M00 → 0 l  d¢y khîp ng­n;

ii) Tçn t¤i mæun con L cõa M sao cho M0 ∼= L v  M00 ∼

= M/L

ành l½ 1.6.3 Trong mët s¢y khîp tòy þ B → Cf → Dg → Eh cõa c¡c

A - mæun v  c¡c çng c§u C¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:

i) f l  to n c§u;

ii) g l  çng c§u t¦m th÷íng;

iii) h l  ìn c§u

H» qu£ 1.6.4 Cho mët d¢y khîp tòy þ c¡c A - mæun v  c¡c A

-çng c§u: B → Cf → Dg → Eh → G.k Khi â C = 0 khi v  ch¿ khi:

0 → C → 0 l  khîp th¼ C = 0.

H» qu£ 1.6.6 N¸u d¢y c¡c A - çng c§u v  c¡c A - mæun

iii) d l  to n c§u v  k l  ìn c§u

ành ngh¾a 1.6.2 (D¢y khîp ch´ ra)

• D = D ⊕ 0, Imf = Kerh = D suy ra D = Img ⊕ 0 n¶n ch´ ra t¤i

C D¢y khîp (1.3) ch´ ra khi v  ch¿ khi (1.3) ch´ ra t¤i C

V½ dö 1.6.2 Cho M, N l  c¡c A - mæun X²t d¢y:

0 → M → M ⊕ NiM p→ N → 0N

vîi iM (x) = x0, pN (x, y) = y th¼ d¢y tr¶n l  d¢y khîp ng­n.

Thªt vªy, Imi = i (M ) = {i (x) | ∀x ∈ M } = {(x, 0) | ∀x ∈ M } ∼ = M.Cho n¶n d¢y tr¶n ch´ ra t¤i M ⊕ N

ành l½ 1.6.8 N¸u mët d¢y khîp → X → Y → Z → ch´ rat¤i mæun Y th¼ Y ∼ = Imf ⊕ Img

Ch֓ng 2

MÆUN HÚU H„N SINH

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu c¡c v§n · v· mæun húuh¤n sinh, cö thº l  mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· mæun húu h¤n sinh,mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh giao ho¡n, mæun húu h¤n sinh tr¶n

v nh àa ph÷ìng v  mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa mæun húu h¤n sinh

l  mæun Noether

2.1 Tªp sinh cõa mæun

ành ngh¾a 2.1.1 i) Gi£ sû M l  A - mæun, S ∈ M Giao cõat§t c£ c¡c mæun con cõa M chùa S ÷ñc gåi l  mæun con cõa

M sinh bði S, k½ hi»u l  hSi Ta nâi S l  tªp sinh cõa hSi hay Ssinh ra hSi

ii) N¸uS l  mët h» sinh cõa mæun M sao cho vîi måi tªp con S0 & S

ta ·u câ hS0i 6= M th¼ S ÷ñc gåi l  h» sinh cüc tiºu cõa mæun

M

Nhªn x²t 2.1.1 hSi ch½nh l  mæun con nhä nh§t cõa mæun Mchùa S N¸u hSi = M th¼ S l  tªp sinh cõa M

2.2 Mæun húu h¤n sinh

ành ngh¾a 2.2.1 Gi£ sû S l  tªp sinh cõa M N¸u S húu h¤n tanâi r¬ng M l  A - mæun húu h¤n sinh Nâi c¡ch kh¡c, M l  húu h¤nsinh n¸u câ c¡c ph¦n tû x1, , xn ∈ M sao cho M = hx1, , xni

N¸u M = hai th¼ M ÷ñc gåi l  A - mæun xyclic.

Chó þ 2.2.1 (1) hSi l  giao cõa t§t c£ c¡c mæun con cõa M chùa

(3) Mæun n o công câ h» sinh, ch¯ng h¤n M ch½nh l  h» sinh cõamæun M H» sinh cõa méi mæun khæng l  duy nh§t

(4) Hai h» sinh tèi tiºu cõa cõa mët mæun câ thº khæng còng lücl÷ñng Thªt vªy, x²t Z nh÷ l  mët Z - mæun Khi â {1} v {3, 5}

·u l  h» sinh tèi tiºu cõa Z nh÷ng sè ph¦n tû kh¡c nhau Tuynhi¶n, èi vîi mæun tr¶n v nh àa ph÷ìng th¼ s³ kh¡c

V½ dö 2.2.1 (1) A l  v nh giao ho¡n câ ìn và Khi â A l  mëtmæun tr¶n ch½nh nâ Suy ra A l  mët mæun xyclic sinh bði {1} v¼

A = {r.1 | r ∈ A} = h1i

(2) Cho U l  mët K - khæng gian vectì câ chi·u n vîi cì sð

S = {e1, e2, , en} Khi â U l  K - mæun húu h¤n sinh v  S l  tªpsinh cõa K - mæun U

ành l½ 2.2.1 Cho d¢y khîp ng­n c¡c A - mæun:

0 → N → Mf → P → 0.g

Ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

i) N¸u M húu h¤n sinh th¼ P công l  húu h¤n sinh

ii) N¸u N v  P húu h¤n sinh th¼ M công húu h¤n sinh

Chùng minh i) Gi£ sû M húu h¤n sinh v  câ h» sinh l  {y1, , yn}.V¼ g l  to n c§u n¶n P ÷ñc sinh bði h» {g (y1) , , g (yn)}.

