Cấu trúc đại số sắp thứ tự cấu trúc tự do đại số hữu hạn chiều

Đại số là một chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học.Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại.Tuy nhiên để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có s

Nguyễn Thị Xen

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu

vừa qua, dưới sự hướng dẫn của thầy Vương Thông

Em xin cam đoan luận văn về đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự Cấu trúc tự do Đại số hữu hạn chiều” không trùng với bất kỳ luận văn nào

khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Người thực hiện

Nguyễn Thị Xen

Mục lục

Mở đầu 1

Nội dung 2

Chương 1: Cấu trúc đại số sắp thứ tự 2

1.1 Cấu trúc đại số 2

1.1.1 Phép toán đại số n ngôi và tính chất 2

1.1.2 Quan hệ n ngôi 7

1.2 Cấu trúc sắp thứ tự 11

1.2.1 Định nghĩa 11

1.2.2 Ví dụ 11

Chương 2: Một số lớp CTĐS đặc biệt 14

2.1 Một số lớp nhóm đặc biệt 14

2.1.1 Nhóm tự do 14

2.1.2 Nhóm Abel tự do 19

2.1.3 NhómAbel hữu hạn sinh 24

2.1.4 Nhóm các đồng cấu nhóm 38

2.1.5 Nhóm giải được 41

2.2 Một số lớp vành đặc biệt 43

2.2.1 Miền nguyên 43

2.2.2 Vành Gauss 46

2.2.3 Vành chính 47

2.2.4 Vành Ơclit 48

2.2.5 Vành nguyên tố và nửa nguyên tố 49

2.2.6 Vành nguyên thủy và nửa nguyên thủy 50

2.2.7 Vành địa phương và nửa địa phương 51

2.3.1 Môđun 52

2.3.2 Môđun tự do 52

2.3.3 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 56

Chương 3: Đại số hữu hạn chiều 58

3.1 Định nghĩa và ví dụ 58

3.1.1 Định nghĩa 58

3.1.2 Ví dụ 58

3.2 Xét một số K_ Đại số 59

3.2.1 Đại số tenxơ 59

3.2.2 Đại số ngoài 62

3.2.3 Đại số đối xứng 67

3.3 K_Đại số hữu hạn chiều 71

Kết luận 72

Tài liệu tham khảo 73

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học.Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại.Tuy nhiên để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về cấu trúc Đại số

Vì vậy em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự Cấu trúc tự do Đại số hữu hạn chiều” cùng với sự giúp đỡ của thầy Vương Thông, với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số lớp cấu trúc đại số đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng, với các kiến thức ở phổ thông, từ đó góp phần làm phong phú thêm các lớp

cấu trúc đại số

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu:

- Các nhóm

- Vành

- Môđun

+ Phạm vi nghiên cứu: Đọc các tài liệu có liên quan

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tìm hiểu sâu hơn về các nhóm, các vành, các môdun

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc sách, tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SẮP THỨ TỰ

Tóm lại trên  có vô số PTĐS 2 ngôi

Tương tự trên các tập số khác  , [ 2], [n 2],… , , , K   :số siêu phức,

ta có nhiều phép toán đại số 2 ngôi

2 Đối tượng là các số nguyên đồng dư theo môđun n

Tổng quát A[x], với A là vành giao hoán, có đơn vị bất kì

Nhận xét: Các ví dụ 2, 3 xuất phát từ các PTĐS 2 ngôi trên các đối tượng

đã biết ta xây dựng được các PTĐS 2 ngôi trên các đối tượng mới

Phép toán  có đơn vị nếu x = 1

Nếu x >1 thì  có nhiều đơn vị trái mà không có đơn vị phải

8.Xuất phát từ tập X đã biết ta có thể xây dựng đƣợc nhiều phép toán trên

 , : Xn  M

Ta có    x  x  x ,    x  x  x

     x  x  x ,  x  x  x

- Cho (X,+) là nhóm giao hoán

Kí hiệu End(x) = { f: X X là tự đồng cấu của X }

Xác định phép cộng trên End (x) nhƣ sau:

9.Thể Quarternion: (Còn gọi là số siêu phức)

Số siêu phức, dim  =2, dim K =4

Kí hiệu K={ a+bi+cj+dk | a,b,c,d   }

Chú ý Để nhớ bảng nhân cần hoán vị vòng quanh và phản hoán vị (trừ d1,c1)

cụ thể là : {1,i,j,k} ta có : ij=k, jk=i, ki=j

-Căn cứ vào bảng nhân trên ta thực hiện đựơc phép nhân giữa các phần tử của

=

) 2 (

) 2 (

) (

) (

2 2 2

2

cdi d

c abi b

a

dk cj bi a

c b a

dk cj bi a

) (

2 ) (

) (

2 2 2

ab d

c b a

i cd ab d

c b a dk cj bi

2 2 2 2

2 2 2 2

) (

4 ) (

) (

2 ) (

) (

Phép nhân không giao hoán (K,+,.) Không lập thành một trường, ta gọi K là một thể

-Nhân vô hướng : r , r=ra+(rb)i+(rc)j+(rd)kK

Ta có (K,+) cùng với nhân vô hướng trên lập thành  - không gian vectơ

Vậy (K,+,., nhân vô hướng với  ) là  - đại số không giao hoán Đại

 Giao hoán: x, yX: xy=yx

 Tồn tại trung hoà (đơn vị): X:+x=x xX

e X:  ex=x xX

 Mỗi xX,  phần tử đối - xX, phần tử nghịch đảo x-1X

Ví dụ trên  xác định phép toán : ab=a2+b2+ab phép toán  có tính chất giao hoán không có tính chất kết hợp

Tìm đơn vị: giả sử e là đơn vị:

Cách 2: Xem (2) như đa thức của biến a :a2

+(e1).a+e2=0

2

1 010

e e

-Nếu X=Y là nói gọn R là quan hệ 2 ngôi xác định trên X

-Mở rộng ta gọi bộ phận RX1X2  X n là quan hệ n ngôi xác định trên X1X2  X n

b VD

1 X là tập người, Y 

xR1n nếu n là tuổi của x tính đến năm nào đó

xR2n nếu n > tuổi của x

xR n nếu n< tuổi của x

xR4n nếu x sinh năm n, có thể dẫn ra nhiều quan hệ R tương tự

2 X là tập người

Xét các quan hệ R sau:

xRy nếu x là bố đẻ của y xRy nếu x là bạn cùng tuổi với y xRy nếu x là cùng giới với y xRy nếu x là cùng trình độ học vấn với y 3.Trên  các số tự nhiên xét các quan hệ sau:

xRy nếu x  y xRy nếu x | y xRy nếu (x-y)4 xRy nếu x y 4.X là tập các tam giác

2 Tính chất đối xứng:x,y X, Nếu xRy thì yRx

3 Tính chất phản xứng:  x,y X Gỉa sử xRy và yRx suy ra x=y

4 Tính chất bắc cầu: x,y,z X Gỉa sử xRy và yRz suy ra xRz

d Hai quan hệ 2 ngôi đặc biệt

 Quan hệ tương đương

-Định nghĩa : Quan hệ 2 ngôi R có 3 tính chất : Phản xạ, đối xứng, bắc cầu là quan hệ tương đương

Thường kí hiệu : ~

x,y X Nếu x~y theo quan hệ tương đương ~ thì ta xem x và y là như nhau, điều này giúp rất nhiều trong hoạt động thực tiễn của con người

Sự phân hoạch: Chia X ra thành các bộ phận khác rỗng và rời nhau từng đôi, khi đó ta có sự phân hoạch tập X

Ý nghĩa : Có một quan hệ tương đương ~ trên X Khi đó với x,yX,

nếu x~y thì theo quan hệ ấy ta coi x và y là như nhau( x y x ) y

x,yX, gọi là so sánh được với nhau nếu xy hoặc yx

Tập sắp thứ tự bộ phận (X,) gọi là toàn phần nếu x,y  X đều so sánh được với nhau