Suy ra P l  mæun húu h¤n sinh

ii) Cho N v  P l  húu h¤n sinh Gi£ sû {x1, , xm} v  {z1, , zn}t÷ìng ùng l  hai h» sinh cõa N v  P V¼ g l  to n c§u n¶n vîi måi

zi ∈ P, tçn t¤i yi ∈ M º g (yi) = zi vîi måi i = 1, n Ta chùng minh{f (xi) , , f (xm) , y1, , yn} l  mët h» sinh cõa M Thªt vªy, l§y tòy

þ y ∈ M suy ra g (y) ∈ P n¶n tçn t¤i a1, , an ∈ A sao cho:

Do vªy g y −Pni=1aiyi
= 0 N¶n suy ra y−Pni=1aiyi ∈ Kerg = Imf.Vªy tçn t¤i x = Pni=1bixi ∈ N sao cho:

Tø ành l½ tr¶n ta câ h» qu£ sau:

H» qu£ 2.2.2 Gi£ sû N l  mët mæun con cõa M Khi â:

(i) N¸u M l  mët A - mæun húu h¤n sinh th¼ M/N l  mët A mæun húu h¤n sinh

-(ii) N¸u N v  M/N l  c¡c A - mæun húu h¤n sinh th¼ M l  mët

A - mæun húu h¤n sinh

2.2.1 Mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh giao ho¡n

Cho A l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và 1 6= 0

ành l½ 2.2.3 (ành l½ Hamilton - Cayley mð rëng) Cho M l  mëtmæun húu h¤n sinh tr¶n v nh giao ho¡n A Gi£ sû M câ mët h»sinh gçm n ph¦n tû, I l  i¶an cõa A v  Φ l  mët tü çng c§u çngnh§t A - mæun cõa M sao cho Φ (M ) ⊆ IM Th¸ th¼ tçn t¤i c¡c

ai ∈ Ii vîi i = 1, n sao cho Φn+ a1Φn−1+ + an−1Φ + an = 0

Chùng minh Vîi b§t k¼ a ∈ A , ¡nh x¤:

a : M → M

x 7→ ax

l  mët tü çng c§u cõa M v  gåi l  tü çng c§u nhâm Khi â v nh

cì sð A ÷ñc xem nh÷ l  v nh c¡c çng c§u nh¥n cõa M Gi£ sû Φ l mët tü çng c§u b§t k¼ cõa M, ta x²t tªp

A [Φ] = bmΦm + bm−1Φm−1 + + b0 | b0, bm ∈ A, m ≥ 0 .Khi â A [Φ] lªp th nh mët v nh giao ho¡n câ ìn và gçm nhúng tü

çng c§u cõa M °t f.x = f (x) vîi méi f ∈ A [Φ] v  x ∈ M

N¸u M l  mæun θ th¼ Φ l  çng c§u θ, ành l½ ÷ñc chùng minh.N¸u mæun M kh¡c θ, gi£ sû M câ h» sinh {x1, x2, , xn} th¼

Φ (xi) ∈ IM Do â tçn t¤i c¡c aij ∈ I vîi 1 ≤ i, j ≤ n º:

Φ (xn) = an1x1 + an2x2+ + annxnGåi [Bij] l  ma trªn phö ¤i sè cõa ma trªn B Khi â ta câ:

[Bij]C.B = det (B) Evîi [Bij]C l  ma trªn chuyºn và cõa ma trªn [Bij], E l  ma trªn ìn vàc§p n

det (B) xn = 0

Do {x1, x2, , xn} l  h» sinh cõa M n¶n k¸t hñp vîi h» tr¶n suy radet (B) l  çng c§u θ cõa M Khai triºn det (B) l 

Φn+ a1Φn−1+ + an−1Φ + an = 0 vîi ai ∈ Ii, i = 1, n.

H» qu£ 2.2.4 Cho M l  mët mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh giaoho¡n A v  I l  mët i¶an cõa A thäa m¢n IM = M Khi â tçn t¤i

a ≡ 1(mod I) sao cho aM = 0

Chùng minh Ta ¡p döng ành l½ Hamilton - Cayley mð rëng

L§y Φ l  tü çng c§u çng nh§t Rã r ng Φ (M ) = M = IM ⊆ IM,n¶n Φ thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh d¤ng:

Φn+ a1Φn−1+ + an−1Φ + an = 0vîi ai ∈ I, i = 1, n.

Gi£ sû M câ mët h» sinh l  {x1, x2, , xn}, vîi méi xi ta câ:

Sau ¥y, ta x²t mët sè t½nh ch§t cõa mæun húu h¤n sinh tr¶n

v nh giao ho¡n v  c«n Jacobson cõa v nh

ành ngh¾a 2.2.2 C«n Jacobson J (A) cõa v nh giao ho¡n A l  giaocõa t§t c£ c¡c i¶an cüc ¤i cõa A