Nếu có nhiều TĐ thì không có LN

- Inf(A) , Sup(A)

Cho A  X

x  X được gọi là cân dưới của A nếu x a với mọi a A Phần tử lớn nhất trong các cận dưới của A gọi là cận dưới đúng của A, Nếu có thì được kí hiệu là inf(A)

Tương tự có cận trên và sup(A)

-Có một số kiểu sắp thứ tự: Acsimet, rời rạc, trù mật

- Hai tập sắp thứ tự đẳng cấu:

+Cho hai tập sắp thứ tự (X,1) (X‟,2)

+Nếu tồn tại song ánh f:XX‟ sao cho a,bX, a1 b thì f(a)2f(b) Khi đó ta nói hai tập sắp thứ tự (X,1) đẳng cấu với (X‟,2)

Chú ý : Ta còn xét quan hệ tiền thứ tự : Là quan hệ hai ngôi thoả mãn phản

xạ và bắc cầu, trong thực tế quan hệ tiền thứ tự được dùng rộng rãi hơn

Thoả mãn một số điều kiện nào đó

Các điều kiện này gọi là hệ tiên đề của cấu trúc sắp thứ tự (X,,)

1.2.2 Ví dụ

Ví dụ 1: Nhóm sắp thứ tự là (X,,) trong đó X ,

 gồm một PTĐS 0 ngôi phép lấy phần tử trung hoà 

một PTĐS 1 ngôi phép lấy phần tử đối của mỗi phần tử

một PTĐS 1 ngôi lấy phần tử đối của a X

một PTĐS 2 ngôi viết theo lối cộng : a+b

một PTĐS 2 ngôi viết theo lối nhân: a.b

Hệ tiên đề của vành sắp thứ tự :

1 PTĐS hai ngôi + có tính chất kết hợp

7 Quan hệ thứ tự toàn phần tương thích đối với hai phép toán, nghĩa là:

a,b X, giả sử ab thì a+c b c , c X

7 aX : ea = a

8 Mỗi a X* ,a” X: a” .a =e

9 phép nhân phân phối đối với cộng : a(b+c) = ab + ac

10  tương thích đối với 2 phép toán , nghĩa là

a, bX , giả sử a  b thì a+c  b+c c X

a.c b.c cX+

a.c b.c cX

Chẳng hạn có các trường sắp thứ tự : (  ,+,., ) , ( ,+,., ) Còn ( ,+,.,) không trở thành trường sắp thứ tự theo nghĩa :

Giả sử trên  xác định được quan hệ  cũng tương thích đối với hai phép toán Khi đó ta có x   *

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ LỚP CTĐS ĐẶC BIỆT

2.1 Một số lớp nhóm đặc biệt

2.1.1 Nhóm tự do

a ĐN Cho S là tập tùy ý, ta gọi là nhóm tự do xác định trên tập S là cặp (F,f)

trong đó F là một nhóm, f: SF là ánh xạ, sao cho với  cặp (x,g), trong đó g: SX, X là nhóm thì! đồng cấu h: FX sao cho hf=g, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán :

a,b S, a b: Chọn X là nhóm có nhiều hơn một phần tử

Chọn g: SX sao cho g(a)g(b)

Theo định nghĩa nhóm tự do thì ! đồng cấu h: FX sao cho hf=g

h[f(a)]= (hf)(a)= g(a) g(b)= (hf)(b)= h[f(b)]

f(a) f(b) vì h là ánh xạ

 Giả sử A F và A= <f(S)>, ánh xạ f sinh ra g: S A F

k cũng thỏa mãn kf=(iAh)f=iAg=f FF' là toàn ánh

k=iAh là toàn ánh do 1A là toàn ánh iA là toàn ánhA=F F=<f(S)>, tức

là f(S) là tập sinh của nhóm F

Định lí 2 (Tồn tại duy nhất nhóm tự do xác định trên tập S)

Giả sử (F,f) và (F‟,f‟) là nhóm tự do cùng xác định trên tập S

Khi đó  đẳng cấu j: FF‟ sao cho jf=f‟

và  đẳng cấu k: F‟F sao cho kf‟=f tức là 2 sơ đồ tam giác sau giao hoán: S f F S f‟ F‟

f‟ j f k

F F‟

Chứng minh Do (f,F) là nhóm tự do xác định trên S nên! đồng cấu nhóm j:

FF‟ sao cho jf=f‟, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

S f F

f' !j F‟

Do (f‟,F‟) là nhóm tự do xác định trên S nên! đồng cấu nhóm k: F‟F sao cho kf‟=f, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

S f‟ F‟

f !k

F Xét sơ đồ sau:

Coi (f,F) trong sơ đồ trên nhƣ cặp (g,X) trong định nghĩa

Theo trên kjf= k(jf)= kf‟=f=1Fg, Do (f,F) là nhóm tự do  ! đồng cấu từ

FF để tam giác ngoài cùng giao hoán kj=1F j là toàn cấu

Coi (f‟,F‟) trong sơ đồ trên nhƣ cặp(g,X) trong định nghĩa

Theo trên jkf‟=j(kf‟)=jf=f‟=1F‟f‟, do (f‟,F‟) là nhóm tự do! đồng cấu từ F‟F để tam giác ngoài cùng giao hoán jk=1F‟ j là toàn cấu

Vậy j là đẳng cấu  k=j-1 cũng là đẳng cấu

- Xác định phép toán đại số 2 ngôi x trên F:

x,vF Nếu x=e thì uv=ev=v

Nếu v=e thì uv=ue=u Nếu xe, ve thì uv là viết kế tiếp tích hình thức nhƣ trên, trong uv ta xóa đi các tích dạng a1a-1, a-1a1 nếu có mặt  uv là chữ rút gọn, xóa hết thì coi uv=e

- Dễ dàng kiểm tra đƣợc F cùng với phép toán trên lập thành một nhóm

- ! đồng cấu h: FX sao cho hf=g

Giả sử  đồng cấu k: FX sao cho kf=g

- Do f: S F là một đơn ánh, nên đồng nhất S với f(S) SF và F=<S>

-  ánh xạ g: SX đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h: F X ta gọi

F là nhóm tự sinh bởi tập S

2.1.2 Nhóm Aben tự do

a ĐN Cho S là một tập hợp Ta gọi nhóm Aben tự do trên tập S, một nhóm

Aben F cùng với một ánh xạ f: SF sao cho với mọi ánh xạ g: SX, X là nhóm Aben thì ! đồng cấu h: FX sao cho hf=g, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

Chứng minh Tương tự trong phần nhóm tự do

c Tồn tại nhóm Aben tự do xác định trên tập S

Định lí2 (Tồn tại duy nhất ) Giả sử (F,f) và (F‟,f‟) là hai nhóm Aben tự do

xác định trên S Khi đó ! đồng cấu j: F  F‟ sao cho jf1=f‟

! đồng cấu k: F‟ F sao cho kf‟=f

Chứng minh Tương tự phần nhóm tự do

Định lí 3 (Tồn tại nhóm tự do Aben)

Cách 1 Đưa vào khái niệm: hoán tử của 2 phần tử:

Cho a,b X là nhóm, gọi phần tử aba-1b-1 là hoán tử của 2 phần tử a, b

( )

X

X

 là nhóm Aben

a a a x G

2 1

Khi đó k sinh ra đồng cấu k=h: F X sao cho hp=k

( Tổng quát: Cho đồng cấu f: X  Y, AX   nhóm thương X A, nếu

A Kerf thì f sinh ra đồng cấu f*: X

Khi đó đồng cấu k‟=h‟p: G X cũng thỏa mãn k‟j=h‟pj=h‟f=g

Do tích duy nhất của đồng cấu từ GX (kj=g=k‟j k‟=k)

Và cộng là phương trình đại số 2 ngôi xác định trên F

- Kiểm tra được (F,+) là nhóm Aben, trung hòa là : S 

Nhận xét: Vì f: S F là đơn ánh  đồng nhất S với f(s) và F=<S> và với mọi ánh xạ g: S  X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h: F X

Do đó nói gọn F là nhóm Aben tự do xác định trên S

Tập S đƣợc gọi là cơ sở của nhóm Aben tự do S Gọi S là hạng của nhóm FS

Kí hiệu là r(FS) (range)

2.1.3 Nhóm Aben hữu hạn sinh

Gọi là các toàn cấu (phép chiếu ) tự nhiên

Do iA, iB là các phép nhúng nên đồng nhất A với i(A), b với i(B) do đó coi

A, B là các nhóm con chuẩn tắc của P (A= KerPB, B= KerPA)

Phân tích: Cho A,BX , Nếu X= AB và A  B={e} thì ta nói X phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con A, B

Định lí 1 Nếu X phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con chuẩn

tắc A, B thì với mọi phần tử của A giao hoán được với mọi phần tử của B và với mọi phần tử của X biểu diễn duy nhất dưới dạng ab, aA, bB

Chứng minh -aA, bB Xét hoán tử c=aba-1

- xX, giả sử x=ab=uv, a,uA, b,vB

nhân trái với a-1, phải với v-1 a-1u=bv-1  A B={e}  a-1u= e b= v

Ví dụ: Cho X=<a>6, chọn A=<a2

>3, B=<a3>2

Định lí 2 Giả sử X phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con A,B

P=AB là tích trực tiếp của 2 nhóm A,B Khi đó XP

Chứng minh

Xét ánh xạ f: P=AB X

(a,b) ab

Thật vậy  (a1,b1),(a2,b2)  P,

f((a1,b1),(a2,b2))= f((a1a2 , b1b2))= a1a2b1b2

Do X là phân tích thành tích trực tiếp của A,B  f là toàn ánh, f là đơn ánh (giả sử (a,b)  Kerf f(a,b)=ab=e=ee  (a,b)= (e,e)

Từ đó ta đồng nhất nhóm X với tích trực tiếp AB Vì thế nên gọi là sự phân tích trên là phân tích thành tích trực tiếp

 Cho A,B là hai nhóm tùy ý, theo trên ta cóiA(A)=A{eB},

iB(B)={eA}B, iA, iB là các đơn cấu nên đồng nhất A=iA(A), B=iB(B)

Ta có P phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con chính tắc iA(A) và

iB(B) Với sự đồng nhất trên ta cũng nói P phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con A,B; p=AB

Ta có thể mở rộng khái niêm này cho một họ bất kỳ các nhóm

Nếu I là tập hữu hạn thì W=P

Tổng trực tiếp yếu là tổng trực tiếp của các nhóm, thường kí hiệu là :

1 2

1

Là các đơn cấu, toàn cấu, gọi là phép nhúng, chiếu thứ i

Định lí 3 Cho họ các nhóm Xy cho cấp vô hạn {Xi}i  I

gọi là nhóm Xyclic nguyên sơ, p là số nguyên tố

Từ các định lý trên ta đi đến kết luận:

1, Một nhóm Xyclic không tầm thường là không phân tích được  nó vô hạn hoặc nguyên sơ (tức là có cấp pm

, m  , p là số nguyên tố)

2,  nhóm Xyclic cấp hữu hạn là phân tích được thành tổng trực tiếp của các nhóm Xyclic nguyên sơ

 Nhóm Aben hữu hạn sinh

Nhóm hữu hạn sinh là nhóm có tập sinh là tập hữu hạn

Bổ đề 4 nhóm Aben với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một nhóm thương của một nhóm Aben tự do hạng n

 (theo ĐL cơ bản về đồng cấu nhóm)

Bổ đề 4 Với mọi G là nhóm con của nhóm Aben tự do F hạng n đều là nhóm

Aben tự do hạng r(G)  n

Hơn nữa trong F có cở sở  u u1, 2, ,u n

Hơn nữa trong G có cơ sở    v v1, , 2 vm , m=r(G) sao cho vi=tiui

1, , i

   và ti+1  ti  i 1,m1

Chứng minh

Quy nạp theo n:

- n=0 thì F= 0  G  0 r(F)=( ) 1G  , chọn t  bất kỳ tức là mệnh đề đúng

- Giả sử mệnh đề đúng với n-1:

+ B1 xây dựng 2 hệ phần tử F và G

 Vì r(F)=n  giả sử  {x ,x , ,x }1 2 n là cơ sở nào đó của F, G F

 gG, g có sự biểu diễn duy nhất dưới dạng:

G=k1x1+…+knxn , ki  i 1,n

Mỗi cơ sở  chọn số  ( ), mỗi gG cho bộ phận {k1,k2,…,kn}  , do đó khi đã cố định cơ sở  thì trong các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của G cho một bộ phân khác  các số tự nhiên khác 0 vì gG thì  g G   các

số tự nhiên khác 0  có số bé nhất, giả sử là    Lại giả sử  cơ sở  để

Theo giả thiết quy nạp có cơ sở {u2,…,un} của H (đến un vì của H là n-1) có

cơ sở {v2,…,vm} của K sao cho vi=tiui, ti,  i 2,m và ti+1 t i, i 2,m1

Ta cần chứng minh t2  t1, chia t2 cho t1: t2=t1q1+r1, 0 r1 t1

Ta có {u2,…,un} là cơ sở của H

{v1} là cơ sở của J   {u ,u , ,u }1 2 n là cơ sở của F

Bổ đề 5 Với mọi nhóm Aben với n phần tử sinh đều đẳng cấu với tổng trực

tiếp của n nhóm Xyclic cấp t1,t2,…,tn sao cho 1    t1 t2 t n t và t i1 t i

nếu ti+1 là hữu hạn

G

   với F là nhóm Aben tự do hạng n, GF

4

BD

 G cũng là Aben tự do và r(G)=m< n Ngoài ra có một cơ sở  n1

Kí hiệu

1

n i

i C



- ta chứng minh F

G : + ta đã biết  : 1,2, , n    c c1 c2 c n

Định lí 5 (phân tích): Với mọi nhóm Aben hữu hạn sinh đều phân tích đƣợc

thành tổng trực tiếp của một số hữu hạn nhóm Xyclic không phân tích đƣợc

Sự phân tích ấy sai khác một đẳng cấu

Nhóm Xyclic không phân tích đƣợc hoặc là Xyclic cấp vô hạn hoặc là nhóm Xyclic có cấp là lũy thừa của số nguyên tố p

(tức là thành phần p- nguyên sơ)

Chứng minh

+Tồn tại sự phân tích

- Giả sử X là nhóm Aben có n phần tử sinh

theo BĐ5 thì m< n sao cho

Vd:  20  22   5 vì 20=22.5

 50   2  52 vì 50=2.52

) sau đó xét số nguyên tố bé nhất còn lại, tiếp tục nhƣ vậy cho hết các thành phần nguyên sơ làm nhƣ thế là liệt kê hết các thành phần của các nhóm Xyclic cấp hữu hạn, cuối cùng là liệt kê các hạng tử Xyclic cấp vô hạn

Ta gọi sự phân tích đó là sự phân tích tiêu chuẩn của nhóm Aben X

 ! sự phân tích (sai khác đẳng cấu)

Ta dựa vào khái niệm nhóm con xoắn: (tuần hoàn)

Cho X là nhóm Aben, Kí hiệu  (X)=X là hai nhóm Aben hữu hạn sinh với các sự phân tích tiêu chuẩn

Do h(( )X ( )Y ) nên quy tắc x+ ( )X ứng với h(x)+ ( )Y là ánh xạ

Do đó số các thành phần Xyclic vô hạn là nhƣ nhau